2023-2024学年广东省河源市紫金县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省河源市紫金县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的是( )
A. a2×a4=a6B. m6÷m2=m3C. (2a2b)3=6a6b3D. (a2)3=a8
2.若∠1=43°，则∠1的余角是( )
A. 43°B. 47°C. 57°D. 137°
3.如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在( )
A. A点B. B点C. C点D. D点
4.2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步.已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为( )
A. 2.8×10−10B. 2.8×10−8C. 2.8×10−6D. 2.8×10−9
5.如图，能判断直线AB/​/CD的条件是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠3=∠4
C. ∠1+∠3=180°
D. ∠3+∠4=180°
6.下列算式能用平方差公式计算的是( )
A. (2a+b)(2b−a)B. (2x+1)(−2x−1)
C. (3x−y)(−3x+y)D. (−m+n)(−m−n)
7.(−8)2024×(18)2024的值为( )
A. 1B. −1C. 2024D. −2024
8.正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( )
A. y=x2+16B. y=(x+4)2C. y=x2+8xD. y=16−4x2
9.一个圆形花坛，周长C与半径r的函数关系式为C=2πr，其中关于常量和变量的表述正确的是( )
A. 常量是2，变量是C，π，rB. 常量是2，变量是r，π
C. 常量是2，变量是C，πD. 常量是2π，变量是C，r
10.如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，AD交BE于点O.若∠CBD=35°，则∠BOD的度数为( )
A. 75°
B. 95°
C. 110°
D. 115°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：28x4y2÷7x3y2= ______．
12.如图，已知直线a，b相交，若∠β=40°，则∠α= ______．
13.若一个角的补角是110°，则这个角的度数为______．
14.若x2−y2=20，x−y=4，则x+y= ______．
15.如图，AB/​/CD，点E在CD上，EF⊥DB，垂足为F，∠2=40°，则∠1的度数为______．
16.如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过______秒恰好将水槽注满．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)运用整式乘法公式进行计算：899×901+1；
(2)计算：(−1)3+(7−π)0−(13)−2．
18.(本小题7分)
先化简，再求值：(a−2)(a+2)−a(a−2)，其中a=3．
19.(本小题7分)
某县从2018年开始实施退耕还林，每年退耕还林的面积如表：
(1)如表反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)从上表可知，随着时间的变化，退耕还林的面积的变化趋势是什么？
(3)从2018年到2023年底，该县已完成退耕还林的面积是多少亩？
20.(本小题8分)
如图，∠AFD=∠1，AC/​/DE．
(1)试说明：DF/​/BC；
(2)若∠1=66°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
21.(本小题8分)
(1)如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规在∠DAC内部作∠CBE，使得∠CBE=∠A(只保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)中作出的图形中，请判断BE与AD的位置关系，并说明理由．
22.(本小题8分)
如图，某小区有一块长为(2a+3b)米，宽为(2a−b)米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪．
(1)用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积；(结果化为最简形式)
(2)若a=10，b=5，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．
23.(本小题12分)
综合探究
某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：

(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______(填序号)；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：20222−2024×2020；
(3)【拓展】计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)．
24.(本小题12分)
综合运用
(1)如图1，AB/​/CD，点E在直线AB，CD之间，连接EB，ED.若∠B=25°，∠D=40°，求∠BED的度数．
(2)如图2，AB/​/CD，BE，CE交于点E，试探究∠BEC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，AB/​/CD，BF，CG分别平分∠ABE，∠DCE，且BF，CG所在直线交于点F，过点F作FH/​/AB，若∠BEC=104°，求∠BFC的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、a2×a4=a6，故该选项正确，符合题意；
B、m6÷m2=m4，故该选项不正确，不符合题意；
C、(2a2b)3=8a6b3，故该选项不正确，不符合题意；
D、(a2)3=a6，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
根据同底数幂的乘法和除法和幂的乘方，积的乘方逐项分析判断即可
本题考查了同底数幂的乘法和除法和幂的乘方，积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵∠1=43°，
∴∠1的余角为：90°−∠1=47°．
故选：B．
利用互为余角的两角之和为90°，从而可求解．
本题主要考查余角，解答的关键是明确互为余角的两角之和为90°．
3.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握直线外一点与这条直线上所有点的所连线段中垂线段最短．
根据垂线段最短可得答案．
【解答】
解：根据垂线段最短可得：应建在A处，
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：0.000000028=2.8×10−8．
故选：B．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
5.【答案】B
【解析】解：A、由∠1=∠2不能得出AB/​/CD，不符合题意；
B、由∠3=∠4可得AB/​/CD，符合题意；
C、由∠1+∠3=180°不能判定AB/​/CD，不符合题意；
D、由∠3+∠4=180°不能得出AB/​/CD，不符合题意．
故选：B．
根据平行线的判定定理逐一判断即可．
此题主要考查了平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据平方差公式的结构特征可知，
A.(2a+b)(2b−a)不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B.(2x+1)(−2x−1)=−(2x+1)(2x+1)，不能利用平方差公式，因此选项B不符合题意；
C.(3x−y)(−3x+y)=−(3x−y)(3x−y)，不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D.(−m+n)(−m−n)=[(−m)+n][(−m)−n]，能利用平方差公式，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确判断的关键．
7.【答案】A
【解析】解：原式=(−8×18)2024
=(−1)2024
=1，
故选：A．
逆用积的乘方法则：anbn=(ab)n，进行简便计算即可．
本题主要考查了积的乘方法则，解题关键是熟练掌握逆用积的乘方法则．
8.【答案】C
【解析】解：∵新正方形边长是x+4，原正方形边长是4，
∴新正方形面积是(x+4)2，原正方形面积是16，
∴y=(x+4)2−16=x2+8x
故选：C．
增加的面积=新正方形的面积−原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
本题考查列二次函数解析式，根据题意列出增加面积的等量关系是解决本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得：函数关系式C=2πr中常量是2π，变量是C、r．
故选：D．
根据常量和变量的定义，即可求解．
本题主要考查了常量和变量，熟练掌握在研究某一问题的过程中，保持一定数量的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由折叠得：∠CBD=∠EBD=35°，
∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠CBD=35°，
∴∠BOD=180°−∠EBD−∠ADB=110°，
故选：C．
先利用折叠的性质可得：∠CBD=∠EBD=35°，然后利用平行线的性质可得∠ADB=∠CBD=35°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
11.【答案】4x
【解析】解：28x4y2÷7x3y2
=4x，
故答案为：4x．
根据单项式除以单项式法则求出即可．
本题考查了整式的除法法则的应用，能熟记知识点是解此题的关键．
12.【答案】40°
【解析】解：∵∠β=40°，
∴∠β=∠α=40°
故答案为：40°．
根据对顶角相等，即可解答．
本题考查了对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
13.【答案】70°
【解析】解：∵一个角的补角是110°，
∴这个角的度数=180°−110°=70°，
故答案为：70°．
根据补角的定义进行计算，即可解答．
本题考查了余角和补角，熟练掌握补角的定义是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵x2−y2=(x−y)(x+y)，x2−y2=20，x−y=4，
∴x+y=x2−y2x−y=204=5，
故答案为：5．
根据平方差公式x2−y2=(x−y)(x+y)进行计算即可．
本题考查了平方差公式，掌握平方差公式x2−y2=(x−y)(x+y)是解题的关键．
15.【答案】50°
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠2=∠D=40°，
∵EF⊥DB，
∴∠EFD=90°，
∴∠1=90°−∠D=50°，
故答案为：50°．
先利用平行线的性质可得∠2=∠D=40°，再根据垂直定义可得∠EFD=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：由图形可知，
圆柱体的高是20cm，正方体铁块的高是10cm，圆柱体一半注满水需要28−12=16(秒)，
故如果将正方体铁块取出，又经过16−12=4(秒)恰好将水槽注满，
故答案为：4．
根据函数图象和图象中的数据，可以求得如果将正方体铁块取出，又经过多少秒恰好将水槽注满．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．
17.【答案】解：(1)899×901+1
=(900−1)(900+1)+1
=9002−1+1
=810000；
(2)(−1)3+(7−π)0−(13)−2
=−1+1−9
=−9．
【解析】(1)将899×901写成(900−1)(900+1)，然后利用平方差公式计算即可；
(2)根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了平方差公式，实数的运算，熟练掌握平方差公式、零指数幂、负整数指数幂是解题的关键．
18.【答案】解：(a−2)(a+2)−a(a−2)
=a2−4−a2+2a
=2a−4，
当a=3时，原式=2×3−4
=6−4
=2．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)表格反映的是时间和退耕还林的面积两个变量之间的关系，其中时间是自变量，退耕还林的面积是因变量．
(2)从上表可知，随着时间的变化，退耕还林的面积的变化趋势是逐年增加．
(3)360+390+430+520+610+730=3040(亩)，
∴从2018年到2023年底，该县已完成退耕还林的面积是3040亩．
【解析】(1)根据变量、自变量和因变量的定义作答即可；
(2)根据每年退耕还林的面积的变化规律作答即可；
(3)将表格中每年退耕还林的面积求和即可．
本题考查函数的表示方法、常量与变量，熟练掌握变量、自变量与因变量的定义是本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵AC//DE，
∴∠C=∠1．
∵∠AFD=∠1，
∴∠C=∠AFD．
∴DF//BC．
(2)∵∠1=66°，DF/​/BC，
∴∠EDF=∠1=66°．
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF=∠EDF=66°．
∵DF/​/BC，
∴∠B=∠ADF=66°．
【解析】(1)根据平行线的判定得出即可．
(2)根据平行线的性质求出∠B．
本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质和判定是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，∠CBE为所作；

(2)BE与AD平行．
理由如下：
∵∠CBE=∠A，
∴BE/​/AD．
【解析】(1)利用基本作图作∠CBE等于已知∠A即可；
(2)根据平行线的性质可判断BE//AD．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的判定与性质．
22.【答案】解：(1)(2a+3b)(2a−b)−4b2
=4a2+6ab−2ab−3b2−4b2
=(4a2+4ab−7b2)平方米，
∴铺设的草坪的面积为(4a2+4ab−7b2)平方米；
(2)当a=10，b=5时，4a2+4ab−7b2=4×102+4×10×5−7×52=425平方米，
∴铺设草坪所需要的费用为425×30=12750元．
【解析】(1)用长方形面积减去4个正方形面积即可得到答案；
(2)根据(1)所求代入a=10，b=5求出草坪的面积，进而求出对应的费用即可．
本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
23.【答案】①②③
【解析】解：(1)图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的右图是底为a+b，高为a−b的平行四边形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，因此图①可以验证平方差公式；
图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的右图是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，因此图②可以验证平方差公式；
图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的右图是底为a+b，高为a−b的平行四边形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，因此图③可以验证平方差公式；
图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即(a+b)2−(a−b)2，拼成的右图是长为2a，宽为2b的长方形，因此面积为4ab，
所以有(a+b)2−(a−b)2=4ab，因此图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故答案为：①②③；
(2)原式=20222−(2022+2)(2022−2)
=20222−(20222−4)
=20222−20222+4
=4；
(3)原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)
=(28−1)(28+1)⋯(232+1)
=(216−1)(216+1)(232+1)
=(232−1)(232+1)
=264−1．
(1)用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可；
(2)利用平方差公式进行计算即可；
(3)将原式化为(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)，再连续利用平方差公式进行计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
24.【答案】解：(1)过点E作EM/​/AB，

∴∠B=∠BEM，
∵AB/​/CD，
∴EM/​/CD，
∴∠DEM=∠D，
∴∠BEM+∠DEM=∠B+∠D，
即∠BED=∠B+∠D，
∵∠B=25°，∠D=40°，
∴∠BED=25°+40°=65°，
∴∠BED的度数为65°；
(2)∠ABE+∠BEC−∠C=180°，
理由：延长AB到N，

由(1)得：∠BEC=∠C+∠NBE，
∵∠NBE=180°−∠ABE，
∴∠BEC=∠C+180°−∠ABE，
∴∠ABE+∠BEC−∠C=180°；
(3)延长DC交BF于点P，

由(2)可得：∠ABE+∠BEC−∠DCE=180°，
∵∠BEC=104°，
∴∠ABE−∠DCE=180°−∠BEC=76°，
∵BF，CG分别平分∠ABE，∠DCE，
∴∠ABP=12∠ABE，∠DCG=12∠DCE，
∵AB/​/CD，
∴∠ABP=∠1，
∵∠1是△CFP的一个外角，
∴∠BFC=∠1−∠PCF，
∵∠PCF=∠DCG，
∴∠BFC=∠ABP−∠DCG
=12∠ABE−12∠DCE
=12(∠ABE−∠DCE)
=12×76°
=38°，
∴∠BFC的度数为38°．
【解析】(1)过点E作EM/​/AB，利用猪脚模型进行计算，即可解答；
(2)延长AB到N，利用(1)的结论可得：∠BEC=∠C+∠NBE，再利用平角定义可得∠NBE=180°−∠ABE，然后利用等量代换可得∠BEC=∠C+180°−∠ABE，即可解答；
(3)延长DC交BF于点P，利用(2)的结论可得：∠ABE+∠BEC−∠DCE=180°，从而可得∠ABE−∠DCE=76°，再利用角平分线的定义可得∠ABP=12∠ABE，∠DCG=12∠DCE，然后利用平行线的性质可得∠ABP=∠1，再利用三角形的外角性质可得∠BFC=∠1−∠PCF，最后根据对顶角相等可得∠PCF=∠DCG，从而利用等量代换可得∠BFC=12(∠ABE−∠DCE)，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．时间/年
2018
2019
2020
2021
2022
2023
面积/亩
360
390
430
520
610
730