2023-2024学年浙江省宁波市海曙区部分学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市海曙区部分学校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.00000065mm2，将0.00000065用科学记数法表示为( )
A. 6.5×10−6B. 6.5×10−7C. 65×10−8D. 0.65×10−7
3.如图，与∠1是同位角的是( )
A. ∠2
B. ∠3
C. ∠4
D. ∠5
4.多项式3m2+6mn的公因式是( )
A. 3B. mC. 3mD. 3n
5.已知某个二元一次方程的一个解是x=1y=2，则这个方程可能是( )
A. 2x−y=0B. 3x−2y=0C. 2x+y=5D. x=2y
6.下列由左到右的变形中，是因式分解的是( )
A. (x+2)(x−2)=x2−4B. x2−1=x(x−1x)
C. x2−4x+3=(x+2)(x−2)+3xD. x2−9=(x+3)(x−3)
7.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点.若∠1=150°，∠2=25°，则∠3的度数为( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
8.某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是( )
A. x+7y=16x+13y=28B. x+(7−2)y=16x+13y=28
C. x+7y=16x+(13−2)y=28D. x+(7−2)y=16x+(13−2)y=28
9.已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=cbx+ay=d的解为x=1y=3，若m，n满足二元一次方程组a(m+n)+b(m−n)=2cb(m+n)+a(m−n)=2d，则m+2n=( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
10.在矩形ABCD内，将一张边长为a和两张边长为b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长( )
A. ABB. ADC. aD. b
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a6的算式______．
12.因式分解：3ab−6b=______．
13.计算：(−13)2017⋅(−3)2018=______．
14.如图所示，∠1+∠2=240°，b/​/c，则∠3= ______度．
15.在3x+5y=9中，用y的代数式表示x，则x=______．
16.已知2a=5，2b=10，2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是
17.甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为______岁．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
18.计算：
(1)−32−(π−3)0+(−2)−1；
(2)(−xy2)2⋅x2y÷(x3y4).
19.解方程组：
(1)2x−y=53x+2y=4；
(2)x−y3=x+y22x−5y=7．
四、解答题：本题共5小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题3分)
已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米∕秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．完成下列问题：
(1)当t=1.5秒时，S=______平方厘米；
(2)当S=2时，小正方形平移的时间为______秒．
21.(本小题6分)
阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y2−16.我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.过程如下：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4).这种因式分解的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：a2−6ab+9b2−36；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2−2ab−2bc=0，判断△ABC的形状并说明理由．
22.(本小题8分)
织里某品牌童装在甲、乙两家门店同时销售A，B两款童装，4月份甲门店销售A款童装60件，B款童装15件，两款童装的销售总额为3600元，乙门店销售A款童装40件，B款童装60件，两款童装的销售总额为4400元．
(1)A款童装和B款童装每件售价各是多少元？
(2)现计划5月将A款童装的销售额增加20%，问B款童装的销售额需增加百分之几，才能使A，B两款童装的销售额之比为4：3？
23.(本小题10分)
定义abcd=ad−bc，如1324=1×4−2×3=−2.已知A=2x+11nx−12x，B=x+1x−1x−1x+1(n为常数)．
(1)若B=4，求x的值；
(2)若A中的n满足2×2n+1=22时，且A=B+2，求8x3−4x+3的值．
24.(本小题10分)
如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF/​/GH；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：观察图形可知，B图案不能通过平移图案得到．
故选：B．
根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，找各点位置关系不变的图形．
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
2.【答案】B
【解析】解：0.00000065=6.5×10−7．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：由图可得：∠1和∠2是同旁内角，∠1和∠3是内错角，∠1和∠4是同位角，∠1和∠5什么位置的角也不是，
故选：C．
根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两直线同侧，并且在第三条直线的同旁，则这样一对角叫同位角进行判断即可．
本题考查同位角的概念，熟练掌握同位角的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：多项式3m2+6mn的公因式是3m，
故选：C．
找出多项式的公因式即可．
此题主要考查了公因式，找公因式的方法为：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，只在一个式子中出现的字母不能作为公因式的一个因式．
5.【答案】A
【解析】解：当x=1y=2时，
左边=2×1−2=0，右边=0，
∵0=0，
∴x=1y=2是二元一次方程2x−y=0的一个解，
∴选项A符合题意；
当x=1y=2时，
左边=3×1−2×2=−1，右边=0，
∵−1≠0，
∴x=1y=2不是二元一次方程3x−2y=0的一个解，
∴选项B不符合题意；
当x=1y=2时，
左边=2×1+2=4，右边=5，
∵4≠5，
∴x=1y=2不是二元一次方程2x+y=5的一个解，
∴选项C不符合题意；
当x=1y=2时，
左边=1，右边=2×2=4，
∵1≠4，
∴x=1y=2不是二元一次方程x=2y的一个解，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
把x=1y=2代入所给的每个二元一次方程，看看二元一次方程两边的值是否相等即可．
此题主要考查了二元一次方程的解，解答此题的关键是要明确：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
6.【答案】D
【解析】解：A、不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
7.【答案】D
【解析】解：∵AB/​/OF，
∴∠1+∠OFB=180°，
∵∠1=150°，
∴∠OFB=30°，
∵∠POF=∠2=25°，
∴∠3=∠POF+∠OFB=30°+25°=55°．
故选：D．
由平行线的性质求出∠OFB=30°，由对顶角的性质得到∠POF=∠2=25°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元可列方程组．
【解答】
解：设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，
则所列方程组为x+(7−2)y=16x+(13−2)y=28，
故选：D．
9.【答案】A
【解析】解：将方程组a(m+n)+b(m−n)=2cb(m+n)+a(m−n)=2d转化为a⋅m+n2+b⋅m−n2=cb⋅m+n2+a⋅m−n2=d，
∵方程组ax+by=cbx+ay=d的解为x=1y=3，
∴m+n2=1m−n2=3，
整理得：m+n=2①m−n=6②，
①+②，得：2m=8，
∴m=4，
将m=1=4代入①得n=−2，
∴m+2n=4+2×(−2)=0，
故选：A．
将方程组a(m+n)+b(m−n)=2cb(m+n)+a(m−n)=2d转化为a⋅m+n2+b⋅m−n2=cb⋅m+n2+a⋅m−n2=d，根据方程组ax+by=cbx+ay=d的解为x=1y=3得m+n2=1m−n2=3，由此得m=4，n=−2，进而可得m+2n的值．
此题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧，理解二元一次方程组的解是解决问题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：图1中阴影部分的周长=2AD+2AB−4b，
图2中阴影部分的周长=2AD−2b+4AB−2b，
l=2AD−4b+4AB−(2AD+2AB−4b)=2AD−4b+4AB−2AD−2AB+4b=2AB．
故若要知道l的值，只要测量图中线段AB的长．
故选：A．
根据平移的知识和周长的定义，列出算式l=2AD−4b+4AB−(2AD+2AB−4b)，再去括号，合并同类项即可求解．
本题考查了整式的加减，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长．
11.【答案】a4⋅a2=a6(答案不唯一)
【解析】解：a4⋅a2=a6．
故答案是a4⋅a2=a6(答案不唯一)．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求．注意答案不唯一．
本题考查了同底数幂的乘方，解题的关键是注意掌握同底数幂的运算法则．
12.【答案】3b(a−2)
【解析】解：原式=3b(a−2)．
故答案为：3b(a−2)．
直接提取公因式3b，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13.【答案】−3
【解析】解：原式=[(−13)×(−3)]2017×(−3)
=−3．
故答案为：−3．
直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
14.【答案】60
【解析】解：∵∠1=∠2，且∠1+∠2=240°，
∴∠1=∠2=120°；
又b/​/c，
∴∠3=180°−∠2=60°．
根据对顶角相等的性质可得∠1=∠2，再根据平行线的性质可得∠3=180°−∠2．
解本题的关键是弄清角之间的位置关系，正确运用对顶角相等、平行线的性质．
15.【答案】9−5y3
【解析】解：3x+5y=9，
解得：x=9−5y3．
故答案为：9−5y3．
将y看做已知数，表示出x即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x(y)看做已知数，y(x)看做未知数．
16.【答案】a+b=c
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法可得2a⋅2b=50，进而可得a+b=c．
此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】
解：∵2a=5，2b=10，
∴2a⋅2b=50，
即2a+b=50，
又∵2c=50，
∴a+b=c，
故答案为：a+b=c．
17.【答案】23
【解析】解：设甲现在x岁，乙现在y岁，
依题意，得：y−(x−y)=4x+(x−y)=61，
解得：x=42y=23．
故答案为：23．
设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】解：(1)−32−(π−3)0+(−2)−1
=−9−1−12
=−1012；
(2)(−xy2)2⋅x2y÷(x3y4)
=x2y4⋅x2y÷(x3y4)
=x4y5÷(x3y4)
=xy．
【解析】(1)先算平方、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减法即可求解；
(2)先算积的乘方、再算单项式乘除法运算．
考查了积的乘方、单项式乘除，乘方、零指数幂、负整数指数幂，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
19.【答案】解：(1)2x−y=5 ①3x+2y=4 ②，
①×2+②得：7x=14，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=−1，
则方程组的解为x=2y=−1；
(2)方程组整理得：x+5y=0 ①2x−5y=7 ②，
①+②得：3x=7，
解得：x=73，
把x=73代入①得：y=−715，
则方程组的解为x=73y=−715．
【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
(1)方程组利用加减消元法求出解即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
20.【答案】解：(1)3；
(2) 1或5．
【解析】解：(1)t=1.5时，重叠部分长方形的宽=1.5×1=1.5cm，
所以，S=1.5×2=3cm2；
故答案为：3；
(2)当S=2时，重叠部分长方形的宽=2÷2=1cm，
重叠部分在大正方形的左边时，t=1÷1=1秒，
重叠部分在大正方形的右边时，t=(4+2−1)÷1=5秒，
综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒．
故答案为1或5．
(1)根据路程=速度×时间求出平移的距离，再根据重叠部分是长方形列式计算即可得解；
(2)先求出重叠部分长方形的宽，再分重叠部分在大正方形的左边和右边两种情况讨论求解．
本题考查了平移的性质，主要利用了长方形的面积，难点在于(2)要分两种情况解答．
21.【答案】解：(1)a2−6ab+9b2−36=(a−3b)2−36=(a−3b−6)(a−3b+6)；
(2)△ABC是等边三角形，
理由：∵a2+c2+2b2−2ab−2bc=0，
∴(a2−2ab+b2)+(c2−2bc+b2)=0，
∴(a−b)2+(b−c)2=0，
∴a−b=0，且b−c=0，
∴a=b，且b=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
【解析】(1)前三项符号完全平方式，再和最后一项应用平方差公式；
(2)将2b2分成两个b2，再进行分组分解．
本题属于阅读理解题，主要考查了因式分解的应用，熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设A款童装每件售价为x元，B款每件售价为y元，
根据题意得：60x+15y=360040x+60y=4400，
解得：x=50y=40．
答：A款童装每件售价为50元，B款每件售价为40元．
(2)5月A款销售额为(60+40)×50×(1+20%)=6000(元)，
由题意得5月B款销售额为6000×34=4500(元)，
4月B款销售额为(15+60)×40=3000元(元)，
∴B款销售额增加4500−30003000×100%=50%．
答：B款童装的销售额需增加50%，才能使A，B两款童装的销售额之比为4：3．
【解析】(1)设A款童装每件售价为x元，B款每件售价为y元，根据“甲门店销售A款童装60件，B款童装15件，两款童装的销售总额为3600元，乙门店销售A款童装40件，B款童装60件，两款童装的销售总额为4400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)由销售总额=销售单价×数量×(1+增长率)可求出5月A款销售额，结合A，B两款童装的销售额之比为4：3可求出5月B款销售额，由销售总额=销售单价×数量可求出4月B款销售额，再由4，5月B款销售额可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据数量关系，列式计算．
23.【答案】解：(1)由题意可得，
B=(x+1)2−(x−1)2
=x2+2x+1−x2+2x−1
=4x，
∵B=4，
∴4x=4，
解得x=1；
(2)由题意可得，
A=(2x+1)⋅2x−(nx−1)=4x2+(2−n)x+1，
∵2×2n+1=22，
∴2n+2=22，
∴n+2=2，
解得n=0，
∴A=4x2+2x+1，
由(1)知：B=4x，
∵A=B+2，
∴4x2+2x+1=4x+2，
∴4x2=2x+1，
∴8x3−4x+3
=2x⋅4x2−4x+3
=2x(2x+1)−4x+3
=4x2+2x−4x+3
=2x+1+2x−4x+3
=4．
【解析】(1)根据题目中的新定义，先化简B，然后根据B=4，即可得到x的值；
(2)根据2×2n+1=22，可以得到n的值，再根据A=B+2，即可求得8x3−4x+3的值．
本题考查整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
24.【答案】解：(1)如图1，因为∠1与∠2互补，
所以∠1+∠2=180°．
又因为∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
所以∠AEF+∠CFE=180°，
所以AB/​/CD；
(2)如图2，由(1)知，AB/​/CD，
所以∠BEF+∠EFD=180°．
又因为∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
所以∠FEP+∠EFP=12(∠BEF+∠EFD)=90°，
所以∠EPF=90°，即EG⊥PF．
因为GH⊥EG，
所以PF/​/GH；
(3)∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
如图3，因为∠1=∠2，∠3=180°−∠PKH，∠PKH=180°−(∠1+∠2)，
所以∠3=2∠2．
又因为GH⊥EG，
所以∠4=90°−∠3=90°−2∠2，
所以∠EPK=180°−∠4=90°+2∠2．
因为PQ平分∠EPK，
所以∠QPK=12∠EPK=45°+∠2．
所以∠HPQ=∠QPK−∠2=45°，
所以∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．
【解析】(1)利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB/​/CD；
(2)利用(1)中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的定义、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF/​/GH；
(3)利用三角形内角和定理求得∠4=90°−∠3=90°−2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=12∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．
本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．