2023-2024学年浙江省宁波市余姚市六校联考七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市余姚市六校联考七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，小器一容三斛；大器一，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a8÷a2=a4C. a2+a2=a4D. (−a3)2=a6
2.世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.0000052克.数0.0000052用科学记数法表示为( )
A. 5.2×10−5B. 5.2×10−6C. 5.2×10−7D. 52×10−7
3.下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是( )
A. B.
C. D.
4.下列式子正确的是( )
A. (3a+4)(3a−4)=9a2−4B. (2a2−b)(2a2+b)=4a2−b2
C. (3−x)(x+3)=9−x2D. (−x+y)(x+y)=−x2−y2
5.下列各式中是二元一次方程的是( )
A. 3x2−2y=9B. 2x+y=6C. 1x+2=3yD. x−3=4y2
6.如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠1=10°，那么∠2的度数为( )
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
7.《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛(斛：古代容量单位)；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是( )
A. x+5y=35x+y=2B. 5x+y=3x+5y=2C. 5x=y+3x=5y+2D. 5x=y+2x=5y+3
8.已知x(x+3)=2022，则代数式2(x+4)(x−1)−2012的值为( )
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
9.如图，在三角形ABC中，BC=9，把三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG处，EG与BC交于点M.若CM=3，则图中阴影部分的面积为( )
A. 1354B. 1334C. 1314D. 1294
10.将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图①、图②所示的方式放置在长方形ABCD内，(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①、图②中阴影部分的面积为分别为S1、S2，当AD−AB=42时，以下用含a，b的代数式表示S1−S2的值正确的是( )
A. −42bB. −36bC. −42aD. −36a
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知7x−y=−5，用x的代数式表示y，则y= ______．
12.如图AB/​/CD，AE交DF于点C，∠ECF=134°，则∠A= ______．
13.若xm=4，xn=−3，则xm+n= ______．
14.若(x+m)(x+3)=x2+nx+6，则mn= ______．
15.如图，长方形纸片ABCD分别沿直线OP、OQ折叠，若∠POQ=80°，则∠A′OB′= ______．
16.若关于x，y方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=5y=6，则方程组5a1x+3b1y=4c15a2x+3b2y=4c2的解为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)(2024−π)0−(−4)−2+(−3)2；
(2)(2x3)4⋅(−4x2)÷(32x7).
18.(本小题6分)
解方程组：
(1)3x+4y=165x−8y=34；.
(1)x−y=27x+5y=34．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(3x+2)(3x−2)−5x(x−1)+(2x−1)2，其中x=−13．
20.(本小题8分)
已知x2+y2=9，x+y=4，求下列代数式的值：
(1)xy；
(2)(x−3)(y−3)．
21.(本小题8分)
如图，已知AC/​/FE，∠1+∠2=180°．
(1)求证：∠FAB=∠BDC；
(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD=80°，求∠BCD的度数．
22.(本小题10分)
某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗40棵，B种树苗15棵，共花费1750元；第二次购进A种树苗20棵，B种树苗6棵，共花费860元．(两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变)
(1)A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
(2)因受季节影响，A种树苗价格下降10%，B种树苗价格上升20%，计划购进A种树苗25棵，B种树苗20棵，问总费用是多少元？
23.(本小题10分)
若两个正整数a，b，满足(a+b)2=ka+b，k为自然数，则称a为b的“k级”数.例如a=2，b=3，(2+3)2=11×2+3，则2为3的“11级”数．
(1)5是6的“______”级数；正整数n为1的“______”级数(用关于n的代数式表示)；
(2)若m为4的“m+10”级数，求m的值；
(3)是否存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数？若存在，请举出一组a，b的值；若不存在请说明理由．
24.(本小题12分)
如图，已知C为两条互相平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，∠FDC+∠ABC=180°．

(1)求证：AD//BC．
(2)连接CF，当FC/​/AB，∠CFB=32∠DCF时，求∠BCD的度数．
(3)若∠DCF=∠CFB时，将线段BC沿射线AB方向平移，记平移后的线段为PQ，B，C分别对应P，Q，当∠PQD—∠QDC=24°时，求∠DQP的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故该项不正确，不符合题意；
B、a8÷a2=a6，故该项不正确，不符合题意；
C、a2+a2=2a2，故该项不正确，不符合题意；
D、(−a3)2=a6，故该项正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000052=5.2×10−6，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
本题考查了同位角的定义，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角．
4.【答案】C
【解析】解：A、(3a+4)(3a−4)=9a2−16，故此选项不符合题意；
B、(2a2−b)(2a2+b)=4a4−b2，故此选项不符合题意；
C、(3−x)(x+3)=(3−x)(3+x)=9−x2，故此选项符合题意；
D、(−x+y)(x+y)=(y−x)(y+x)=y2−x2，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据平方差公式逐项计算判断即可．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.属于二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，即A项错误，
B.符合二元一次方程的定义，属于二元一次方程，即B项正确，
C.属于分式方程，不符合二元一次方程的定义，即C项错误，
D.属于二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，即D项错误，
故选：B．
根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．
本题考查了二元一次方程的定义，正确掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图：过点A作AB/​/b，
∴∠1=∠DAB=10°，
∵∠DAC=60°，
∴∠CAB=∠DAC−∠DAB=50°，
∵a/​/b，
∴AB/​/a，
∴∠2=∠CAB=50°，
故选：C．
过点A作AB/​/b，利用猪脚模型进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：5x+y=3x+5y=2，
故选：B．
根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，列出关于x、y的二元一次方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：2(x+4)(x−1)−2012
=2(x2+3x−4)−2012
=2x2+6x−8−2012
=2x2+6x−2020
=2x(x+3)−2020，
∵x(x+3)=2022，
∴原式=2×2022−2020
=4044−2020
=2024．
故选：B．
利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9.【答案】A
【解析】解：∵三角形ABC沿射线AB方向平移4.5个单位至三角形EFG，
∴FG=BC=9，BF=4.5，△ABC≌△EFG，
∴S△ABC=S△EFG，
即S四边形AEMC+S△EBM=S△EBM+S梯形BFGM，
∴S四边形AEMC=S梯形BFGM=12×(9−3+9)×4.5=1354．
故选：A．
利用平移的性质得到FG=BC=9，BF=4.5，△ABC≌△EFG，则S△ABC=S△EFG，所以S四边形AEMC=S梯形BFGM，然后根据梯形的面积公式计算．
本题考查了平移的性质：把求图中阴影部分的面积转化求为梯形BFGM的面积是解决问题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设AB=x，则AD=x+42，
S1−S2=[(x+42)(x−a)+(x+42−a) (a−b)]−[(x−a)(x+42−b)+(x+42−a) a]
=x2−ax+42x−42a+ax−bx+42a−42b−a2+ab−x2−42x+bx+ax+42a−ab−ax−42a+a2
=−42b．
故选：A．
根据图中阴影部分的长度与正方形边长的数量关系，表示出S1−S2的代数式，再根据整式的运算法则求出答案即可．
本题考查了列代数式和整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
11.【答案】7x+5
【解析】解：7x−y=−5，
7x+5=y，
即y=7x+5．
故答案为：7x+5．
把x看作已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，熟练掌握“解方程的步骤”是解本题的关键．
12.【答案】46°
【解析】解：∵∠ECF=134°，
∴∠ECD=180°−∠ECF=46°，
∵AB/​/CD，
∴∠A=∠ECD=46°，
故答案为：46°．
先利用平角定义可得∠ECD=46°，然后利用平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13.【答案】−12
【解析】解：∵xm=4，xn=−3，
∴xm+n
=xm⋅xn
=4×(−3)
=−12，
故答案为：−12．
根据已知条件逆用同底数幂相乘法则进行计算即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则．
14.【答案】25
【解析】解：∵(x+m)(x+3)=x2+nx+6，
∴x2+(3+m)x+3m=x2+nx+6，
∴3+m=n，3m=6，
解得：m=2，n=5，
∴mn=25．
故答案为：25．
利用多项式乘多项式的法则对式子进行整理，从而可求m，n的值，即可求解．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15.【答案】20°
【解析】解：∵长方形纸片ABCD沿直线OQ，OP折叠，
∴∠BOQ=∠B′OO，∠AOP=∠A′OP，
∵∠POQ=80°，
∴∠AOP+∠BOQ=180°−80°=100°，
∴∠A′OP+∠B′OQ=100°，
∴∠A′OB′=100°−80°=20°．
故答案为：20°．
由折叠的性质可得∠BOQ=∠B′OO，∠AOP=∠A′OP；然后由角的和差关系即可得到答案．
此题考查的是折叠的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
16.【答案】x=4y=8
【解析】解：利用整体思想可得54x=534y=6，解得x=4y=8．
利用整体思想可得54x=534y=6，
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是学会利用整体的思想解决问题．
17.【答案】解：(1)(2024−π)0−(−4)−2+(−3)2
=1−116+9
=91516；
(2)(2x3)4⋅(−4x2)÷(32x7)
=16x12⋅(−4x2)÷(32x7)
=[16×(−4)÷32]⋅x12+2−7
=−2x7．
【解析】(1)先算零指数幂，负整数指数幂，乘方，再算加减即可；
(2)先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可．
本题主要考查整式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：(1)3x+4y=16①5x−8y=34②，
①×2，得6x+8y=32③，
②+③，得11x=66
解得x=6，
将x=6代入①，得18+4y=16
解得y=−12，
∴方程组的解为x=6y=−12；
(2)x−y=2①7x+5y=34②，
①×5，得5x−5y=10 ③，
②+③，得12x=44，
解得x=113，
将x=113代入①，得113−y=2
解得y=53，
∴方程组的解为x=113y=53．
【解析】(1)(2)先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
19.【答案】解：原式=9x2−4−(5x2−5x)+4x2−4x+1
=9x2−4−5x2+5x+4x2−4x+1
=8x2+x−3；
当x=−13时，原式
原式=8×19−13−3=−229．
【解析】首先根据整式相乘的法则和平方差公式、完全平方公式去掉括号，然后合并同类项，最后代入数据计算即可求解．
此题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是利用整式的乘法法则及平方差公式、完全平方公式化简代数式．
20.【答案】解：(1)∵x2+y2=9，x+y=4，
∴xy=(x+y)2−(x2+y2)2
=42−92
=72；
(2)(x−3)(y−3)
=xy−3x−3y+9
=xy−3(x+y)+9
=72−3×4+9
=12．
【解析】(1)利用完全平方公式进行求解即可；
(2)结合(1)进行求解即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21.【答案】(1)证明：∵AC/​/EF，
∴∠1+∠FAC=180°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠FAC=∠2，
∴FA/​/CD，
∴∠FAB=∠BDC；
(2)解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAD=2∠FAC，
由(1)知∠FAC=∠2，
∴∠FAD=2∠2，
∴∠2=12∠FAD，
∵∠FAD=80°，
∴∠2=12×80°=40°，
∵EF⊥BE，AC/​/EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°−∠2=50°．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠2是解题的关键．
(1)由已知可证得∠2=∠FAC，根据平行线的判定得到FA//CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB=∠BDC；
(2)根据角平分线的定义得到∠FAD=2∠FAC，即∠FAD=2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再由平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD．
22.【答案】解：(1)设A种树苗每棵的价格是x元，B种树苗每棵的价格是y元，
依题意得：40x+15y=175020x+6y=860，
解得：x=40y=10．
答：A种树苗每棵的价格是40元，B种树苗每棵的价格是10元．
(2)40×(1−10%)×25+10×(1+20%)×20
=40×90%×25+10×120%×20
=900+240
=1140(元)．
答：总费用为1140元．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)利用总价=单价×数量，求出购买所需总费用．
(1)设A种树苗每棵的价格是x元，B种树苗每棵的价格是y元，根据“第一次购进A种树苗40棵，B种树苗15棵，共花费1750元；第二次购进A种树苗20棵，B种树苗6棵，共花费860元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A，B两种树苗每棵的价格；
(2)利用总价=单价×数量，即可求出购买所需的总费用．
23.【答案】23 n+2
【解析】解：(1)∵(5+6)2=23×5+6，
∴5是6的”23级“数，
∵(n+1)2=n2+2n+1=n(n+2)+1，
∴正整数n为1的“n+2”级数，
故答案为：23，n+2；
(2)由题意可得：(m+4)2=m(m+10)+4，
m2+8m+16=m2+10m+4，
m2−m2+8m−10m=4−16，
−2m=−12，
m=6；
(3)假设存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数．，则a为b的“a+b级”数，
则(a+b)2=a(a+b)+b，
a2+2ab+b2=a2+ab+b，
a2−a2+2ab−ab+b2−b=0，
ab+b2−b=0，
b(a+b−1)=0，
∵a，b是正整数，
∴a≥1，b≥1，
∴b≠0，a+b−1≠0，
∴b(a+b−1)≠0，
这与假设产生矛盾，
∴不存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数．
(1)根据已知条件中的新定义，列出算式进行计算或分解因式即可；
(2)根据已知条件中新定义列出关于m的方程，解方程求出m的值即可；
(3)假设存在a，b的值，使得a为b的“a+b级”数，根据新定义列出算式，进行分解因式，然后再根据a，b为正整数，k为自然数，求出a+b−1的取值，从而判断假设是否成立即可．
本题主要考查了因式分解及其运用，解题关键是理解新定义的含义，熟练掌握几种常见的分解因式的方法．
24.【答案】解：(1)证明：∵AB//DE，
∴∠EDF=∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF=∠ADC，
∴∠ADC=∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC=180°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD//BC；
(2)解：∵∠CFB=32∠DCF，
∴设∠DCF=α，则∠CFB=1.5α，
∵CF/​/AB，
∴∠ABF=∠CFB=1.5α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABF=3α，
∵AD/​/BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠FDC+∠ABC=180°，
∴∠BCD=∠ABC=3α，
∴∠BCF=2α，
∵CF/​/AB，
∴∠ABC+∠BCF=180°，
∴3α+2α=180°，
∴α=36°，
∴∠BCD=3×36°=108°；
(3)如图，

∵∠DCF=∠CFB，
∴BF//CD，
∴∠CDF=∠DFE，
∵AD/​/BC，
∴∠CBF=∠DFE，
∴∠CDF=∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC=2∠CBF，∠CDE=2∠CDF，
∴∠ABC=2∠CDF，
∵∠FDC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=120°，∠CDF=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠ABC=120°，
∴∠DAB=60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，
∴BC//PQ，
∴∠APQ=120°，
∵∠PQD−∠QDC=24°，
∴∠QDC=∠PQD−24°，
∴∠FDC+∠CDQ+∠PQD=180°，
∵∠CDF=60°，
∴∠CDQ+∠PQD=120°，
∴∠PQD−24°+∠PQD=120°，
∴∠DQP=72°．
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠EDF=∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF=∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
(2)设∠DCF=α，则∠CFB=1.5α，根据平行线的性质得到∠ABF=∠CFB=1.5α，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠ABF=3α，根据平行线的性质即可得到结论；
(3)根据已知条件得到四边形BCDF是平行四边形，得到∠CDF=∠CBF，根据角平分线的定义得到∠ABC=2∠CBF，∠CDE=2∠CDF，求得∠DCB=120°，根据平行的性质得到BC//PQ，根据四边形的内角和列方程即可得到结论．
本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．