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2023-2024学年广东省惠州市龙门县八年级（下）期中数学试卷-普通用卷
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这是一份2023-2024学年广东省惠州市龙门县八年级（下）期中数学试卷-普通用卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.要使得式子 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x>2B. x≥2C. x<2D. x≤2
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. 2× 3= 6D. 12÷3=2
3.下列各式中，能与 12合并的是( )
A. 8B. 20C. 27D. 32
4.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 2，3，4C. 4，5，6D. 8，9，10
5.下列说法中正确的是( )
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D. 两条对角线相等的菱形是正方形
6.如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE=16米，则A、B两点间的距离为( )
A. 30米
B. 32米
C. 36米
D. 48米
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD，AD=BCB. AB//CD，AD=BC
C. AB//CD，AD//BCD. OA=OC，OB=OD
8.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是( )
A. 统计思想B. 分类思想C. 数形结合思想D. 方程思想
9.如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD=16，AB=8，则重叠部分(即△BDE)的面积为( )
A. 24
B. 30
C. 40
D. 80
10.如图，已知菱形ABCD，AB=4，∠BAD=120°，E为BC的中点，P为对角线
BD上一点，则PE+PC的最小值等于( )
A. 2 2
B. 2 3
C. 2 5
D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.比较大小：5 3______6 2．
12.化简( 3−2)2023⋅( 3+2)2024的结果为______．
13.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则另一条边长为______．
14.如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠A=65°，CE⊥BD于E，则∠BCE= ______度．
15.如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PA，PC.若BE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算题
(1)3 3− 8+ 2− 27
(2)2 12× 34÷5 2．
17.(本小题7分)
已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13，求四边形ABCD的面积．
18.(本小题7分)
已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：DE=BF．
19.(本小题9分)
阅读理解题，下面我们观察：
( 2−1)2=( 2)2−2×1× 2+12=2−2 2+1=3−2 2.反之3−2 2=2−2 2+1=( 2−1)2，所以3−2 2=( 2−1)2，所以 3−2 2= 2−1．
完成下列各题：
(1)把3+2 2写成(a+b)2的形式；
(2)化简： 4+2 3；
(3)化简： 5−2 6．
20.(本小题9分)
如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若CM=6.5，且AC=12，求四边形ADEB的面积．
21.(本小题9分)
“为了安全，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某路段MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知∠CBN=60°，BC=200米，AC=100 6米.
(1)请求出观测点C到公路MN的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由.(参考数据： 2≈1.41, 3≈1.73)
22.(本小题12分)
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：
如图1，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与BC交于点G.请写出线段FG与线段BG的数量关系，并说明理由；
(2)迁移思考：
如图1，若AB=4，按照(1)中的操作进行折叠和作图，当CG=2时，求AD的值；
(3)拓展探索：
如图2，四边形ABCD为平行四边形，其中∠A与∠C是对角，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与射线BC交于点G.若AD=2，CG=0.5，请直接写出线段DG的值．
23.(本小题12分)
已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,3)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动.设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形；
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在线段PB上有一点M且PM=5，直接写出四边形OAMP的周长的最小值______，并在图上画图标出点M的位置，
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，得x−2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：(1)当代数式是整式时，字母可取全体实数；(2)当代数式是分式时，分式的分母不能为0；(3)当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
2.【答案】C
【解析】解： 2与 3无法合并，则A不符合题意；
2 3− 3= 3，则B不符合题意；
2× 3= 2×3= 6，则C符合题意；
12÷3= 123=2 33，则D不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解： 12=2 3， 8=2 2， 20=2 5， 27=3 3， 32=4 2，
∴能和 12合并的是 27．
故选：C．
将 12化为最简，再将各选项的二次根式化为最简即可得出答案．
本题考查最简二次根式的知识，难度不大，注意将各项化为最简后再判断．
4.【答案】A
【解析】解：A、能，因为32+42=52；
B、不能，因为22+32≠42；
C、不能，因为42+52≠62；
D、不能，因为82+92≠102．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理解答．
解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
依据矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正确结论．
【解答】
解：A.有一个角是直角的平行四边形四边形是矩形，故本选项错误；
B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；
D.两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B．
由三角形中位线定理得到DE=12AB，而DE=16米，即可求出AB=32米．
本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到DE=12AB．
7.【答案】B
【解析】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴B不正确；
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴D正确；
故选：B．
由平行四边形的定义和判定定理，容易得出结论．
本题考查了平行四边形的定义、平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
由折叠的性质得：∠C′BD=∠CBD，
∴∠EDB=∠C′BD，
∴BE=DE，
设AE=x，则BE=DE=16−x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即82+x2=(16−x)2，
解得：x=6，
则AE=6，DE=16−6=10，
则S△BDE=12DE⋅AB=12×10×8=40，
故选：C．
由折叠的性质和矩形的性质可证BE=DE，设AE=x，则BE=DE=8−x，在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了翻折变换(折叠问题)、矩形的性质以及勾股定理，正确利用勾股定理求得AE的长是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AE，
∵AB=4，∠BAD=120°，E为BC的中点，
∴∠ABC=60°，BE=2，AE⊥BC，
∵菱形A与C关于BD对称，
∴AE即为PE+PC的最小值；
在Rt△ABE中，
∵∠BAE=90°−60°=30°，
∴AE=2 3；
故选：B．
菱形A与C关于BD对称连接AE，即为PE+PC的最小值；在Rt△ABE中即可求解；
本题考查利用轴对称求最短距离；通过菱形的轴对称性确定点C的对称点是解题的关键．
11.【答案】>
【解析】【分析】
本题主要考查了实数的大小的比较．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小的比较方法即可求解．
【解答】
解：∵(5 3)2=75>(6 2)2=72，
而5 3>0，6 2>0，
∴5 3>6 2．
12.【答案】− 3−2
【解析】解：( 3−2)2023⋅( 3+2)2024
=( 3−2)2023⋅( 3+2)2023⋅( 3+2)
=[( 3−2)( 3+2)]2023⋅( 3+2)
=(3−4)2023⋅( 3+2)
=−( 3+2)
=− 3−2．
故答案为：− 3−2．
先将原式化成( 3−2)2023⋅( 3+2)2023⋅( 3+2)，然后运用逆用积的乘方运算法则即可解答．
本题主要考查了逆用积的乘方、平方差公式等知识点，掌握ambm=(ab)m成为解题的关键．
13.【答案】10或2 7
【解析】解：当边长8为直角边时，则另一条边长为 62+82=10；
当边长8为斜边时，则另一边长为 82−62=2 7，
故答案为：10或2 7．
分边长8为直角边和斜边分别求解即可．
本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的运用．
14.【答案】25
【解析】解：∵A=65°，
∴∠BCD=65°；
∵DB=DC，
∴∠BCD=∠DBC=65°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE=90°−∠DBC=25°．
故答案为：25．
平行四边形对角相等，所以可先求出∠BCD，在等腰三角形中，利用等边对等角这一性质，可以求出∠DBC，再利用直角三角形两锐角互余即可求解．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
15.【答案】12
【解析】解：作PM⊥AD于M，交BC于N.如图2：
则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴CF=BE=2，
∴S△AEP=S△AMP，S△CFP=S△CNP，
∴S△AEP=S△CFP=12×PF×CF=12×6×2=6，
∴图中阴影部分的面积S阴=6+6=12．
故答案为：12．
由矩形的性质可证明S△PEA=S△PFC，即可求解．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．
16.【答案】解：(1)3 3− 8+ 2− 27=3 3−2 2+ 2−3 3=− 2；
(2)2 12× 34÷5 2=4 3× 34× 210=3 210．
【解析】(1)先把各个二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可；
(2)根据二次根式的乘除混合运算法则计算．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC= AB2−BC2= 152−92=12．
∵AD=5，CD=13，AC=12，
∴AD2+AC2=52+122=169，CD2=132=169，
∴CD2=AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，
∴S△ACD=12AD⋅AC
=12×5×12
=30；
S△ABC=12AC⋅BC
=12×12×9
=54，
∴30+54=84，
∴四边形ABCD的面积为84．
【解析】先利用勾股定理求出AC=12，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后根据三角形的面积公式列式计算得到△ACD的面积，然后求得△ABC的面积，相加即可得解．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD//CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴DE=BF．
【解析】首先利用平行四边形的性质，证出AD=CB，AD//CB，进而证出∠DAE=∠BCF，再结合已知证得△ADE≌△CBF，最后利用全等三角形的性质证出结论．
本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，找到图中的全等三角形是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)3+2 2=12+2 2+( 2)2=(1+ 2)2；
(2) 4+2 3= ( 3+1)2= 3+1；
(3) 5−2 6= ( 3− 2)2=| 3− 2|= 3− 2．
【解析】(1)利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
(2)利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
(3)利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义，以及完全平方公式是解题关键．
20.【答案】(1)证明：平行四边形ABCD中，AD//BC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=∠ACB=90°
∴∠DAC=∠ACE=90°，
∵DE//AC，
∴∠ACE=∠E=90°，
∴∠DAC=∠ACE=∠E=90°，
∴四边形ADEC是矩形；
(2)解：∵AC⊥BC，点M为AB的中点，CM=6.5，
∴AB=2CM=13，
在Rt△ACB中，BC= AB2−AC2=5，
平行四边形ABCD中，AD=BC=5，
在矩形ADEC中，AD=CE=5，
∴四边形ADEB的面积=S矩形ADEC+S△ACB
=AC⋅CE+12AC⋅BC
=AC⋅CE+12AC⋅BC
=12×5+12×12×5
=90．
【解析】(1)利用平行线的性质分析可得∠DAC=∠ACE=∠E=90°，从而求证四边形ADEC是矩形；
(2)根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理求得BC的长度，从而利用矩形和三角形的面积公式计算求解．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键．
21.【答案】解：(1)过点C作CH⊥MN于H，
在Rt△BCH中，
∵∠CBN=60°，
∴∠BCH=30°．
∵BC=200米
∴BH=12BC=100米，
∴CH= BC2−BH2=100 3米，
即观测点C到公路MN的距离为100 3米．
(2)∵AC=100 6米，∠CHA=90°，
∴AH= CA2−CH2=100 3米，
∴AB=AH−BH=100 3−100≈73(米)，
∴车速为73÷5=735(米/秒)，
∵60千米/小时=503米秒，735<503，
∴此车没有超速．
【解析】(1)过点C作CH⊥MN于H，先求出BH的长，再用勾股定理求解即可；
(2)先求出AH的长，再求出AB的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)FG=BG，
理由如下：如图，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∵点E是AB的中点，
∴AB=BE．
由折叠可知AE=EF，
∴EF=EB．
在Rt△EFG和Rt△EBG中，
EF=EB,EG=EG,
∴Rt△EFG≌Rt△EBG(HL)，
∴FG=BG；
(2)∵四边形ABCD是矩形，AB=4，
∴CD=AB=4．
∴DG= 42+22=2 5．
令AD=x，则DF=AD=x，
由(1)知FG=BG=x−2，
∴x+x−2=2 5．
解得x= 5+1，
即AD的长为 5+1．
(3)当点F在DC的下方时，如图2，连接BF，
∵折叠，
∴AD=DF=2，∠A=∠DFE，EF=AE，
∵∠A+∠ABC=180°，∠DFE+∠EFG=180°，
∴∠EFG=∠ABC，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴EF=BE，
∴∠EFB=∠EBF，
∴∠GFB=∠GBF，
∴GF=BG=BC−CG=2−0.5=1.5，
∴DG=3.5；
当点F在DC的上方时，如图3，连接BF，
同理可求：FG=BG=BC+CG=2+0.5=2.5，
∴DG=4.5，
综上所述：DG的长为3.5或4.5．
【解析】(1)由“HL”可证Rt△EFG≌Rt△EBG，可得FG=BG；
(2)由勾股定理可求解；
(3)分两种情况讨论，由折叠的性质可得AD=DF=2，∠A=∠DFE，EF=AE，由等腰三角形的性质可求FG的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】15+ 61
【解析】解：(1)∵四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,3)，
∴BC=OA=10，AB=OC=3，
∵点D是OA的中点，
∴OD=12OA=5，
由运动知，PC=2t，
∴BP=BC−PC=10−2t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=5，
∴10−2t=5，
∴t=2.5；
(2)①当Q点在P的右边时，如图1，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC= OP2−OC2= 52−32=4，
∴2t=4，
∴t=2，
∵CQ=CP+PQ=4+5=9，
∴Q(9,3)；
②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OQ=PQ=5，
∴在Rt△OCQ中，由勾股定理得：CQ= OQ2−OC2= 52−32=4，
∴CP=CQ+PQ=4+5=9，
∴2t=9，
∴t=4.5，
∵CQ=4，
∴Q(4,3)；
③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=PQ=OQ=5，
∴在Rt△OCQ中，由勾股定理得：CQ= OQ2−OC2= 52−32=4，
∴CP=PQ−CQ=5−4=1，
∴2t=1，
∴t=0.5，
∵CQ=4，
∴Q(−4,3)；
综上所述，t=2时，Q(9,3)；t=4.5时，Q(4,3)；t=0.5时，Q(−4,3)；
(3)如图4，由(1)知，OD=5，
∵PM=5，
∴OD=PM，
∵BC//OA，
∴四边形OPMD是平行四边形，
∴OP=DM，
∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP
=10+AM+5+DM
=15+AM+DM，
∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，
∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，
∴AM=EM，
∴AM+DM=DM+EM，
∵两点之间线段最短，
∴此时DM+EM最小，即AM+DM最小，
∵AE=AB+BE=3+3=6，
∴AM+DM的最小值为DE= 62+52= 61，
∴四边形OAMP的周长最小值为15+ 61．
故答案为：15+ 61．
(1)先求出OA，进而求出OD=5，再由运动知BP=10−2t，进而由平行四边形的性质建立方程10−2t=5即可得出结论；
(2)分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
(3)先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
1.要使得式子 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x>2B. x≥2C. x<2D. x≤2
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. 2× 3= 6D. 12÷3=2
3.下列各式中，能与 12合并的是( )
A. 8B. 20C. 27D. 32
4.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 2，3，4C. 4，5，6D. 8，9，10
5.下列说法中正确的是( )
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D. 两条对角线相等的菱形是正方形
6.如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE=16米，则A、B两点间的距离为( )
A. 30米
B. 32米
C. 36米
D. 48米
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD，AD=BCB. AB//CD，AD=BC
C. AB//CD，AD//BCD. OA=OC，OB=OD
8.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是( )
A. 统计思想B. 分类思想C. 数形结合思想D. 方程思想
9.如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD=16，AB=8，则重叠部分(即△BDE)的面积为( )
A. 24
B. 30
C. 40
D. 80
10.如图，已知菱形ABCD，AB=4，∠BAD=120°，E为BC的中点，P为对角线
BD上一点，则PE+PC的最小值等于( )
A. 2 2
B. 2 3
C. 2 5
D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.比较大小：5 3______6 2．
12.化简( 3−2)2023⋅( 3+2)2024的结果为______．
13.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则另一条边长为______．
14.如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠A=65°，CE⊥BD于E，则∠BCE= ______度．
15.如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PA，PC.若BE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算题
(1)3 3− 8+ 2− 27
(2)2 12× 34÷5 2．
17.(本小题7分)
已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13，求四边形ABCD的面积．
18.(本小题7分)
已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：DE=BF．
19.(本小题9分)
阅读理解题，下面我们观察：
( 2−1)2=( 2)2−2×1× 2+12=2−2 2+1=3−2 2.反之3−2 2=2−2 2+1=( 2−1)2，所以3−2 2=( 2−1)2，所以 3−2 2= 2−1．
完成下列各题：
(1)把3+2 2写成(a+b)2的形式；
(2)化简： 4+2 3；
(3)化简： 5−2 6．
20.(本小题9分)
如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若CM=6.5，且AC=12，求四边形ADEB的面积．
21.(本小题9分)
“为了安全，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某路段MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知∠CBN=60°，BC=200米，AC=100 6米.
(1)请求出观测点C到公路MN的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由.(参考数据： 2≈1.41, 3≈1.73)
22.(本小题12分)
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断：
如图1，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与BC交于点G.请写出线段FG与线段BG的数量关系，并说明理由；
(2)迁移思考：
如图1，若AB=4，按照(1)中的操作进行折叠和作图，当CG=2时，求AD的值；
(3)拓展探索：
如图2，四边形ABCD为平行四边形，其中∠A与∠C是对角，点E为边AB的中点，沿DE折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长DF与射线BC交于点G.若AD=2，CG=0.5，请直接写出线段DG的值．
23.(本小题12分)
已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,3)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动.设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形；
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在线段PB上有一点M且PM=5，直接写出四边形OAMP的周长的最小值______，并在图上画图标出点M的位置，
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，得x−2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解．
本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：(1)当代数式是整式时，字母可取全体实数；(2)当代数式是分式时，分式的分母不能为0；(3)当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
2.【答案】C
【解析】解： 2与 3无法合并，则A不符合题意；
2 3− 3= 3，则B不符合题意；
2× 3= 2×3= 6，则C符合题意；
12÷3= 123=2 33，则D不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解： 12=2 3， 8=2 2， 20=2 5， 27=3 3， 32=4 2，
∴能和 12合并的是 27．
故选：C．
将 12化为最简，再将各选项的二次根式化为最简即可得出答案．
本题考查最简二次根式的知识，难度不大，注意将各项化为最简后再判断．
4.【答案】A
【解析】解：A、能，因为32+42=52；
B、不能，因为22+32≠42；
C、不能，因为42+52≠62；
D、不能，因为82+92≠102．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理解答．
解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
依据矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正确结论．
【解答】
解：A.有一个角是直角的平行四边形四边形是矩形，故本选项错误；
B.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；
D.两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE=16米，
∴AB=32米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B．
由三角形中位线定理得到DE=12AB，而DE=16米，即可求出AB=32米．
本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到DE=12AB．
7.【答案】B
【解析】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴B不正确；
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴D正确；
故选：B．
由平行四边形的定义和判定定理，容易得出结论．
本题考查了平行四边形的定义、平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
由折叠的性质得：∠C′BD=∠CBD，
∴∠EDB=∠C′BD，
∴BE=DE，
设AE=x，则BE=DE=16−x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即82+x2=(16−x)2，
解得：x=6，
则AE=6，DE=16−6=10，
则S△BDE=12DE⋅AB=12×10×8=40，
故选：C．
由折叠的性质和矩形的性质可证BE=DE，设AE=x，则BE=DE=8−x，在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了翻折变换(折叠问题)、矩形的性质以及勾股定理，正确利用勾股定理求得AE的长是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AE，
∵AB=4，∠BAD=120°，E为BC的中点，
∴∠ABC=60°，BE=2，AE⊥BC，
∵菱形A与C关于BD对称，
∴AE即为PE+PC的最小值；
在Rt△ABE中，
∵∠BAE=90°−60°=30°，
∴AE=2 3；
故选：B．
菱形A与C关于BD对称连接AE，即为PE+PC的最小值；在Rt△ABE中即可求解；
本题考查利用轴对称求最短距离；通过菱形的轴对称性确定点C的对称点是解题的关键．
11.【答案】>
【解析】【分析】
本题主要考查了实数的大小的比较．
先把两个实数平方，然后根据实数的大小的比较方法即可求解．
【解答】
解：∵(5 3)2=75>(6 2)2=72，
而5 3>0，6 2>0，
∴5 3>6 2．
12.【答案】− 3−2
【解析】解：( 3−2)2023⋅( 3+2)2024
=( 3−2)2023⋅( 3+2)2023⋅( 3+2)
=[( 3−2)( 3+2)]2023⋅( 3+2)
=(3−4)2023⋅( 3+2)
=−( 3+2)
=− 3−2．
故答案为：− 3−2．
先将原式化成( 3−2)2023⋅( 3+2)2023⋅( 3+2)，然后运用逆用积的乘方运算法则即可解答．
本题主要考查了逆用积的乘方、平方差公式等知识点，掌握ambm=(ab)m成为解题的关键．
13.【答案】10或2 7
【解析】解：当边长8为直角边时，则另一条边长为 62+82=10；
当边长8为斜边时，则另一边长为 82−62=2 7，
故答案为：10或2 7．
分边长8为直角边和斜边分别求解即可．
本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的运用．
14.【答案】25
【解析】解：∵A=65°，
∴∠BCD=65°；
∵DB=DC，
∴∠BCD=∠DBC=65°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE=90°−∠DBC=25°．
故答案为：25．
平行四边形对角相等，所以可先求出∠BCD，在等腰三角形中，利用等边对等角这一性质，可以求出∠DBC，再利用直角三角形两锐角互余即可求解．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
15.【答案】12
【解析】解：作PM⊥AD于M，交BC于N.如图2：
则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴CF=BE=2，
∴S△AEP=S△AMP，S△CFP=S△CNP，
∴S△AEP=S△CFP=12×PF×CF=12×6×2=6，
∴图中阴影部分的面积S阴=6+6=12．
故答案为：12．
由矩形的性质可证明S△PEA=S△PFC，即可求解．
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．
16.【答案】解：(1)3 3− 8+ 2− 27=3 3−2 2+ 2−3 3=− 2；
(2)2 12× 34÷5 2=4 3× 34× 210=3 210．
【解析】(1)先把各个二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可；
(2)根据二次根式的乘除混合运算法则计算．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式乘法、除法及加减法运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC= AB2−BC2= 152−92=12．
∵AD=5，CD=13，AC=12，
∴AD2+AC2=52+122=169，CD2=132=169，
∴CD2=AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，
∴S△ACD=12AD⋅AC
=12×5×12
=30；
S△ABC=12AC⋅BC
=12×12×9
=54，
∴30+54=84，
∴四边形ABCD的面积为84．
【解析】先利用勾股定理求出AC=12，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后根据三角形的面积公式列式计算得到△ACD的面积，然后求得△ABC的面积，相加即可得解．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD//CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴DE=BF．
【解析】首先利用平行四边形的性质，证出AD=CB，AD//CB，进而证出∠DAE=∠BCF，再结合已知证得△ADE≌△CBF，最后利用全等三角形的性质证出结论．
本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，找到图中的全等三角形是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)3+2 2=12+2 2+( 2)2=(1+ 2)2；
(2) 4+2 3= ( 3+1)2= 3+1；
(3) 5−2 6= ( 3− 2)2=| 3− 2|= 3− 2．
【解析】(1)利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
(2)利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
(3)利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义，以及完全平方公式是解题关键．
20.【答案】(1)证明：平行四边形ABCD中，AD//BC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=∠ACB=90°
∴∠DAC=∠ACE=90°，
∵DE//AC，
∴∠ACE=∠E=90°，
∴∠DAC=∠ACE=∠E=90°，
∴四边形ADEC是矩形；
(2)解：∵AC⊥BC，点M为AB的中点，CM=6.5，
∴AB=2CM=13，
在Rt△ACB中，BC= AB2−AC2=5，
平行四边形ABCD中，AD=BC=5，
在矩形ADEC中，AD=CE=5，
∴四边形ADEB的面积=S矩形ADEC+S△ACB
=AC⋅CE+12AC⋅BC
=AC⋅CE+12AC⋅BC
=12×5+12×12×5
=90．
【解析】(1)利用平行线的性质分析可得∠DAC=∠ACE=∠E=90°，从而求证四边形ADEC是矩形；
(2)根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理求得BC的长度，从而利用矩形和三角形的面积公式计算求解．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键．
21.【答案】解：(1)过点C作CH⊥MN于H，
在Rt△BCH中，
∵∠CBN=60°，
∴∠BCH=30°．
∵BC=200米
∴BH=12BC=100米，
∴CH= BC2−BH2=100 3米，
即观测点C到公路MN的距离为100 3米．
(2)∵AC=100 6米，∠CHA=90°，
∴AH= CA2−CH2=100 3米，
∴AB=AH−BH=100 3−100≈73(米)，
∴车速为73÷5=735(米/秒)，
∵60千米/小时=503米秒，735<503，
∴此车没有超速．
【解析】(1)过点C作CH⊥MN于H，先求出BH的长，再用勾股定理求解即可；
(2)先求出AH的长，再求出AB的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)FG=BG，
理由如下：如图，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∵点E是AB的中点，
∴AB=BE．
由折叠可知AE=EF，
∴EF=EB．
在Rt△EFG和Rt△EBG中，
EF=EB,EG=EG,
∴Rt△EFG≌Rt△EBG(HL)，
∴FG=BG；
(2)∵四边形ABCD是矩形，AB=4，
∴CD=AB=4．
∴DG= 42+22=2 5．
令AD=x，则DF=AD=x，
由(1)知FG=BG=x−2，
∴x+x−2=2 5．
解得x= 5+1，
即AD的长为 5+1．
(3)当点F在DC的下方时，如图2，连接BF，
∵折叠，
∴AD=DF=2，∠A=∠DFE，EF=AE，
∵∠A+∠ABC=180°，∠DFE+∠EFG=180°，
∴∠EFG=∠ABC，
∵点E为边AB的中点，
∴AE=BE，
∴EF=BE，
∴∠EFB=∠EBF，
∴∠GFB=∠GBF，
∴GF=BG=BC−CG=2−0.5=1.5，
∴DG=3.5；
当点F在DC的上方时，如图3，连接BF，
同理可求：FG=BG=BC+CG=2+0.5=2.5，
∴DG=4.5，
综上所述：DG的长为3.5或4.5．
【解析】(1)由“HL”可证Rt△EFG≌Rt△EBG，可得FG=BG；
(2)由勾股定理可求解；
(3)分两种情况讨论，由折叠的性质可得AD=DF=2，∠A=∠DFE，EF=AE，由等腰三角形的性质可求FG的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】15+ 61
【解析】解：(1)∵四边形OABC为矩形，A(10,0)，C(0,3)，
∴BC=OA=10，AB=OC=3，
∵点D是OA的中点，
∴OD=12OA=5，
由运动知，PC=2t，
∴BP=BC−PC=10−2t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=5，
∴10−2t=5，
∴t=2.5；
(2)①当Q点在P的右边时，如图1，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC= OP2−OC2= 52−32=4，
∴2t=4，
∴t=2，
∵CQ=CP+PQ=4+5=9，
∴Q(9,3)；
②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OQ=PQ=5，
∴在Rt△OCQ中，由勾股定理得：CQ= OQ2−OC2= 52−32=4，
∴CP=CQ+PQ=4+5=9，
∴2t=9，
∴t=4.5，
∵CQ=4，
∴Q(4,3)；
③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=PQ=OQ=5，
∴在Rt△OCQ中，由勾股定理得：CQ= OQ2−OC2= 52−32=4，
∴CP=PQ−CQ=5−4=1，
∴2t=1，
∴t=0.5，
∵CQ=4，
∴Q(−4,3)；
综上所述，t=2时，Q(9,3)；t=4.5时，Q(4,3)；t=0.5时，Q(−4,3)；
(3)如图4，由(1)知，OD=5，
∵PM=5，
∴OD=PM，
∵BC//OA，
∴四边形OPMD是平行四边形，
∴OP=DM，
∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP
=10+AM+5+DM
=15+AM+DM，
∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，
∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，
∴AM=EM，
∴AM+DM=DM+EM，
∵两点之间线段最短，
∴此时DM+EM最小，即AM+DM最小，
∵AE=AB+BE=3+3=6，
∴AM+DM的最小值为DE= 62+52= 61，
∴四边形OAMP的周长最小值为15+ 61．
故答案为：15+ 61．
(1)先求出OA，进而求出OD=5，再由运动知BP=10−2t，进而由平行四边形的性质建立方程10−2t=5即可得出结论；
(2)分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
(3)先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
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