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2023-2024学年江苏省无锡市江阴市澄要片七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江阴市澄要片七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. x2⋅x4=x8B. a10÷a2=a5C. m3+m2=m5D. (−a2)3=−a6
3.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 3cm、3cm、6cmB. 5cm、6cm、2cm
C. 2cm、7cm、4cmD. 12cm、4cm、7cm
4.如果a=(−2024)0，b=(12)−1，c=(−3)−2，那么a、b、c的大小关系为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>b>aD. b>a>c
5.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A. (3a+b)(a−b)B. (−3a−b)(−3a+b)
C. (3a+b)(−3a−b)D. (−3a+b)(3a−b)
6.下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. (x+y)(x−y)=x2−y2B. x2−4x+6=x(x−4)+6
C. 14xy2=2x⋅7y2D. m2 n+8n=n(m2+8)
7.若(a+2b)2=(a−2b)2+N，则代数式N是( )
A. 4abB. 8abC. −4abD. −8ab
8.如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于( )
A. 50°
B. 60°
C. 75°
D. 85°
9.下列说法中，正确的个数为( )
①△ABC中，∠A=2∠B=2∠C，则△ABC是直角三角形；
②三角形的外角大于任意一个内角；
③n边形每增加一条边，其内角和增加180°；
④若a、b、c均大于0，且满足a+b>c，则长为a、b、c的三条线段一定能组成三角形；
⑤△ABC在平移过程中，对应线段一定平行．
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.已知△ABC的面积等于18，CE=DE，BD=4AD，则△BDE与△CEF的面积和等于( )
A. 7
B. 7.5
C. 8
D. 9
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数用科学记数法表示为______．
12.已知一个多边形每一个外角都是60°，则它是______边形．
13.若多项式x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值应为______．
14.若2x=3，2y=5，则2x−2y= ______．
15.已知x+y=3，xy=−2，则x2y+xy2= ______．
16.若(x−2)(x+6)=x2+mx+n(m、n为常数)，则m+n= ______．
17.如图，已知∠1=70°，∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B= ．
18.中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子23=8可以变形为3=lg28，2=lg525也可以变形为52=25；现把式子4x=3表示为x=lg43，请你用x的代数式来表示y=lg436，则y= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
19.因式分解：
(1)2x(a−b)+5(b−a)；
(2)x3−9x；
(3)x3y−10x2y+25xy．
四、解答题：本题共7小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题12分)
计算或化简：
(1)(−3)2−(π−5)0+(14)−1；
(2)a⋅a5+(−2a3)2+a8÷a2；
(3)(−x+1)(x+2)+2x(−x+12).
21.(本小题4分)
先化简，再求值：(3a+b)2−(3a−b)(3a+b)，其中a=1，b=−2．
22.(本小题6分)
如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．
(1)补全△A′B′C′；利用网格点和直尺画图；
(2)画出△ABC中AB边上的高线CD；
(3)点E为方格纸上的格点(异于点C)，若S△ABC=S△EBC，则图中的格点E共有______个.
23.(本小题6分)
已知：如图，AE⊥BC于M，FG⊥BC于N，∠1=∠2．
(1)求证：AB//CD；
(2)若∠D=∠3+50°，∠CBD=60°，求∠C的度数．
24.(本小题7分)
观察以下一系列等式：
①21−20=2−1=20；
②22−21=4−2=21；
③23−22=8−4=22；
④ ______；
…
(1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式；______；
(2)若字母n代表第n个等式，请用字母n表示上面所发现的规律：______；
(3)请利用上述规律计算：20+21+22+23+…+22000．
25.(本小题9分)
2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”，它是由四个大小相等，形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．
(1)若a=6，b=8，则图1中大正方形的面积为______；
(2)猜想a2、b2、c2之间的数量关系，并按给出的格式说明理由．
∵S大正方形= ______，S大正方形= ______= ______，
∴ ______；
(3)若图1中大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，现将四个直角三角形按如图2的形式重新摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．
26.(本小题10分)
已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点(A,B,C不与点O重合)，连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC=α．
(1)如图1，若AB//ON，
①∠ABO的度数是______；
②当∠BAD=∠ABD时，∠OAC的度数是______；
当∠BAD=∠BDA时，∠OAC的度数是______；
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、图形由轴对称所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；
B、图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，符合平移性质，故本选项符合题意；
C、图形由旋转所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；
D、图形大小不一，大小发生变化，不符合平移性质，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据平移的基本性质，结合图形，对选项进行一一分析即可得到答案．
本题考查的是平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法及幂的运算性质，属于基本运算，应重点掌握．
利用同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法及幂的运算性质进行计算后即可得到正确的答案．
【解答】
解：A、x2⋅x4=x2+4=x6，故本选项错误；
B、a10÷a2=a10−2=a8，故本选项错误；
C、m3+m2不能再继续计算，故本选项错误；
D、(−a2)3=−a2×3=−a6，故本选项正确；
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：A、3+3=6，长度是3cm、3cm、6cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+5>6，长度是5cm、6cm、2cm的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、2+4<7，长度是2cm、7cm、4cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、4+7<12，长度是12cm、4cm、7cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
4.【答案】D
【解析】解：由题可知，
∵a=(−2024)0=1，b=(12)−1=2，c=(−3)−2=19，
∴2>1>19，
∴b>a>c．
故选：D．
先根据负整数指数幂法则、零指数幂法则求出a、b与c的值，再进行比较大小即可．
本题考查负整数指数幂、有理数大小比较、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、中不存在互为相反数的项，
B、−3a是相同的项，互为相反项是b与−b，符合平方差公式的要求；
C、D中不存在相同的项；
因此A、C、D都不符合平方差公式的要求．
故选：B．
运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
C.12xy2不是多项式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
D.把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
7.【答案】B
【解析】解：∵(a+2b)2=(a−2b)2+8ab，
∴N=8ab．
故选：B．
利用完全平方公式恒等变形，可得结论．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
8.【答案】C
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠CBF=∠DEF=30°，
∵AB为折痕，
∴2∠α+∠CBF=180°，
即2∠α+30°=180°，
解得∠α=75°．
故选：C．
由图形可得AD//BC，可得∠CBF=30°，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案．
本题考查了平行线的性质及翻折变换；找着相等的角，利用平角列出方程是解答翻折问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：①△ABC中，∠A=2∠B=2∠C，则△ABC是直角三角形，故本选项正确；
②三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项错误；
③n边形每增加一条边，其内角和增加180°，故本选项正确；
④满足a+b>c且a⑤△ABC在平移过程中，对应线段平行或共线，故本选项错误．
故选：B．
根据三角形的外角的性质与内角和定理、直角三角形以及平移的性质，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题主要考查的是三角形的外角的性质与内角和定理、直角三角形以及平移的性质，掌握三角形的外角的性质与内角和定理以及平移的特点是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接DF，
设S△CEF=x，S△BDE=y，
∵CE=DE，
∴S△DEF=S△CEF=x，S△BCE=S△BDE=y，
∴S△BDF=S△BDE+△DEF=x+y，
∵BD=4AD，
∴S△ADF=14S△BDF=x+y4，
∵△ABC的面积等于18，
∴x+x+y+y+x+y4=18，
∴x+y=8，
即△BDE与△CEF的面积和等于8，
故选：C．
连接DF，设S△CEF=x，S△BDE=y，根据三角形中线的性质得出S△DEF=S△CEF=x，S△BCE=S△BDE=y，
根据BD=4AD得出S△ADF=14S△BDF=x+y4，最后根据△ABC的面积等于18即可求出x+y的值，于是问题得解．
本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据等高或同高的两个三角形底之间的关系得出面积之间的关系是解题的关键．
11.【答案】2.1×10−5
【解析】解：0.000021=2.1×10−5；
故答案为：2.1×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】六
【解析】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60=6．
所以这个多边形是六边形．
故答案为：六．
由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．
此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
13.【答案】±6
【解析】解：∵多项式x2+kx+9是一个完全平方式，
∴k=±6．
故答案为：±6
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】325
【解析】解：∵2x=3，2y=5，
∴原式=2x÷(2y)2=325，
故答案为：325．
原式利用同底数幂的乘除法则及幂的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了同底数幂的除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】−6
【解析】解：∵x+y=3，xy=−2，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=−2×3=−6，
故答案为：−6．
将代数式x2y+xy2利用提取公因式化为xy(x+y)，然后整体代入求值即可．
本题考查了代数式求值，因式分解，将要求的式子化为xy(x+y)是解题的关键．
16.【答案】−8
【解析】解：∵(x−2)(x+6)=x2+4x−12，
∴m=4，n=−12，
∴m+n=−8，
故答案为：−8．
利用多项式乘多项式法则计算，判断出m，n的值即可．
本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则．
17.【答案】220°
【解析】解：如图所示：
由三角形的外角性质得：∠BMH=∠A+∠C，∠BHM=∠F+∠BGF=∠F+∠1，
∵∠BMH+∠BHM+∠B=180°，∠1+∠D+∠E=180°，
∴∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B
=∠BMH+∠BHM+∠B+∠1+∠D+∠E−2∠1
=2×180°−2×70°=220°，
故答案为：220°．
由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果．
本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
18.【答案】2x+1
【解析】解：∵y=lg436，
∴4y=36=3×3×4，
∵4x=3，
∴4y=4x×4x×4，
∴4y=42x+1，
∴y=2x+1；
故答案为：2x+1．
由y=lg436，得4y=36=3×3×4，故4y=4x×4x×4，从而y=2x+1．
本题考查了有理数的乘方，涉及新定义，读懂题目信息，理解乘方的逆运算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)2x(a−b)+5(b−a)
=2x(a−b)−5(a−b)
=(a−b)(2x−5)；
(2)原式=x(x2−9)
=x(x+3)(x−3)；
(3)x3y−10x2y+25xy
=xy( x2−10x+25)
=xy( x−5)2．
【解析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
(1)利用提取公因式法进行因式分解；
(2)先提取公因式x，然后利用平方差公式进行因式分解．
(3)先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进行因式分解．
20.【答案】解：(1)解：原式=9−1+4
=12；
(2)原式=a6+4a6+a6
=6a6；
(3)原式=−x2−2x+x+2−2x2+x
=−3x2+2．
【解析】(1)先算乘方，再算加减；
(2)先算同底数的幂相乘，幂的乘方与积的乘方，同底数的幂相除，再合并同类项；
(3)先展开，再合并同类项．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
21.【答案】解：原式=9a2+6ab+b2−9a2+b2
=6ab+2b2，
当a=1，b=−2时，原式=6×1×(−2)+2×(−2)2=−12+8=−4．
【解析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
22.【答案】3
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)如图，CD即为所求．
(3)如图，过点A作BC的平行线，所经过的格点E1，E2，E3均满足题意，
∴图中的格点E共有3个．
故答案为：3．
(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据三角形的高的定义画图即可．
(3)结合平行线的性质，过点A作BC的平行线，所经过的格点均为满足题意的点E，即可得出答案．
本题考查作图−平移变换、三角形的高，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB=∠GNB=90°，
∴AE//FG，
∴∠A=∠2，
又∵∠2=∠1，
∴∠A=∠1，
∴AB//CD；
(2)解：∵AB//CD，
∴∠D+∠CBD+∠3=180°，
∵∠D=∠3+50°，∠CBD=60°，
∴∠3=35°，
∵AB//CD，
∴∠C=∠3=35°．
【解析】(1)根据平行线的判定与性质求解即可；
(2)根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
24.【答案】24−23=16−8=23 24−23=16−8=23 2n−2n−1=2n−1
【解析】解：：(1)∵①21−20=2−1=20；
②22−21=4−2=21；
③23−22=8−4=22；
∴第④个等式为：24−23=16−8=23，
故答案为：24−23=16−8=23；
(2)由(1)知，第n个等式为：2n−2n−1=2n−1，
故答案为：2n−2n−1=2n−1；
(3)由(1)(2)得：20=21−20，21=22−21，22=23−22，……，22000=22001−22000．
∴20+21+22+23+…+22000
=(21−20)+(22−21)+(23−22)+…(22001−22000)
=22001−1．
(1)根据已知等式的指数与序数的关系即可得；
(2)观察各等式得到2的相邻两个正整数幂的差等于2的较小的正整数次幂，即2n−2n−1=2n−1(n为正整数)；
(3)由(1)(2)得20=21−20，21=22−21，22=22−21，…，22001=22001−21000，代入待求等式，两两相消即可得．
本题主要考查数字的变化类，解决此类问题的关键是找到序号和变化数字的关系，另外题目涉及证明和运算，对学生的考查能力有了更高的要求，题目整体艰难，适合课后培优训练．
25.【答案】100 c2 4×12ab+(a−b)2 a2+b2 a2+b2=c2 29
【解析】解：(1)∵a=6，b=8，
∴图1中大正方形的面积=c2=a2+b2=62+82=100；
故答案为：100；
(2)∵S大正方形=c2，S大正方形=4×12ab+(a−b)2
=a2+b2，
∴a2+b2=c2；
故答案为：c2，4×12ab+(a−b)2，a2+b2，a2+b2=c2；
(3)∵图1中大正方形的面积是15，
∴a2+b2=c2=15，
∵小正方形的面积是1，
∴(a−b)2=a+b2−2ab=1，
∴ab=7，
∴图2中最大的正方形的面积为=c2+4×12ab=15+2×7=29；
故答案为：29．
(1)根据勾股定理即可得到结论；
(2)根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论；
(3)根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理的证明，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
26.【答案】20° 120° 60°
【解析】解：(1)①∵∠MON=40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=20°，
∵AB//ON，
∴∠ABO=∠BON=20°；
②当∠BAD=∠ABD时，
∵∠ABO=∠AOB=20°，
∴∠BAD=20°，∠BAO=180°−20°−20°=140°，
∴∠OAC=∠BAO−∠BAD=120°；
当∠BAD=∠BDA时，
∵∠ABO=20°，
∴∠BAD=∠BDA=80°，
∵∠AOB=20°，
∴∠OAC=∠BDA−∠AOB=60°；
故答案为：①20°； ②120°，60°；
(2)①当∠BDC=2∠BFC时，如图，
∵AB⊥OM，∠MON=40°，
∴∠BFC=50°，
∴∠BDC=2∠BFC=100°，
∵∠ABO=∠BFC+∠BON=50°+20°=70°，
∴∠BAC=∠BDC−∠ABO=100°−70°=30°，
∴α=30°；
②当点C在F左边，∠DBF=2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB=20°，∠MON=40°，
∴∠DBF=∠AOB+∠OAB=20°+90°=110°，∠BFC=50°，
∴∠DCF=12∠DBF=55°，
∴∠BAC=180°−∠BFC−∠ACF=180°−50°−55°=75°，
∴α=75°；
③当点C在F右边，∠DBF=2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB=20°，∠MON=40°，
∴∠DBF=∠ABO=90°−∠AOB=90°−20°=70°，∠AFO=50°，
∴∠DCF=12∠DBF=35°，∠AFC=130°，
∴∠BAC=180°−∠DCF−∠AFC=180°−35°−130°=15°，
∴α=15°；
综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°．
(1)①利用角平分线的定义求出∠BON，根据平行线的性质可得出答案；
②当∠BAD=∠ABD时，利用三角形内角和定理求出∠BAO，进而可得∠OAC的度数；
当∠BAD=∠BDA时，求出∠BDA，然后根据三角形外角的性质即可求出∠OAC的度数；
(2)分三种情况进行讨论：①当∠BDC=2∠BFC时，②当点C在F左边，∠DBF=2∠DCF时，③当点C在F右边，∠DBF=2∠DCF时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理求解即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．本题利用角平分线的定义求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．
1.下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. x2⋅x4=x8B. a10÷a2=a5C. m3+m2=m5D. (−a2)3=−a6
3.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 3cm、3cm、6cmB. 5cm、6cm、2cm
C. 2cm、7cm、4cmD. 12cm、4cm、7cm
4.如果a=(−2024)0，b=(12)−1，c=(−3)−2，那么a、b、c的大小关系为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>b>aD. b>a>c
5.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A. (3a+b)(a−b)B. (−3a−b)(−3a+b)
C. (3a+b)(−3a−b)D. (−3a+b)(3a−b)
6.下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. (x+y)(x−y)=x2−y2B. x2−4x+6=x(x−4)+6
C. 14xy2=2x⋅7y2D. m2 n+8n=n(m2+8)
7.若(a+2b)2=(a−2b)2+N，则代数式N是( )
A. 4abB. 8abC. −4abD. −8ab
8.如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于( )
A. 50°
B. 60°
C. 75°
D. 85°
9.下列说法中，正确的个数为( )
①△ABC中，∠A=2∠B=2∠C，则△ABC是直角三角形；
②三角形的外角大于任意一个内角；
③n边形每增加一条边，其内角和增加180°；
④若a、b、c均大于0，且满足a+b>c，则长为a、b、c的三条线段一定能组成三角形；
⑤△ABC在平移过程中，对应线段一定平行．
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.已知△ABC的面积等于18，CE=DE，BD=4AD，则△BDE与△CEF的面积和等于( )
A. 7
B. 7.5
C. 8
D. 9
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数用科学记数法表示为______．
12.已知一个多边形每一个外角都是60°，则它是______边形．
13.若多项式x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值应为______．
14.若2x=3，2y=5，则2x−2y= ______．
15.已知x+y=3，xy=−2，则x2y+xy2= ______．
16.若(x−2)(x+6)=x2+mx+n(m、n为常数)，则m+n= ______．
17.如图，已知∠1=70°，∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B= ．
18.中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子23=8可以变形为3=lg28，2=lg525也可以变形为52=25；现把式子4x=3表示为x=lg43，请你用x的代数式来表示y=lg436，则y= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
19.因式分解：
(1)2x(a−b)+5(b−a)；
(2)x3−9x；
(3)x3y−10x2y+25xy．
四、解答题：本题共7小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题12分)
计算或化简：
(1)(−3)2−(π−5)0+(14)−1；
(2)a⋅a5+(−2a3)2+a8÷a2；
(3)(−x+1)(x+2)+2x(−x+12).
21.(本小题4分)
先化简，再求值：(3a+b)2−(3a−b)(3a+b)，其中a=1，b=−2．
22.(本小题6分)
如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．
(1)补全△A′B′C′；利用网格点和直尺画图；
(2)画出△ABC中AB边上的高线CD；
(3)点E为方格纸上的格点(异于点C)，若S△ABC=S△EBC，则图中的格点E共有______个.
23.(本小题6分)
已知：如图，AE⊥BC于M，FG⊥BC于N，∠1=∠2．
(1)求证：AB//CD；
(2)若∠D=∠3+50°，∠CBD=60°，求∠C的度数．
24.(本小题7分)
观察以下一系列等式：
①21−20=2−1=20；
②22−21=4−2=21；
③23−22=8−4=22；
④ ______；
…
(1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式；______；
(2)若字母n代表第n个等式，请用字母n表示上面所发现的规律：______；
(3)请利用上述规律计算：20+21+22+23+…+22000．
25.(本小题9分)
2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽发现的“弦图”，它是由四个大小相等，形状相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．
(1)若a=6，b=8，则图1中大正方形的面积为______；
(2)猜想a2、b2、c2之间的数量关系，并按给出的格式说明理由．
∵S大正方形= ______，S大正方形= ______= ______，
∴ ______；
(3)若图1中大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，现将四个直角三角形按如图2的形式重新摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．
26.(本小题10分)
已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点(A,B,C不与点O重合)，连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC=α．
(1)如图1，若AB//ON，
①∠ABO的度数是______；
②当∠BAD=∠ABD时，∠OAC的度数是______；
当∠BAD=∠BDA时，∠OAC的度数是______；
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、图形由轴对称所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；
B、图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化，符合平移性质，故本选项符合题意；
C、图形由旋转所得到，不属于平移，故本选项不符合题意；
D、图形大小不一，大小发生变化，不符合平移性质，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据平移的基本性质，结合图形，对选项进行一一分析即可得到答案．
本题考查的是平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法及幂的运算性质，属于基本运算，应重点掌握．
利用同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法及幂的运算性质进行计算后即可得到正确的答案．
【解答】
解：A、x2⋅x4=x2+4=x6，故本选项错误；
B、a10÷a2=a10−2=a8，故本选项错误；
C、m3+m2不能再继续计算，故本选项错误；
D、(−a2)3=−a2×3=−a6，故本选项正确；
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：A、3+3=6，长度是3cm、3cm、6cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+5>6，长度是5cm、6cm、2cm的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、2+4<7，长度是2cm、7cm、4cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、4+7<12，长度是12cm、4cm、7cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
4.【答案】D
【解析】解：由题可知，
∵a=(−2024)0=1，b=(12)−1=2，c=(−3)−2=19，
∴2>1>19，
∴b>a>c．
故选：D．
先根据负整数指数幂法则、零指数幂法则求出a、b与c的值，再进行比较大小即可．
本题考查负整数指数幂、有理数大小比较、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、中不存在互为相反数的项，
B、−3a是相同的项，互为相反项是b与−b，符合平方差公式的要求；
C、D中不存在相同的项；
因此A、C、D都不符合平方差公式的要求．
故选：B．
运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
C.12xy2不是多项式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
D.把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
7.【答案】B
【解析】解：∵(a+2b)2=(a−2b)2+8ab，
∴N=8ab．
故选：B．
利用完全平方公式恒等变形，可得结论．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
8.【答案】C
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠CBF=∠DEF=30°，
∵AB为折痕，
∴2∠α+∠CBF=180°，
即2∠α+30°=180°，
解得∠α=75°．
故选：C．
由图形可得AD//BC，可得∠CBF=30°，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案．
本题考查了平行线的性质及翻折变换；找着相等的角，利用平角列出方程是解答翻折问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：①△ABC中，∠A=2∠B=2∠C，则△ABC是直角三角形，故本选项正确；
②三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项错误；
③n边形每增加一条边，其内角和增加180°，故本选项正确；
④满足a+b>c且a
故选：B．
根据三角形的外角的性质与内角和定理、直角三角形以及平移的性质，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题主要考查的是三角形的外角的性质与内角和定理、直角三角形以及平移的性质，掌握三角形的外角的性质与内角和定理以及平移的特点是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接DF，
设S△CEF=x，S△BDE=y，
∵CE=DE，
∴S△DEF=S△CEF=x，S△BCE=S△BDE=y，
∴S△BDF=S△BDE+△DEF=x+y，
∵BD=4AD，
∴S△ADF=14S△BDF=x+y4，
∵△ABC的面积等于18，
∴x+x+y+y+x+y4=18，
∴x+y=8，
即△BDE与△CEF的面积和等于8，
故选：C．
连接DF，设S△CEF=x，S△BDE=y，根据三角形中线的性质得出S△DEF=S△CEF=x，S△BCE=S△BDE=y，
根据BD=4AD得出S△ADF=14S△BDF=x+y4，最后根据△ABC的面积等于18即可求出x+y的值，于是问题得解．
本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据等高或同高的两个三角形底之间的关系得出面积之间的关系是解题的关键．
11.【答案】2.1×10−5
【解析】解：0.000021=2.1×10−5；
故答案为：2.1×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】六
【解析】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60=6．
所以这个多边形是六边形．
故答案为：六．
由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．
此题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
13.【答案】±6
【解析】解：∵多项式x2+kx+9是一个完全平方式，
∴k=±6．
故答案为：±6
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】325
【解析】解：∵2x=3，2y=5，
∴原式=2x÷(2y)2=325，
故答案为：325．
原式利用同底数幂的乘除法则及幂的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了同底数幂的除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】−6
【解析】解：∵x+y=3，xy=−2，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=−2×3=−6，
故答案为：−6．
将代数式x2y+xy2利用提取公因式化为xy(x+y)，然后整体代入求值即可．
本题考查了代数式求值，因式分解，将要求的式子化为xy(x+y)是解题的关键．
16.【答案】−8
【解析】解：∵(x−2)(x+6)=x2+4x−12，
∴m=4，n=−12，
∴m+n=−8，
故答案为：−8．
利用多项式乘多项式法则计算，判断出m，n的值即可．
本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则．
17.【答案】220°
【解析】解：如图所示：
由三角形的外角性质得：∠BMH=∠A+∠C，∠BHM=∠F+∠BGF=∠F+∠1，
∵∠BMH+∠BHM+∠B=180°，∠1+∠D+∠E=180°，
∴∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B
=∠BMH+∠BHM+∠B+∠1+∠D+∠E−2∠1
=2×180°−2×70°=220°，
故答案为：220°．
由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果．
本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
18.【答案】2x+1
【解析】解：∵y=lg436，
∴4y=36=3×3×4，
∵4x=3，
∴4y=4x×4x×4，
∴4y=42x+1，
∴y=2x+1；
故答案为：2x+1．
由y=lg436，得4y=36=3×3×4，故4y=4x×4x×4，从而y=2x+1．
本题考查了有理数的乘方，涉及新定义，读懂题目信息，理解乘方的逆运算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)2x(a−b)+5(b−a)
=2x(a−b)−5(a−b)
=(a−b)(2x−5)；
(2)原式=x(x2−9)
=x(x+3)(x−3)；
(3)x3y−10x2y+25xy
=xy( x2−10x+25)
=xy( x−5)2．
【解析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
(1)利用提取公因式法进行因式分解；
(2)先提取公因式x，然后利用平方差公式进行因式分解．
(3)先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进行因式分解．
20.【答案】解：(1)解：原式=9−1+4
=12；
(2)原式=a6+4a6+a6
=6a6；
(3)原式=−x2−2x+x+2−2x2+x
=−3x2+2．
【解析】(1)先算乘方，再算加减；
(2)先算同底数的幂相乘，幂的乘方与积的乘方，同底数的幂相除，再合并同类项；
(3)先展开，再合并同类项．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
21.【答案】解：原式=9a2+6ab+b2−9a2+b2
=6ab+2b2，
当a=1，b=−2时，原式=6×1×(−2)+2×(−2)2=−12+8=−4．
【解析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
22.【答案】3
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)如图，CD即为所求．
(3)如图，过点A作BC的平行线，所经过的格点E1，E2，E3均满足题意，
∴图中的格点E共有3个．
故答案为：3．
(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据三角形的高的定义画图即可．
(3)结合平行线的性质，过点A作BC的平行线，所经过的格点均为满足题意的点E，即可得出答案．
本题考查作图−平移变换、三角形的高，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB=∠GNB=90°，
∴AE//FG，
∴∠A=∠2，
又∵∠2=∠1，
∴∠A=∠1，
∴AB//CD；
(2)解：∵AB//CD，
∴∠D+∠CBD+∠3=180°，
∵∠D=∠3+50°，∠CBD=60°，
∴∠3=35°，
∵AB//CD，
∴∠C=∠3=35°．
【解析】(1)根据平行线的判定与性质求解即可；
(2)根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
24.【答案】24−23=16−8=23 24−23=16−8=23 2n−2n−1=2n−1
【解析】解：：(1)∵①21−20=2−1=20；
②22−21=4−2=21；
③23−22=8−4=22；
∴第④个等式为：24−23=16−8=23，
故答案为：24−23=16−8=23；
(2)由(1)知，第n个等式为：2n−2n−1=2n−1，
故答案为：2n−2n−1=2n−1；
(3)由(1)(2)得：20=21−20，21=22−21，22=23−22，……，22000=22001−22000．
∴20+21+22+23+…+22000
=(21−20)+(22−21)+(23−22)+…(22001−22000)
=22001−1．
(1)根据已知等式的指数与序数的关系即可得；
(2)观察各等式得到2的相邻两个正整数幂的差等于2的较小的正整数次幂，即2n−2n−1=2n−1(n为正整数)；
(3)由(1)(2)得20=21−20，21=22−21，22=22−21，…，22001=22001−21000，代入待求等式，两两相消即可得．
本题主要考查数字的变化类，解决此类问题的关键是找到序号和变化数字的关系，另外题目涉及证明和运算，对学生的考查能力有了更高的要求，题目整体艰难，适合课后培优训练．
25.【答案】100 c2 4×12ab+(a−b)2 a2+b2 a2+b2=c2 29
【解析】解：(1)∵a=6，b=8，
∴图1中大正方形的面积=c2=a2+b2=62+82=100；
故答案为：100；
(2)∵S大正方形=c2，S大正方形=4×12ab+(a−b)2
=a2+b2，
∴a2+b2=c2；
故答案为：c2，4×12ab+(a−b)2，a2+b2，a2+b2=c2；
(3)∵图1中大正方形的面积是15，
∴a2+b2=c2=15，
∵小正方形的面积是1，
∴(a−b)2=a+b2−2ab=1，
∴ab=7，
∴图2中最大的正方形的面积为=c2+4×12ab=15+2×7=29；
故答案为：29．
(1)根据勾股定理即可得到结论；
(2)根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论；
(3)根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理的证明，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
26.【答案】20° 120° 60°
【解析】解：(1)①∵∠MON=40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=20°，
∵AB//ON，
∴∠ABO=∠BON=20°；
②当∠BAD=∠ABD时，
∵∠ABO=∠AOB=20°，
∴∠BAD=20°，∠BAO=180°−20°−20°=140°，
∴∠OAC=∠BAO−∠BAD=120°；
当∠BAD=∠BDA时，
∵∠ABO=20°，
∴∠BAD=∠BDA=80°，
∵∠AOB=20°，
∴∠OAC=∠BDA−∠AOB=60°；
故答案为：①20°； ②120°，60°；
(2)①当∠BDC=2∠BFC时，如图，
∵AB⊥OM，∠MON=40°，
∴∠BFC=50°，
∴∠BDC=2∠BFC=100°，
∵∠ABO=∠BFC+∠BON=50°+20°=70°，
∴∠BAC=∠BDC−∠ABO=100°−70°=30°，
∴α=30°；
②当点C在F左边，∠DBF=2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB=20°，∠MON=40°，
∴∠DBF=∠AOB+∠OAB=20°+90°=110°，∠BFC=50°，
∴∠DCF=12∠DBF=55°，
∴∠BAC=180°−∠BFC−∠ACF=180°−50°−55°=75°，
∴α=75°；
③当点C在F右边，∠DBF=2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB=20°，∠MON=40°，
∴∠DBF=∠ABO=90°−∠AOB=90°−20°=70°，∠AFO=50°，
∴∠DCF=12∠DBF=35°，∠AFC=130°，
∴∠BAC=180°−∠DCF−∠AFC=180°−35°−130°=15°，
∴α=15°；
综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°．
(1)①利用角平分线的定义求出∠BON，根据平行线的性质可得出答案；
②当∠BAD=∠ABD时，利用三角形内角和定理求出∠BAO，进而可得∠OAC的度数；
当∠BAD=∠BDA时，求出∠BDA，然后根据三角形外角的性质即可求出∠OAC的度数；
(2)分三种情况进行讨论：①当∠BDC=2∠BFC时，②当点C在F左边，∠DBF=2∠DCF时，③当点C在F右边，∠DBF=2∠DCF时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理求解即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．本题利用角平分线的定义求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．
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