2023-2024学年海南省海口市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省海口市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中不属于分式的是( )
A. 3a−1B. 23C. 2aD. a+1a2−1
2.计算8xx−y⋅x−y8y的结果是( )
A. yxB. −xyC. xyD. −yx
3.下列各点在函数y=2x−1图象上的是( )
A. (−1,3)B. (0,1)C. (1,−1)D. (2,3)
4.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为( )
A. 3×10−7B. 0.3×10−6C. 3×10−6D. 3×107
5.已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=( )
A. 18°B. 36°C. 72°D. 144°
6.已知函数y=1x−2+ x−1，自变量x的取值范围是( )
A. x>1B. x≥1且x≠2C. x≥1D. x≠2
7.若点P在第二象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标是( )
A. (−3,5)B. (−3,−5)C. (−5,3)D. (−5,−3)
8.关于x的分式方程mx−2−32−x=1有增根，则m的值( )
A. m=2B. m=1C. m=3D. m=−3
9.一次函数y=ax+1与反比例函数y=−ax在同一坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
10.若点A(x1,2)，B(x2,−1)，C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x111.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12.如图，△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为( )
A. 6
B. 8
C. 2 2
D. 4 2
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.比较大小：2−2______30.(选填>，=，<)
14.将直线y=x−3沿y轴向上平移2个单位，得直线的函数解析式为______．
15.如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，关于x，y的方程组y−ax=bkx−y=0的解是______．
16.如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
(1)计算：x2x+1−1x+1；
(2)先化简：(x−4x)÷x2+4x+4x，若−2≤x≤2，请你选择一个恰当的x值(x是整数)代入求值．
18.(本小题12分)
解方程：
(1)5x−2+1=x−12−x；
(2)3x−3−4x2−9=0．
19.(本小题9分)
近期，受俄乌局势影响，国内汽油价格不断上涨.请你根据下面的信息(如图)，计算今年4月份汽油的价格．
20.(本小题9分)
某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：
(1)出租车的起步价是多少元？当x>3时，求y关于x的函数关系式．
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．
21.(本小题15分)
[教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
[性质应用]如图2，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与边AD、BC分别相交于点E、F．
求证：OE=OF．
[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连接AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是13，则▱ABCD的周长是______．
22.(本小题15分)
如图，一次函数y=ax+4的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(n,6)，B(−3,−2)两点，连结AO，BO．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据函数图象，写出不等式ax+4>kx的解集：______．
(4)点C是x轴上的一个动点，连结AC、BC，当△ACB是等腰三角形时，直接写出点C坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：观察选项，只有选项B中的23的分母不是字母，即它不是分式，
故选：B．
根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意π是常数不是字母．
2.【答案】C
【解析】解：8xx−y⋅x−y8y=xy．
故选：C．
根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分式的乘法法则，能正确运用分式的乘法法则进行计算是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.当x=−1时，y=2×(−1)−1=−3，
∴点(−1,3)不在函数y=2x−1图象上；
B.当x=0时，y=2×0−1=−1，
∴点(0,1)不在函数y=2x−1图象上；
C.当x=1时，y=2×1−1=1，
∴点(1,−1)不在函数y=2x−1图象上；
D.当x=2时，y=2×2−1=3，
∴点(2,3)在函数y=2x−1图象上；
故选：D．
利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直线上任意一个点的坐标都满足函数解析式y=kx+b．
4.【答案】A
【解析】【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10−7；
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．关键平行四边形性质求出∠C=∠A，BC/​/AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．
【解答】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，BC/​/AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选B．
6.【答案】B
【解析】解：由题意得：x−1≥0且x−2≠0，
解得：x≥1且x≠2，
故选：B．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查点的坐标，解答本题的关键是明确到点到x轴的距离是这点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点的横坐标的绝对值.根据点P在第二象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，从而可以求得点P的坐标．
【解答】
解：∵点P在第二象限内，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，
∴点P的坐标是(−5,3)，
故选C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【解答】
解：去分母得：m+3=x−2，
由分式方程有增根，得到x−2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程得：m+3=0，
解得：m=−3，
故选：D．
9.【答案】B
【解析】解：分两种情况：
(1)当a>0时，一次函数y=ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y=−ax图象在第二、四象限，无选项符合；
(2)当a<0时，一次函数y=ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=−ax图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：B．
根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0，和a<0，两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
10.【答案】B
【解析】解：点A(x1,2)，B(x2,−1)，C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上，
∴x1=82=4，x2=8−1=−8，x3=84=2．
∴x2故选：B．
根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AD=BC=7，AB=CD=4，
∴∠ABE=∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠CBF=∠CFB，
∴CF=CB=7，
∴DF=CF−CD=7−4=3，
故选：B．
根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
12.【答案】D
【解析】解：∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AQ=PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∵∠BAC=45°，AB=AC=8，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP=AC⋅sin45°=8× 22=4 2，
故选：D．
根据平行四边形的性质，垂线段最短，可以得到当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP的值就是AQ的最小值，从而可以解答本题．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】<
【解析】解：∵2−2=14，30=1，
∴2−2<30，
故答案为：<．
先分别计算2−2和30的值，再进行比较大小，即可得出答案．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂和零指数幂的意义是解决问题的关键．
14.【答案】y=x−1
【解析】解：将直线y=x−3沿y轴向上平移2个单位，得直线的函数解析式为y=x−3+2，即y=x−1．
故答案为：y=x−1．
根据“上加下减”的平移规律可直接求得答案．
本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
15.【答案】x=−4y=−2
【解析】解：∵函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(−4,−2)，
∴关于x，y的方程组y−ax=bkx−y=0的解是x=−4y=−2．
故答案为x=−4y=−2．
根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点横、纵坐标求得结果．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
16.【答案】y=−1x
【解析】解：设经过点A的反比例函数解析式为y=kx．
如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，
∴∠ADO=∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠BOC=∠DAO，
∵OB=OA，
∴△BOC≌△OAD(AAS)，
∵点B在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，
∴S△OBC=12，
∴S△OAD=12，
∴12|k|=12，
∴k=−1，
∴经过点A的反比例函数解析式为y=−1x．
故答案为：y=−1x．
作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，根据△OAB是等腰直角三角形，可证明△BOC≌△OAD，利用反比例函数k的几何意义得到S△OBC=12，则S△OAD=12，所以12|k|=12，然后求出k得到经过点A的反比例函数解析式．
此题考查了全等三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17.【答案】解：(1)原式=x2−1x+1=(x+1)(x−1)x+1=x−1；
(2)原式=x2−4x⋅x(x+2)2
=(x+2)(x−2)x⋅x(x+2)2
=x−2x+2，
在−2≤x≤2中，整数有−2、−1、0、1、2，
由题意得：x≠0、−2，
当x=1时，原式=1−21+2=−13(答案不唯一)．
【解析】(1)根据分式的减法法则计算；
(2)根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)5x−2+1=x−12−x，
去分母得：5+x−2=1−x，
移项合并同类项得：2x=−2，
系数化为1得：x=−1，
检验：把x=−1代入x−2得：−1−2=−3≠0，
∴x=−1是原方程的解；
(2)3x−3−4x2−9=0，
去分母得：3(x+3)−4=0，
去括号得：3x+9−4=0，
移项合并同类项得：3x=−5，
系数化为1得：x=−53，
检验：把x=−53代入x2−9得：(−53)2−9≠0，
∴x=−53是原方程的解．
【解析】(1)方程两边同乘(x−2)先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
(2)方程两边同乘(x2−9)先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般方法，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．
19.【答案】解：设去年10月份汽油价格每升为x元，则今年4月份的汽油价格每升为(1+20%)x元，
由题意得：450x−450(1+20%)x=10，
解得：x=7.5，
经检验，x=7.5是原方程的解，且符合题意，
则(1+20%)x=(1+20%)×7.5=9，
答：今年4月份的汽油价格每升为9元．
【解析】设去年10月份汽油价格每升为x元，则今年4月份的汽油价格每升为(1+20%)x元，由题意：用450元给汽车加油，今年4月份的加油量比去年少10升，列出分式方程，解方程即可．
本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由图象得：
出租车的起步价是8元；
设当x>3时，y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，由函数图象，得
8=3k+b12=5k+b，
解得：k=2b=2，
故y与x的函数关系式为：y=2x+2；
(2)∵32元>8元，则行驶里程>3km
∴当y=32时，
32=2x+2，
x=15
答：这位乘客乘车的里程是15km．
【解析】(1)根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元，设当x>3时，y与x的函数关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出结论；
(2)将y=32代入(1)的解析式就可以求出x的值．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键．
21.【答案】26
【解析】[教材呈现]证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
∠BAO=∠DCOAB=CD∠ABO=∠CDO，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴OA=OC，OB=OD(证明方法不唯一)；
[性质应用]证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AD//BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，
在△DEO和△BFO中，
∠EDO=∠FBO∠DEO=∠BFOOB=OD，
∴△DEO≌△BFO(AAS)，
∴OE=OF；
[拓展提升]解：如图2，∵△DEO≌△BFO，
∴BF=DE，OE=OF，
∵EF⊥AC，
∴△AEF是等腰三角形，
∴AE=AF，
∴AE+DE=AF+BF，
∴△ABF的周长=AB+AF+BF=AB+AE+DE=AB+AD=13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴▱ABCD的周长=2(AB+AD)=2×13=26，
故答案为：26．
[教材呈现]由平行四边形的性质得出AB=CD，AB/​/CD，则∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，再由ASA证得△ABO≌△CDO，即可得出结论(证明方法不唯一)；
[性质应用]由平行四边形的性质得出OB=OD，AD//BC，则∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO，再由AAS证得△DEO≌△BFO，即可得出结论；
[拓展提升]由△DEO≌△BFO，得出BF=DE，OE=OF，易证△AEF是等腰三角形，得出AE=AF，则AE+DE=AF+BF，推出△ABF的周长=AB+AD=13，再由平行四边形的性质即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
22.【答案】x>1或−3【解析】解：(1)∵一次函数y=ax+4的图象与反比例函数y=kx的图象交于A(n,6)，B(−3,−2)两点，
∴−2=−3a+4，k=−3×(−2)=6，6n=−3×(−2)=6，
∴a=2，k=6，n=1，
∴一次函数解析式为：y=2x+4，反比例函数解析式为：y=6x．
(2)设直线AB与x轴交于点C，令y=0，则x=−2，
∴C(−2,0)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×2×6+12×2×2=8．
(3)根据函数图象，不等式ax+4>kx的解集为：x>1或−3故答案为：x>1或−3(4)∵A(1,6)，B(−3,−2)，
∴AB= (1+3)2+(6+2)2= 80=4 5，
分三种情况讨论，
①当AB=AC时，设C(t,0)则有：
62+(t−1)2=(4 5)2
整理得：t2−2t−43=0，解得t=1±2 11，即t1=1+2 11，t2=1−2 11，
∴C(1−2 11,0)或(1+2 11,0)．
②当AB=BC时，AB=BC=4 5，设C(m,0)，则有：
BC= (m+3)2+4=4 5，
∴m2+6m−67=0，
解得m1=−3+2 19，m2=−3−2 19，
∴C(−3+2 19,0)或(−3−2 19,0)．
③当AC=BC时，设C(n,0)，则有AC2=BC2，则有：
∴(1−n)2+62=(n+3)2+4，
整理得：−8n=−24，
∴n=3
∴C(3,0)．
综上分析，C(1−2 11,0)或(1+2 11,0)或(−3+2 19,0)或(−3−2 19,0)或(3,0)．
(1)将A(n,6)，B(−3,−2)坐标代入两个函数解析式即可得到两个解析式；
(2)设直线AB与x轴交于点C，利用S△AOB=S△AOC+S△BOC代入数据计算即可；
(3)根据函数图象直接写出不等式的解集即可；
(4)分三种情况①当AB=AC时，②当AB=BC时，③当AC=BC时，利用勾股定理建立方程求出C点横坐标即可．
本题考查了反比例函数的综合应用，分类讨论是解答本题的关键．
平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA=OC，OB=OD．