2023-2024学年江苏省扬州市新华中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市新华中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=csπ3+isinπ6，则复数z的虚部是( )
A. −12B. − 32C. 12D. 32
2.已知csα=14，则sin(π2−2α)=( )
A. 18B. −18C. 78D. −78
3.已知a=(1,−2),b=(3,4)，若(3a−b)//(a+kb)，则实数k的值为( )
A. 12B. −13C. 1D. 13
4.如图，在5×5的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a,b,c满足a=xb+yc，则x+y=( )
A. 0
B. 1
C. 5 5
D. 7
5.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( )
A. B.
C. D.
6.若csα=17，sin(α+β)=5 314，0<α<π2，0<β<π2，则角β的值为( )
A. π8B. π4C. π6D. π3
7.设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知D是BC边的中点，△ABC的面积为1，且(b+ 3c)sinB=(a+c)(sinA−sinC)，设则AB⋅(DA+DB)等于( )
A. 2 3B. 2C. −2 3D. −2
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若EF=2，sin∠ACF=3 314，则AC=( )
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z的共轭复数为z−,i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A. 若复数z=3+4i，则z−在复平面内对应的点在第四象限
B. 复数z=3+4i的模|z|=5
C. 若|z|=1，则z=±i或±1
D. 若复数(m2+3m−4)+(m2−2m−24)i是纯虚数，则m=1或m=−4
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若a2+b2C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若b=2，A=30°的三角形有两解，则a的取值范围为(1,2)
11.如图，在边长为3的等边三角形ABC中，AD=23AC且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若BP=xBA+yBC，则下列说法正确的有( )
A. BD=13BA+23BC
B. BD⋅BO=132
C. BP⋅BC存在最小值
D. x+y的最小值为2 39+1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量a=(6,2)在向量b=(2,−1)上的投影向量为______．
13.计算：tan73°−tan13°− 3tan73°tan13°= ______．
14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是△ABC的重心，若b=2，AP=2 73且cs2A+(4+ 3)sin(B+C)=2 3+1，则c= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向是a,b满足|a|= 2|b|=2，且(a+b)⋅(a−2b)=2．
(1)求向是a,b的夹角；
(2)求|2a+b|．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3sin(B+π6)=−cs(B+π6)．
(1)求∠B的值；
(2)给出以下三个条件：①a2−b2+c2+3c=0；②a= 3,b=1；③S△ABC=15 34.这三个条件中仅有两个正确，请选出这两个正确的条件并回答下面的问题：
①求边c的值；
②求∠ABC的角平分线BD的长．
17.(本小题15分)
已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R)．
(Ⅰ)若函数f(x)的零点是−1和1，求实数b，c的值；
(Ⅱ)已知c=b2+2b+3，设x1、x2关于x的方程f(x)=0的两根，且(x1+1)(x2+1)=8，求实数b的值；
(Ⅲ)若f(x)满足f(1)=0，且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(−3,−2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．
18.(本小题17分)
△ABC中，D为BC边的中点，AD=1．
(1)若△ABC的面积为2 3，且∠ADC=2π3，求sinC的值；
(2)若BC=4，求cs∠BAC的取值范围．
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)记向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)，若当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时，求sinx的值；
(2)设g(x)= 3cs(x+π6)+3cs(π3−x)(x∈R)，试求函数g(x)的相伴特征向量OM，并求出与OM反向的单位向量；
(3)已知A(−2,3),B(2,6),OT=(− 3,1)为函数h(x)=msin(x−π6)(m∈R)的相伴特征向量，φ(x)=h(x2−π3)，请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：z=csπ3+isinπ6=12+12i，其虚部为12．
故选：C．
对z化简，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．
【解答】
解：∵csα=14，
∴sin(π2−2α)=cs2α=2cs2α−1=2×(14)2−1=−78．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知a=(1,−2)，b=(3,4)，
所以3a−b=(0,−10)，a+kb=(1,−2)+(3k,4k)=(1+3k,−2+4k)，
因为(3a−b)//(a+kb)，
所以0+(−10)×(1+3k)=0，解得k=−13，故B正确．
故选：B．
首先求出3a−b，a+kb的坐标，再利用向量共线定理即可得出．
本题主要考查向量共线的性质，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：将向量a,b,c放入如图所示的直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，
则a=(1,3),b=(1,−1),c=(−2,4)，
因为a=xb+yc，所以(1,3)=x(1,−1)+y(−2,4)，
则有1=x−2y3=−x+4y，解得x=5y=2，所以x+y=7．
故选：D．
建立坐标系，求出向量a,b,c的坐标，再利用a=xb+yc，建立方程组求解即可．
本题主要考查了向量的分解以及向量相等的充要条件的应用，利用向量的坐标运算是解决本题的关键，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：当函数的图象在x轴的同一侧时，不能用二分法进行求解，
选项A、B、D的图象均在x轴的两侧，可用二分法求解，
只有选项C的图象在x轴的同一侧，不能用二分法求解．
故选：C．
由二分法求函数零点的条件即可得解．
本题考查用二分法求函数的近似零点，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵0<α<π2，0<β<π2，
∴0<α+β<π，
∵csα=17，∴sinα=4 37，
∵4 37>5 314，
∴sinα>sin(α+β)，
即π2<α+β<π，否则与y=sinx在(0,π2)上单调递增矛盾，
则cs(α+β)=−1114，
则sinβ=sin(α+β−α)=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα=5 314×17+1114×4 37= 32，
则β=π3，
故选：D．
根据两角和差的三角公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数值的化简和计算，根据同角的关系式以及两角和差的三角公式进行转化求解是解决本题的关键．难度中等．
7.【答案】A
【解析】解：设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，(b+ 3c)sinB=(a+c)(sinA−sinC)，
则(b+ 3c)b=(a+c)(a−c)，
即b2+c2−a2=− 3bc，
即csA=− 32，
则sinA=12，
又△ABC的面积为1，
则12bcsinA=1，
即bc=4，
又D是BC边的中点，
则AB⋅(DA+DB)=(DB−DA)⋅(DB+DA)
=DB2−DA2
=14BC2−14(AB+AC)2
=14a2−14(b2+c2+2bccsA)
= 32bc
=2 3．
故选：A．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算及正弦定理和余弦定理求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意知，CF=AD=BE，CE=AF=BD，
所以EF=CF−EF，FD=AD−AF，DE=BE−BD，即EF=FD=DE，
所以△DEF为等边三角形，
所以∠EFD=∠EDF=60°，
所以∠AFC=180°−∠EFD=120°，
设AF=x，则EF=2，所以CF=CE+EF=x+2，
因为sin∠ACF=3 314，cs∠ACF= 1−sin2∠ACF=1314，
所以sin∠CAF=sin(60°−∠ACF)= 32×1314−12×3 314=5 314，
在△ACF中，由正弦定理可得ACsin∠AFC=AFsin∠ACF=CFsin∠CAF，可得AC 32=x3 314=2+x5 314，
解得x=3，AC=7．
故选：B．
根据题意知△DEF为等边三角形，可求∠AFC=120°，设AF=x，可求CF=x+2，利用同角三角函数基本关系式可求cs∠ACF的值，利用两角差的正弦公式可求sin∠CAF的值，在△ACF中，由正弦定理可得AC的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式以及正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若复数z=3+4i，则z−=3−4i，对应的点为(3,−4)，在第四象限，A正确；
对于B，复数z=3+4i，其模|z|= 9+16=5，B正确；
对于C，当z=12+ 32i时，|z|=1，C错误；
对于D，若复数(m2+3m−4)+(m2−2m−24)i是纯虚数，则m2+3m−4=0m2−2m−24≠0，解可得m=1，D错误．
故选：AB．
根据题意，由共轭复数的定义分析A，由复数模的定义分析B，举出反例可得C错误，由纯虚数的定义分D，综合可得答案．
本题考查复数的定义和几何意义，涉及复数模的计算，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为sinA>sinB，由正弦定理可得a>b，所以A>B，A正确；
对于B，由余弦定理csC=a2+b2−c22ab<0，可知C为钝角，B正确；
对于C，因为acsA=bcsB，所以sinAcsA=sinBcsB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，
即△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不正确；
对于D，因为三角形有两解，所以bsinA故选：ABD．
由正弦定理和余弦定理可判断A，B，利用正弦定理和倍角公式可判断C，结合三角形解的情况可判断D．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，过O且与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，
则A(1,0),D(−1,0),C(−2,0),B(−12,3 32)，
BD=(−12,−3 32),BA=(32,−3 32),BC=(−32,−3 32)，
所以BD=13BA+23BC，A正确；
BO=(12,−3 32),BD⋅BO=−14+274=132，B正确；
因为P位于以O为圆心，1为半径的半圆上，设P(csθ,sinθ)，θ∈[π,2π]，
BC=(−32,−3 32),BP=(csθ+12,sinθ−3 32)，
BP⋅BC=−32csθ−34−3 32sinθ+274=6−3sin(θ+π6)′
因为θ∈[π,2π]，所以θ+π6∈[7π6,13π6]，
当θ+π6=13π6时，即θ=2π时，BP⋅BC取到最小值92，C正确；
因为BP=xBA+yBC，所以32x−32y=csθ+12−3 32x−3 32y=sinθ−3 32，
即x+y=−2 39sinθ+1，因为sinθ∈[−1,0]，所以x+y∈[1,2 39+1]，D不正确．
故选：ABC．
建立坐标系，写出向量坐标，根据向量线性运算即可判断A，根据向量数量积的坐标运算即可判断BCD．
本题考查了向量线性运算和向量数量积的坐标运算，属于中档题．
12.【答案】(4,−2)
【解析】解：根据题意，a=(6,2)，b=(2,−1)，
向量a=(6,2)在b=(2,−1)上的投影向量为|a|csb|b|=a⋅b|b|2b=2b=(4,−2)．
故答案为：(4,−2)．
根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案．
本题考查投影向量的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
13.【答案】 3
【解析】解：因为tan(73°−13°)=tan73°−tan13°1+tan73∘tan13∘= 3，
所以tan73°−tan13°= 3+ 3tan73°tan13°，
则tan73°−tan13°− 3tan73°tan13°= 3．
故答案为： 3．
由已知结合两角差的正切公式进行化简即可求解．
本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】解：由cs2A+(4+ 3)sin(B+C)=2 3+1，得1−2sin2A+(4+ 3)sinA=2 3+1，
整理得2sin2A−(4+ 3)sinA+2 3=0，
解得sinA= 32或sinA=2(舍)，
又△ABC为锐角三角形，∴A=π3，
∵点P为△ABC的重心，
∴AP=13(AB+AC)，
∴AP2=19(AB+AC)2，即289=19(c2+4+2c)，
整理得c2+2c−24=0，解得c=4或c=−6(舍)．
故答案为：4．
先求出A，再利用点P为△ABC的重心，得到AP=13(AB+AC)，结合向量求解．
本题考查向量在解三角形中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为(a+b)⋅(a−2b)=2，
所以a2−a⋅b−2b2=2．
因为|a|= 2|b|=2，
所以22−a⋅b−2×( 2)2=2，
即a⋅b=−2．
因为a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−22× 2=− 22，
又因为0≤〈a,b〉≤π，
所以〈a,b〉=3π4．
(2)由(1)知，a⋅b=−2，且|a|=2,|b|= 2，
所以(2a+b)2=4a2+4a⋅b+b2=4×4+4×(−2)+2=10，
所以|2a+b|= 10．
【解析】(1)根据数量积的运算律及向量的夹角公式即可求解；
(2)根据(1)的结论及数量积的运算律，利用向量的模运算即可求解．
本题考查了数量积的运算律及向量的夹角公式，重点考查了向量的模的运算，属中档题．
16.【答案】解：(1)由 3sin(B+π6)=−cs(B+π6)得：
3sin(B+π6)+cs(B+π6)=2sin(B+π3)=0，
结合B∈(0,π)，得B+π3=π，故B=2π3；
(2)①结合(Ⅰ)得a2+c2−2accs2π3=b2，即a2+c2−b2+ac=0(*)，
因为B=2π3，故b是最大边，故条件②不成立，即条件①③正确，
对于条件①：a2−b2+c2+3c=0，与(*)式结合得a=3，
对于条件③：12acsinB= 34ac=15 34，故ac=15，所以c=5；
②所以b2=9+25−2×15cs2π3=49，故b=7，
所以asinA=bsinB，即3sinA=7sin2π3，解得sinA=3 314，csA=1314，
显然S△ABDS△BCD=ADCD=12AB⋅BD⋅sin∠ABD12BC⋅BD⋅sin∠CBD=ABBC=53，
结合AC=7，故AD=358，
在△ABD中，BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csA=25+(358)2−2×5×358×1314=22564，
故BD=158．
【解析】(1)利用辅助角公式，容易求出sin(B+π6)=0，则易知B=2π3；
(2)结合B=2π3，此时b应该最大，而条件②中b=1本题考查了正余弦定理、面积公式和三角形内角平分线的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的零点是−1和1，
则−1，1为方程x2+2bx+c=0的两个根，
故−1+1=−2b−1×1=c，解得：b=0，c=−1．
(Ⅱ)因为c=b2+2b+3，f(x)=x2+2bx+c=0，所以x2+2bx+b2+2b+3=0，
因为x1、x2是关于x的方程x2+2bx+b2+2b+3=0的两根，
所以Δ=4b2−4b2−8b−12≥0，即b≤−32，
所以x1+x2=−2bx1x2=b2+2b+3，
因为(x1+1)(x2+1)=8，所以x1x2+x1+x2=7，所以−2b+b2+2b+3=7．
所以b2=4，所以b=2或b=−2，
因为b≤−32，所以b=−2．
(Ⅲ)因为f(1)=0，所以c=−1−2b，
设g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x−b−1，则有g(−3)>0g(−2)<0g(0)<0g(1)>0，
解得15【解析】(Ⅰ)结合韦达定理，即可求；
(Ⅱ)根据已知条件，结合二次函数的判别式，以及韦达定理，即可求解；
(Ⅲ)根据已知条件，推得c=−1−2b，再列出不等式组，即可求解．
本题主要考查二次函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为D为BC边的中点，
所以S△ADC=12S△ABC= 3，
又S△ADC=12AD⋅DCsin∠ADC= 3，即12×1×DC×sin2π3= 3，解得DC=4，
在△ADC中由余弦定理AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcs∠ADC，即AC2=12+42−2×1×4×(−12)=21，
所以AC= 21，
在△ADC中由正弦定理ACsin∠ADC=ADsinC，即 21 32=1sinC，解得sinC= 714；
(2)设∠ADC=θ，θ∈(0,π )，
在△ADB中由余弦定理AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB，
即AB2=12+22−2×1×2cs(π−θ)=5+4csθ，
在△ADC中由余弦定理AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcs∠ADC，
即AC2=12+22−2×1×2csθ=5−4csθ，
在△ABC中由余弦定理可得cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=5+4csθ+5−4csθ−162 5+4csθ⋅ 5−4csθ=−3 25−16cs2θ，
因为θ∈(0,π)，
所以cs2θ∈[0,1)，
则25−16cs2θ∈(9,25]，
所以 25−16cs2θ∈(3,5],
所以1 25−16cs2θ∈[15,13),
所以−3 25−16cs2θ∈(−1,−35]，即cs∠BAC∈(−1,−35]．
【解析】(1)由S△ADC=12S△ABC，利用面积公式求出DC，在△ADC中由余弦定理求出AC，再由正弦定理求出sinC；
(2)设∠ADC=θ，θ∈(0,π)，用余弦定理表示出AB2、AC2，可求cs∠BAC=−3 25−16cs2θ，再由余弦函数的性质计算可得．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及余弦函数的性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意知，向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)，
当f(x)=2sin(x+π3)=85时，sin(x+π3)=45，又x∈(−π3,π6)，则x+π3∈(0,π2)，所以cs(x+π3)=35，
故sinx=sin[(x+π3)−π3]
=sin(x+π3)csπ3−cs(x+π3)sinπ3
=45×12−35× 32=4−3 310．
(2)因为g(x)= 3cs(x+π6)+3cs(π3−x)
= 3(csxcsπ6−sinxsinπ6)+3(csxcsπ3+sinxsinπ3)
= 3sinx+3csx，
故函数g(x)的相伴特征向量OM=( 3,3)，
则与OM反向的单位向量为−OM|OM|=− 36( 3,3)=(−12,− 32)．
(3)因为h(x)=msin(x−π6)= 32msinx−12mcsx，其相伴特征向量OT=(− 3,1)，
故 32m=− 3−12m=1，所以 m=−2，则h(x)=−2sin(x−π6)，
φ(x)=h(x2−π3)=−2sin[(x2−π3)−π6,
=−2sin(x2−π2)=2csx2，
设点P(x,2csx2)，又A(−2,3)，B(2,6)，
所以AP=(x+2,2csx2−3)，BP=(x−2,2csx2−6)，
若AP⊥BP，则AP⋅BP=(x+2)(x−2)+(2csx2−3)(2csx2−6)=0，
即x2−4+4cs2x2−18csx2+18=0，
(2csx2−92)2=254−x2，
因为−2≤2csx2≤2,−132≤2csx2−92≤−52，
，故254≤(2csx2−92)2≤1694，
又254−x2≤254，故当且仅当x=0时，
(2csx2−92)2=254−x2=254成立，
故在y=φ(x)的图象上存在一点P(0,2)，使得AP⊥BP．
【解析】(1)根据向量的伴随函数求出f(x)，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可求解；
(2)化简函数解析式，根据相伴特征向量的定义即可求得OM，继而进一步计算即可；
(3)根据题意确定m的值，继而得到函数h(x)=−2sin(x−π6)，继而得到φ(x)=2csx2，设点P(x,2csx2)，再根据向量的垂直关系进行计算，结合三角函数的有界性得到答案．
本题考查了平面向量的数量积的坐标表示，考查了三角恒等变换，考查了函数思想，属于中档题．