2023-2024学年上海市静安区市北中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市静安区市北中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
A. 相离B. 相切
C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心
2.已知函数f(x)=x⋅lnx，下列判断正确的是( )
A. 在定义域上为增函数B. 在定义域上为减函数
C. 在定义域上有最小值，没有最大值D. 在定义域上有最大值，没有最小值
3.对于双曲线C1：x216−y29=1和C2：y29−x216=1，给出下列四个结论：
(1)离心率相等；(2)渐近线相同；(3)没有公共点；(4)焦距相等，其中正确的结论是( )
A. (1)(2)(4)B. (1)(3)(4)C. (2)(3)(4)D. (2)(4)
4.若函数f(x)=−x3+3x2−1在区间(m,m+5)内存在最大值，则实数m的取值范围是( )
A. [−1,2)B. (−1,2)C. [−3,2)D. (−3,2)
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.点P(2,3)到直线l：y=−2x+3的距离是______．
6.若f′(x0)=−3，则limh→0f(x0+h)−f(x0)h= ______．
7.已知直线l1：x+y=0和l2：2x−ay+3=0(a∈R)，若l1⊥l2，则a= ______．
8.双曲线x29−y24=1的渐近线方程是______．
9.已知函数f(x)=x3，则曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为______．
10.已知椭圆以原点为中心，焦点在x轴上，长半轴的长为6，离心率为13；则椭圆的标准方程______．
11.已知直线l在y轴上的截距为1，且l的一个法向量是n=(2,1)，则直线l的方程是______．
12.已知函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数y=f(x)的“新驻点”.设f(x)=sinx，则y=f(x)在区间(0,π)上的“新驻点”为______．
13.已知直线l′经过点P(2,1)，与直线l：x+2y+1=0的夹角为arccs 55.则直线l′的方程______．
14.若函数y=f(x)满足f(x)=12f′(−1)x2−2x+3，则f′(−1)= ______．
15.函数f(x)=exx−2的单调递减区间是______．
16.设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，记a*b=x1x2−y1y2，若圆C：x2+y2−4x+8y=0上的任意三点A1，A2，A3，且A1A2⊥A2A3，则|OA1*OA2+OA2*OA3|的最大值是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度AB为20m，拱高OP为4m，在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．
(1)建立适当的坐标系，求圆弧APB所在圆的方程；
(2)求支柱A2B2的高度.(结果精确到0.01m)
18.(本小题16分)
某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)满足关系y=f(t)，其中f(t)=18sin(2π3t−π2)．
(1)求f(t)=18sin(2π3t−π2)的导数；
(2)计算f′(3)，并解释它的实际意义．
19.(本小题16分)
数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、垂心、重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x−y+2=0，
(1)求三角形ABC外心D的坐标；
(2)求顶点C的坐标．
20.(本小题16分)
已知点A为椭圆Γ：x26+y22=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．
(1)求椭圆Γ：x26+y22=1的离心率；
(2)若点A的横坐标为2，求|AF1|的长．
(3)设Γ的上、下顶点分别为M1，M2，点B为椭圆Γ：x26+y22=1上一点，记△BF1F2的面积为S1，△BM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OB|的取值范围．
21.(本小题16分)
已知曲线C由抛物线y=12x2及抛物线y=−12x2组成，若A(4,2)，B(4,−2)，D，E是曲线C上关于x轴对称的两点，A，B，D，E四点不共线，其中点D在第一象限．
(1)写出抛物线y=12x2的焦点坐标和准线方程；
(2)求四边形ABED周长的最小值；
(3)若点D横坐标小于4，求四边形ABED面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点(0,1)，且斜率存在
∵(0,1)在圆x2+y2=2内
∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心
故选：C．
对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点(0,1)，且斜率存在，(0,1)在圆x2+y2=2内，故可得结论．
本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点(0,1)，且斜率存在．
2.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=xlnx，x∈(0,+∞)，
∴f′(x)=lnx+1，令f′(x)=0，得x=1e，
∴当x∈(0,1e) 时，f′(x)0，f(x)递增，
f(x)min=−1e，f(x)无最大值．
故选：C．
求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值．
本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
3.【答案】C
【解析】利用方程，分别计算离心率、渐近线、焦距，即可得出结论．本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
解：由题意，双曲线C1：x216−y29=1，C2：y29−x216=1，
(1)离心率分别为54，53；(2)渐近线相同，为y=±34x；(3)没有公共点；(4)焦距相等，为10，
故选C．
4.【答案】A
【解析】解：由题意，f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)，
令f′(x)0，解得0