2023-2024学年天津市河西区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市河西区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若 3+x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥3B. x>3C. x≥−3D. x≤−3
2.计算： 2a+ 8a=( )
A. 10aB. 10aC. 3 2aD. 3 2a
3.由下列长度组成的各组线段中，不能组成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 1， 2， 3C. 5，12，13D. 4，5，6
4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( )
A. ∠B=∠BCFB. ∠B=∠FC. AC=CFD. AD=CF
5.如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=50m，AC=20m，则A，B两点间的距离是m．( )
A. 10 21
B. 10 29
C. 30
D. 70
6.菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线的长度是( )
A. 20 cmB. 5 3cmC. 52 3 cmD. 5 cm
7.下列命题中，是真命题的是( )
A. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形
8.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
9.利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA=5，过点A作直线1垂直于OA，在1上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是( )
A. 21B. 29C. 7D. 29
10.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点M是边AB上一点(不与点A，B重合)，作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是( )
A. 1.2B. 1.5C. 2.4D. 2.5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.化简 18的结果是______．
12.计算：( 17+1)( 17−1)= ______．
13.边长为4的正方形的对角线的长度为______
14.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于______．
15.如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB=6，AD=8，BC=24，CD=26，则四边形ABCD的面积为______．
16.如图，正方形ABCD的边长为8，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE=4，DF=2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(Ⅰ)( 24− 12)−( 18+ 6)；
(Ⅱ)(2 2+3 3)2．
18.(本小题6分)
已知x=2+ 3，求代数式(7−4 3)x2+(2− 3)x+ 3的值．
19.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：
(1)AE=CF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
20.(本小题8分)
我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺(AB=10尺)的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P是AB的中点)，它高出水面1尺(MP=1尺).如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面(MN=BN)，求水的深度PN．
21.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE/​/AC，AE/​/BD，OE与AB交于点F．
(1)求证：四边形AEBO的为矩形；
(2)若OE=10，AC=16，求菱形ABCD的面积．
22.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．
(1)求证：AE=CF；
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．
23.(本小题8分)
将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系xOy内，边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是(a,b)且a、b满足 2a−3b+(a+b−10)2=0，点P是线段B上的动点，将△OCP沿OP翻折得到△OC′P．
(1)求点A和C的坐标；
(2)如图①，当点C′落在线段AP上时，求点P的坐标；
(3)如图②，当点P为线段BC中点时，求线段BC′的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：若 3+x在实数范围内有意义，则
3+x≥0，
解得：x≥−3，
故选：C．
二次根式中的被开方数是非负数．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键．如果一个式子中含有多个二次根式，那么各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2.【答案】C
【解析】解： 2a+ 8a
= 2a+2 2a
=3 2a．
故选：C．
利用二次根式的加减的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】D
【解析】解：32+42=52，故选项A不符合题意；
12+( 2)2=( 3)2，故选项B不符合题意；
52+122=132，故选项C不符合题意；
42+52≠62，故选项D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
4.【答案】A
【解析】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/AC，DE=12AC，
A、∵∠B=∠BCF，
∴CF//AB，即CF/​/AD，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
B、根据∠B=∠F不能判定AC/​/DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据AC=CF不能判定AC/​/DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、根据AD=CF，FD//AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
利用三角形中位线定理得到DE/​/AC，DE=12AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定、三角形的中位线定理以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可知，∠BAC=90°，
∴AB= CB2−AC2= 502−202=10 21(m)，
即A，B两点间的距离是10 21m，
故选：A．
根据勾股定理求出AB的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质和勾股定理，能灵活运用菱形的性质进行推理是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四条边都相等．
根据菱形的性质得出AB=AD=BC=CD=5cm，AD//BC，AC⊥BD，BD=2BO，AO=OC=12AC，求出AC=AB=5cm，根据勾股定理求出OB，即可求出答案．
【解答】
解：
∵菱形的周长为20cm，
∴AB=AD=BC=CD=5cm，AD//BC，AC⊥BD，BD=2BO，AO=OC=12AC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵两个相邻的内角的度数之比为1：2，令∠ABC：∠DAB=1：2，
则∠ABC=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=5cm，
∴AO=52cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO= 52−(52)2=52 3(cm)，
即BD=2OB=5 3cm，
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：A、两条对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题；
D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
故选：C．
根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的判定解答即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=12AC，FG=EH=12BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
【解答】
解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=12AC，FG=EH=12BD(三角形的中位线等于第三边的一半)，
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．
9.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，OB= 52+22= 29，
∴点C表示的无理数是 29．
故选：B．
利用勾股定理列式求出OB判断即可．
本题考查了勾股定理，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CM⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
连接CM，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFME是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CM，再根据垂线段最短可得CM⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可得到EF的值，再利用直角三角形的性质即可得到CP的值．
【解答】
解：如图，连接CM交EF于P点．
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2=5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFME是矩形，
∴EF=CM，
由垂线段最短可得CM⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CM，
即12×4×3=12×5⋅CM，
解得CM=2.4，
∴EF=2.4．
∵点P是EF的中点，∠ACB=90°，
∴CP=12EF=1.2
故选A．
11.【答案】3 2
【解析】解： 18= 32×2=3 2．
故答案为：3 2．
由二次根式的性质： a2=|a|，即可解答．
本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
12.【答案】16
【解析】解：( 17+1)( 17−1)=( 17)2−1=17−1=16．
故答案为：16．
两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式计算，结果是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2．
13.【答案】4 2
【解析】解：边长为4的正方形的对角线的长度为 42+42= 32=4 2，
故答案为：4 2．
根据正方形的每条边都相等，每个角都为90°，得出对角线是等腰直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求得．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
14.【答案】6cm
【解析】解：∵菱形ABCD的周长为48cm，
∴AD=12cm，AC⊥BD，
∵E是AD的中点，
∴OE=12AD=6(cm)．
故答案是：6cm．
由菱形ABCD的周长为48cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC⊥BD，又由E是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长．
此题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
15.【答案】144
【解析】解：如图，连接BD，
∵AB⊥AD，
∴∠A=90°，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10，
在△CBD中，BC=24，CD=26，BD=10，
∴CD2=BD2+BC2，
∴△CBD是直角三角形，且∠CBD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=12AD⋅AB+12BD⋅BC=12×6×8+12×10×24=24+120=144，
即四边形ABCD的面积为144，
故答案为：144．
连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理逆定理证得△BCD直角三角形，然后由S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD列式计算即可．
本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
16.【答案】 13
【解析】解：过O作OM⊥BC于M，ON⊥CD于N，连接OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△OBC，OCD是等腰直角三角形，
∴MC=12BC=12×8=4，DN=12CD=12×8=4，
∵CE=4，
∴CE=CM，
∵OM//CH，
∴OH=HE，
∵FG=EG，
∴GH是△EOF的中位线，
∴GH=12OF，
∵△OCD是等腰直角三角形，N是CD中点，
∴ON=12CD=4，
∵FN=DN+FD=4+2=6，
∴FO= ON2+FN2=2 13，
∴GH=12OF= 13．
故答案为： 13．
过O作OM⊥BC于M，ON⊥CD于N，连接OF，由正方形的性质得到△OBC，OCD是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质求出MC=12BC=4，DN=12CD=4，由平行线等分线段定理推出FG=EG，得到GH是△EOF的中位线，因此GH=12OF，由直角三角形斜边中线的性质求出ON=12CD=4，由勾股定理求出FO= ON2+FN2=2 13，于是得到GH=12OF= 13．
本题考查正方形的性质，等腰直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，关键是由平行线等分线段定理推出GH是△EOF的中位线，由勾股定理求出OF的长．
17.【答案】解：(Ⅰ)原式=2 6− 22− 24− 6
= 6−3 24；
(Ⅱ)原式=(2 2)2+2×2 2×3 3+(3 3)2
=8+12 6+27
=35+12 6．
【解析】(Ⅰ)去括号，化简各个二次根式，再合并同类二次根式；
(Ⅱ)利用完全平方公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
18.【答案】解：∵x=2+ 3，
∴(7−4 3)x2+(2− 3)x+ 3
=(7−4 3)(2+ 3)2+(2− 3)(2+ 3)+ 3
=(7−4 3)(7+4 3)+(4−3)+ 3
=49−48+1+ 3
=2+ 3．
【解析】把x=2+ 3代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解．
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式．
19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD//BC，AD=BC．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°．
∵在△ADE与△CBF中
∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBFAD=CB，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AE=CF．
(2)∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEF=∠CFE=90°．
∴AE//CF．
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】(1)欲证明AE=CF，只要证明△ADE≌△CBF(AAS)即可；
(2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明；
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】解：水深PN为h尺，则芦苇MN长为(h+1)尺，
根据勾股定理，得(h+1)2−h2=(10÷2)2，
解得h=12，
∴水深为12尺．
答：水的深度PN为12尺．
【解析】设水深PN为h尺，则芦苇MN长为(h+1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．
本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵BE/​/AC，AE/​/BD，
∴四边形AEBO是平行四边形，
又∵菱形ABCD对角线交于点O，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴四边形AEBO为矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC=16，
∴OA=12AC=8，OB=OD，AC⊥BD，
∵四边形AEBO是矩形，
∴AB=OE=10，
∴OB= AB2−OA2= 102−82=6，
∴BD=2OB=12，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×16×12=96．
【解析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
(1)先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB=90°，即可得出结论；
(2)由勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
AB=CB∠ABE=∠CBFBE=BF,
∴△AEB≌△CFB(SAS)，
∴AE=CF；
(2)解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
又∵BE=BF，
∴△BEF为等腰直角三角形，
则∠BEF=∠EFB=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°−55°=35°，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．
【解析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质及等腰直角三角形，解题的关键是证明△AEB≌△CFB，找出相等的线段，属于中档题．
(1)先证明△AEB≌△CFB，即可证明AE=CF；
(2)利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，再利用∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．
23.【答案】解：(1)∵ 2a−3b+(a+b−10)2=0，
∴2a−3b=0a+b−10=0,
解得：a=6b=4,
∴B(6,4)，
又∵四边形OABC为矩形，
∴A(6,0)，C(0,4)；
(2)由(1)可知：AO=BC=6，CO=BA=4，
∵AO//BC，
∴∠CPO=∠AOP，
由折叠易知：∠CPO=∠C′PO，
∴∠AOP=∠C′PO，
∴AO=AP=6，
在Rt△ABP中，PB= AP2−AB2= 62−42=2 5，
∴CP=BC−PB=6−2 5，
∴点P坐标为：(6−2 5,4)；
(3)连接CC′，交PO于点D，如图所示：
在Rt△PCO中，OC=4，PC=12BC=12×6=3，
∴OP= CP2+CO2= 42+32=5，
由折叠易知：OP垂直平分线段CC′，即D为CC′的中点，
∴S△PCO=12×PC×CO=12×PO×CD，
∴CD=PC×COPO=4×35=125，
在Rt△PDC中，PD= PC2−CD2= 32−1252=95，
又∵D为CC′的中点，P为BC中点，
∴PD为△CC′B的中位线，
∴BC′=2PD=2×95=185．
【解析】(1)由 2a−3b+(a+b−10)2=0，根据二次根式和平方根的非负性即可推出a、b的值，再通过矩形的特点即可求出A、C坐标；
(2)通过折叠和矩形的平行线推出AO=AP，再在Rt△ABP中利用勾股定理即可求出BP的长，再表示出点P坐标即可；
(3)连接CC′，交PO于点D，利用折叠性质易知D为CC′中点，再利用三角形中位线性质即可求出BC′的长．
本题属于四边形综合题，考查折叠的基本性质，勾股定理，三角形中位线等性质，理解题意，合理作出辅助线，熟练掌握相关性质灵活运用是解题的关键．