2023-2024学年山东省济南市历城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市历城区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射升空.下列航天图标是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2−4+6x=(x+2)(x−2)+6xB. x2−8x+16=(x−4)2
C. (x+3)(x−2)=x2+x−6D. 6ab=2a⋅3b
3.若a>b，则下列式子中正确的是( )
A. a24.把多项式6a2b−3ab2+12a2b2分解因式，应提取的公因式是( )
A. abB. 3ab2C. 3abD. 12a2b2
5.不等式x≤2x+1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.把分式x+yx2中x，y的值都扩大为原来的5倍，则分式的值( )
A. 缩小为原来的15B. 不变C. 扩大为原来的10倍D. 扩大为原来的5倍
7.如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OA=1，OB=2，若将线段AB平移至线段A′B′，则a+b的值为( )
A. 2B. 3C. −2D. −3
8.如图，直线y=2x+b与直线y=ax+1相交于点(−1,1.5)，则不等式ax+1<2x+b的解集是( )
A. x<−1
B. x>−1
C. x>1.5
D. x<1.5
9.已知关于x的方程xx−5=3−ax−5有增根，则a的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. −5
10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M.过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有个( )
①△ACD≌△CBF；②∠BDM=∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF；⑤若AE=4，CE=2，则CM=103．
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：m2−9=______．
12.如果分式2x−3x+2的值为0，那么x的值是______．
13.如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE=30°，EC=1，则EF= ______．
14.已知a，b满足1a+1b=2a−b，则aba2−b2的值为______．
15.如图，在△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC将绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′，连接BB′、BC′，若AC′=BC′，则∠B′BC′的度数为______．
16.如图，在△ABC中，AC=6，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D为AC上一点，且AD=2，点E为边AB上一动点，连接CE，将点E绕点A顺时针旋转60°得到点F，连接DF，则CE+DF的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
分解因式：
(1)4a3−4a；
(2)2x2y−8xy+8y．
18.(本小题10分)
(1)解不等式：5x>3(x−2)+2，并把解集表示在数轴上．
(2)解不等式组：3x−4>2(x−2)3x−25−2x+13≥−1，并写出它的所有整数解．
19.(本小题10分)
(1)计算：aa−1÷a2−aa2−1；
(2)先化简，再求值：(4xx−2−xx+2)÷xx2−4，在−2，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．
20.(本小题10分)
解方程：
(1)5x−1=12x+1；
(2)2(x−2)x−1+1=21−x．
21.(本小题6分)
如图，点E，F在线段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求证：∠A=∠D．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示.(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
(3)△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成，在图中画出点P位置并直接写出点P坐标______．
23.(本小题10分)
山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如表：
24.(本小题12分)
如图1，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2 3，BD平分∠ABC，BE⊥AB于点B.动点P从点D出发沿线段DB以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿射线BE以每秒4个单位的速度运动，运动时间为t秒，当点P到达点B时，P，Q同时停止运动．
(1)求CD= ______，BD= ______；
(2)当△BPQ是直角三角形时，求t的值；
(3)当BF=BQ时，求t的值．
25.(本小题12分)
综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动.其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．

(1)【操作判断】将四边形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与四边形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点，经测量得∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD.小明将△DQC绕点D顺时针旋转90°，此时点C与点A重合，点Q的对应点为Q′，通过推理小明得出了△PDQ≌△PDQ′．
根据以上信息，请填空：
①∠PDQ′= ______°；
②线段AP，PQ，QC之间的数量关系为______；
(2)【迁移探究】小明将四边形纸片ABCD换成了图2中的形状，若∠ADC=2α，∠PDQ=α，AD=CD，P，Q分别在AB，BC上，且∠BCD+∠DAB=180°，线段AP，PQ，QC之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；
(3)【拓展应用】如图3，已知Rt△ADC，∠ADC=90°，AD=CD=6 2.小明以点D为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺EDF，其中射线DE，DF分别交射线AC于点M，N，当点M恰好为线段AC的三等分点时，请直接写出MN的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：A.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
C.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意；
D.因式分解的是多项式，而6ab是单项式，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
3.【答案】C
【解析】解：A、不等式a>b的两边同时除以2，不等式仍成立，即a2>b2，故本选项不符合题意；
B、不等式a>b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a−3>b−3，故本选项不符合题意；
C、不等式a>b的两边同时乘−3，不等式仍成立，即−3a<−3b，故本选项符合题意；
D、不等式a>b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a−b>0，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据不等式的性质进行判断．
本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
4.【答案】C
【解析】解：6a2b−3ab2+12a2b2=3ab(2a−b+4ab)．
故选：C．
公因式的确定：系数取最大公因数，相同字母取最低次幂．
本题主要考查了因式分解，掌握公因式的确定是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：解x≤2x+1得x≥−1在数轴上表示如下：
故选：B．
解不等式求出x的范围，再在数轴上表示即可．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤及在数轴上表示不等式的解集．
6.【答案】A
【解析】解：∵把分式x+yx2中x，y的值都扩大为原来的5倍，
∴5x+5y25x2
=5(x+y)25x2
=x+y5x2，
∵x+yx2×15=x+y5x2，即分式的值缩小为原来的15，
故选：A．
根据分式的基本性质求解并判断即可．
本题考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得A(−1,0)，A′(2,a)，
∴A′是点A向右平移2−(−1)=3个单位得到；
∵B(0,2)，B′(b,1)，
∴点B′是点B向下平移2−1=1个单位得到；
∴线段A′B′是线段AB先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到，
故a=0−1=−1，b=0+3=3，
∴a+b=−1+3=2，
故选：A．
先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解．
本题考查了线段的平移、点的平移，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由图象可知两直线交点是(−1,1.5)，
当x>−1时，直线y=2x+b在直线y=ax+1的上方，
即不等式ax+1<2x+b的解集为：x>−1，
故选：B．
根据图象可以看出当x>−1时，直线y=2x+b在直线y=ax+1的上方，即可得出答案．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵方程有增根，
∴x−5=0，
∴x=5，
xx−5=3−ax−5，
x=3(x−5)−a，
x=3x−15−a，
把x=5代入整式方程解得a=−5，
故选：D．
首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根产生的原因，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，这是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵BF⊥BC，CE⊥AD，
∴∠AEC=∠CBF=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACE=∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBF(ASA)；故①正确；
∴∠ADC=∠F，CD=BF，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴BD=BF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∵∠CBF=90°，
∴∠FBM=45°，
∴∠DBM=∠FBM，
又∵BM=BM，
∴△BDM≌△BFM(SAS)，
∴∠BDM=∠F，DM=MF，
∴∠BDM=∠ADC；故②正确；
∵DM=MF，DB=BF，
∴AB垂直平分DF，故④正确，
由题意无法证明△ACF是等边三角形，故③错误，
连接DF，如图所示：
∵CE⊥AD，AE=4，CE=2，
∴BC=AC= AE2+CE2=2 5，
∵△BDM≌△BFM，
∴BD=BF，CD=BD=12BC= 5，
∴DM=FM，AD= AC2+CD2=5，
∴DE=AD−AE=1，
∵∠DBF=90°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF= BD2+BF2= 2BD= 10，
∴EF= DF2−DE2= ( 10)2−12=3，
设DM=FM=x，则EM=3−x，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：12+(3−x)2=x2，
解得：x=53，
∴EM=3−53=43，
∴CM=CE+EM=2+43=103，故⑤正确．
故选：B．
由“ASA”可证△ACD≌△CBF，由“SAS”可证△BDM≌△BFM，利用全等三角形的性质依次判断可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11.【答案】(m+3)(m−3)
【解析】解：m2−9
=m2−32
=(m+3)(m−3)．
故答案为：(m+3)(m−3)．
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解因式．
此题主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
12.【答案】32
【解析】解：由题可知，
2x−3=0且x+2≠0，
解得x=32．
故答案为：32．
根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零且分母不为零的条件是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：如图，作EG⊥AO于点G，
∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，EC=1，
∴EG=EC=1，
∵∠AFE=30°，
∴EF=2EG=2×1=2，
故答案为：2．
作EG⊥AO于点G，根据角平分线的性质求得EG的长，然后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
本题考查了角平分线的性质及直角三角形的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得EG的长，难度不大．
14.【答案】12
【解析】解：∵1a+1b=2a−b，
∴a+bab=2a−b，即(a+b)(a−b)=2ab，
∴a2−b2=2ab，
∴aba2−b2=ab2ab=12，
故答案为：12．
由1a+1b=2a−b整理得(a+b)(a−b)=2ab或a2−b2=2ab，再对所求式子化简整理，整体代入即可求解．
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确运算．
15.【答案】32.5°
【解析】解：根据题意，将△ABC将绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=75°，∠B′AC′=∠BAC，
∴∠ABB′=∠AB′B=12(180°−∠BAB′)=52.5°，
∵∠BAC=55°，
∴∠B′AC′=∠BAC=55°，
∴∠C′AB=∠BAB′−∠B′AC′=75°−55°=20°，
∵AC′=BC′，
∴∠C′BA=∠C′AB=20°，
∴∠B′BC′=∠ABB′−∠C′BA=52.5°−20°=32.5°．
故答案为：32.5°．
根据旋转的性质，可得AB=AB′，∠BAB′=75°，∠B′AC′=∠BAC，易得∠C′AB=20°，根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理可得∠ABB′=52.5°，再结合AC′=BC′可得∠C′BA=∠C′AB=20°，然后由∠B′BC′=∠ABB′−∠C′BA求解即可．
本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
16.【答案】2 13
【解析】解：作EH⊥AC，设AF的长为x，
∵将点E绕点A顺时针旋转60°得到点F，
∴AF=AE=x，∠EAF=60°，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAD=90°，EH=12AE=12x，AH= 32x，
∵AC=6，AD=2，
CH=6− 32x，
∴CE+DF= (6− 32x)2+(12x)2+ x2+22= (x−3 3)2+9+ x2+4，
将它们表示在平面直角坐标系上，如图2，
利用“两点之间，线段最短”可知，CE+DF的最小值即为MN的长，
∴MN= (3 3)2+(3+2)2=2 13，
故答案为：2 13．
作EH⊥AC，设AF的长为x，分别用含x的代数式表示出CE，DF的长，然后利用“两点之间，线段最短”可知，CE+DF的最小值，进而即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质，最短距离等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
17.【答案】解：(1)4a3−4a
=4a(a2−1)
=4a(a+1)(a−1)；
(2)2x2y−8xy+8y
=2y(x2−4x+4)
=2y(x−2)2．
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：(1)∵5x>3(x−2)+2，
∴5x>3x−6+2，
5x−3x>−6+2，
2x>−4，
则x>−2，
解集表示在数轴上如下：

(2)由3x−4>2(x−2)得：x>0，
由3x−25−2x+13≥−1得：x≤4，
所以不等式组的解集为0【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=aa−1÷a(a−1)(a+1)(a−1)
=aa−1⋅(a+1)(a−1)a(a−1)
=a+1a−1；
(2)原式=(4xx−2−xx+2)÷x(x+2)(x−2)
=(4xx−2−xx+2)⋅(x+2)(x−2)x
=4xx−2⋅(x+2)(x−2)x−xx+2⋅(x+2)(x−2)x
=4(x+2)−(x−2)
=4x+8−x+2
=3x+10，
∵当x=±2和0时分式无意义，
∴x=1，
∴当x=1时，原式=3×1+10=3+10=13．
【解析】(1)先把分式的分子和分母分解因式，再把除法写成乘法，然后进行约分即可；
(2)把分式的分子和分母分解因式，再把除法写成乘法，利用乘法分配律进行计算，然后约分化简，再把不能让分式的分子和分母为0的数代入化简后的式子进行计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．
20.【答案】解：(1)5x−1=12x+1
方程两边都乘(x−1)(2x+1)，得5(2x+1)=x−1，
10x+5=x−1，
10x−x=−1−5，
9x=−6，
x=−23，
检验：当x=−23时，(x−1)(2x+1)≠0，
所以分式方程的解是x=−23；
(2)2(x−2)x−1+1=21−x，
方程两边都乘x−1，得2(x−2)+x−1=−2，
2x−4+x−1=−2，
2x+x=−2+1+4，
3x=3，
x=1，
检验：当x=1时，x−1=0，
所以x=1是增根，
即分式方程无解．
【解析】(1)方程两边都乘(x−1)(2x+1)得出5(2x+1)=x−1，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边都乘x−1得出2(x−2)+x−1=−2，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
21.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
在Rt△ABF和△RtDCE中，
AF=DEBF=CE，
∴△RtABF≌△RtDCE(HL)，
∴∠A=∠D．
【解析】由“HL”可证△ABF≌△DCE，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
22.【答案】(−2,−2)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△AB2C2即为所求；
(3)△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成，点P坐标为(−2,−2)．
故答案为：(−2,−2)．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C2即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可；
(3)对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为(x+400)元，由题意，得
50000x+400=50000(1−20%)x，
解得：x=1600．
经检验，x=1600是原方程的根．
答：今年A型车每辆售价1600元；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(80−a)辆，获利y元，由题意，得
y=(1600−1100)a+(2000−1400)(80−a)，
y=−100a+48000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴80−a≤2a，
∴a≥803．
∵y=−100a+48000．
∴k=−100<0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=27时，y最大=48000元．
∴B型车的数量为：80−27=52辆．
∴当新进A型车27辆，B型车52辆时，这批车获利最大．
【解析】(1)设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为(x+400)元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(80−a)辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
24.【答案】2 4
【解析】解：(1)∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2 3，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴CD=2，
∴BD= CD2+BC2=4，
故答案为：2，4；
(2)由题意得：∠DBE=60°，DP=2t，BQ=4t，则BP=4−2t，
①当△BPQ是直角三角形，且点Q为直角顶点时，
如图，
∴BP=2BQ，
即4−2t=2×4t，
解得：t=25；
②当△BPQ是直角三角形，且点P为直角顶点时，
如图，
∴BQ=2BP，
即4t=2×(4−2t)，
解得：t=1；
综上，若△BPQ是直角三角形，t=25或1.8；
(3)如图，过点Q作QG⊥BD于点G，
当BF=BQ，即BF=BQ=4t时，∠BFQ=∠BQF=75°，
∴∠BPQ=180°−75°−60°=45°，
在Rt△BGQ中，∠GBQ=60°，BQ=4t，
∴BG=12BQ=2t，GQ=2 3t，
∵BP=4−2t，
∴PG=4−2t−2t=4−4t，
在Rt△PGQ中，∠GPQ=45°，
∴PG=GQ，
∴4−4t=2 3t，
∴t=4−2 3．
(1)由直角三角形的性质及勾股定理可求出答案；
(2)分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案；
(3)过点Q作QG⊥BD于点G，证出∠BPQ=180°−75°−60°=45°，由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
25.【答案】45 AP+QC=PQ
【解析】解：(1)①∵△DQC绕点D顺时针旋转90°得到△DQ′A，
∴∠ADQ′=CDQ
∵∠ADQ+∠CDQ=∠ADC=90°
∴∠ADQ′+∠ADQ=90°
∴∠Q′DQ=90°
∵△PDQ≌△PDQ′(AAS)，
∴∠Q′DP=∠QDP=12∠Q′DQ=45°，
故答案为：45；
②△DQC绕点D顺时针旋转90°得到△DQ′A，
∴AQ′=CQ
∵△PDQ≌△PDQ′
∴Q′P=QP
∴AP+CQ=AP+Q′A=Q′P=QP，
故答案为：AP+QC=PQ；
(2)AP+QC=PQ仍然成立
∵AD=CD，
∴如图所示，将△DQC绕点D旋转顺时针2α得△DQ′A，AD与CD重合，
∴DQ′=DQ，∠DAQ′=∠C，∠ADQ′=∠CDQ，
又∵∠C+∠DAB=180°，
∴∠DAQ′+∠DAB=180°，即Q′，A，P三点在一条直线上，
∵∠PDQ=α，
∴∠ADQ′+∠ADP=α，
∴∠PDQ=∠PDQ′，
在△DPQ′和△DPQ中，
∵PD=PD，∠PDQ′=∠PDQ，DQ′=DQ，
∴△DAQ′≌△DCQ(SAS)，
∴PQ′=PQ，
∴AQ′+AP=PQ，
∴AP+QC=PQ；
(3)如图所示，当AM=13AC时，
将△DNC绕点D顺时针旋转90°得到△DN′A
∵AD=CD=6 2，∠ADC=90°
∴AC= AD2+CD2=12
∴AM=13AC=4，CM=AC−AM=8，
由题意可得，△DNC≌△DN′A，
∴AN′=CN，∠N′AD=∠NCD=45°，
∴∠N′AM=45°+45°=90°，
由(1)得△PDQ≌△PDQ′，
∴MN′=MN，
∴AN′+MN′=CN+MN=MC=8，
∴设MN′=MN=x，则AN′=8−x，
在Rt△AMN′中，AN′2+AM2=MN′2
∴(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴MN=5；
如图所示，当AM=23AC时，
将△DNC绕点D顺时针旋转90°得到△DN′A，
∴△DNC≌△DN′A，
∴∠ADN′=∠CDN，∠AN′D=∠CND，
∵∠CDN+∠CND=∠DCA=45°，
∴∠ADN′+∠AN′D=45°，
∴∠N′AD=135°，
∴∠N′AM=135°−∠DAC=90°，
∵AM=23AC=8，则CM=4，
同理可得，△DN′M≌△DNM，
∴设MN=MN′=x，则CN=AN′=MN−CM=x−4，
∴在Rt△AN′M中，AN′2+AM2=MN′2
∴(x−4)2+82=x2，
解得x=10，
∴MN=10，
综上所述，MN=5或10．
(1)①根据旋转的性质得到∠ADQ′=CDQ，然后证明出∠Q′DQ=90°，然后根据全等三角形的性质得到∠Q′DP=∠QDP=12∠Q′DQ=45°；
②根据旋转的性质得到AQ′=CQ，根据全等三角形的性质得到Q′P=QP，然后根据线段的和差求解即可；
(2)将△DQC绕点D旋转顺时针2α得△DQ′A，AD与CD重合，根据题意证明出△DAQ′≌△DCQ(SAS)，得到PQ′=PQ，进而求解即可；
(3)根据题意分两种情况讨论：AM=13AC和AM=23AC，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可．
此题考查了性质的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．A型车
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