2023-2024学年江苏省盐城市鹿鸣路初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市鹿鸣路初级中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在2024年春晚舞台上中国传统纹样创演秀《年锦》惊艳全网，纹样浓缩了民间美学与数学原理．下列纹样是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列调查中，最适合采用普查的是( )
A. 对旅客上飞机前的安检B. 检测某市的空气质量
C. 了解一批节能灯泡的使用寿命D. 对五一节假日期间居民出行方式的调查
3.下列函数中，y是x的反比例函数的是
( )
A. y=2xB. y=x+3C. y=1xD. y=x2
4.下列事件是必然事件的是( )
A. 四边形内角和是360∘
B. 抛掷一枚硬币，正面朝上
C. 随手翻开苏科版八下数学课本，刚好翻到第60页
D. 打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况
5.下列是最简二次根式的是( )
A. 13B. 9C. 1 5D. 2
6.菱形不具有的性质是( )
A. 对角相等B. 对边平行C. 对角线互相垂直D. 对角线相等
7.下列分式与aa+2相等的是
( )
A. a+2aB. a+2a+4C. 2a2a+2D. 2a2a+4
8.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记P=a+b+c2，那么其面积S= P(P−a)(P−b)(P−c).若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于哪两个整数之间
( )
A. 1与2B. 2与3C. 3与4D. 4与5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
10.点A(m,2)在反比例函数y=4x的图像上，则m的值为_______．
11.若分式x−1x+2的值为0，则x的值为___．
12.某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如下表．根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率的估计值是_______.(精确到0.01)
13.如图，在平行四边形ABCD中，∠D=120∘，则∠A的度数等于_______．
14.如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB、AC，并取AB、AC的中点D、E，连接DE.小明测得DE的长为10米，则B、C两地的距离为_______米．
15.已知1a−1b=3，则abb−a的值为_______．
16.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AD所在直线上，连接BE，以BE为边，作正方形BEFG(点B，E，F，G按逆时针排列).当正方形BEFG中的某一顶点落在直线AC上时(不与点A重合)，则正方形BEFG的边长为_______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：
(1) 18− 6÷ 3；
(2) 3−22．
18.解分式方程：1x−2+3=1−x2−x．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
先化简：1−xx+1÷x2−1x2+2x+1，再从−1，1，2，3中选取一个适合x的数代入求值．
20.(本小题8分)
在“用关心去教，为成长而学”的教育理念下，我校开设了鹿鸣“博·约”成长课程，课程教学处为了了解学生们对四类成长课程：A“点点油彩”、B“心晴驿站”、C“鹿鸣篮球”、D“创E编程机器人”的喜爱程度，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了调查，根据调查结果，绘制了如下统计图(不完整)：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的学生人数是________名；
(2)扇形统计图中表示A的扇形圆心角的度数是________度；
(3)把条形统计图补充完整；
(4)我校八年级共有学生约1600名，如果全部参加这次调查，估计选择“创E编程机器人”成长课的学生人数为________人．
21.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE/​/AC，CE/​/BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若BC=6，DC=4，求四边形OCED的面积．
22.(本小题8分)
某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：(续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程.)
(1)设两款车的续航里程均为a千米，则燃油车的每千米行驶费用是________元，纯电新能源车的每千米行驶费用是________元；(请用含a的代数式表示)
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元，则续航里程a的值为多少？
23.(本小题8分)
定义：我们将 a+ b与 a− b称为一对“对偶式”．
因为 a+ b a− b= a2− b2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如： 15−x+ 3−x 15−x− 3−x= 15−x2− 3−x2=15−x−3−x=12，所以 15−x+ 3−x与 15−x− 3−x互为“对偶式”．
(1) 7− 2的“对偶式”是________， 21−x− 5−x的“对偶式”是________．
(2)已知 21−x− 5−x=2，其中x≤5．
① 21−x− 5−x的“对偶式”的值是________．
②利用“对偶式”的相关知识，求方程 21−x− 5−x=2中x的值．
24.(本小题8分)
【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”.人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
(1)若a克糖水中含b克糖(a>b>0)，则该糖水的甜度为ba，若再加入m克(m>0)糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．
由此我们可以得到一个不等式________________；(请用含a、b、m的式子表示)
请用分式的相关知识验证所得不等式；
【数学思考】(2)若b>a>0，m>0，(1)中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子．
【知识迁移】(3)已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v1、v2，水流速度为v0v1>v2>v0>0，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为t1、t2，请利用(1)(2)中探究的结论，比较t1、t2的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由．
25.(本小题8分)
【教材回顾】下图是苏科版八年级上册数学教材第86页“探索三角形中位线定理”的部分内容：
(1)在上述操作中，四边形BCFD是平行四边形吗？证明你的结论；
【类比操作】怎样将一张三角形纸片剪成三部分，使这三部分能拼成一个平行四边形？
(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
(2)若▵ABC为等边三角形，AB=8，则小慧拼成的四边形周长的最小值为________，最大值为________；
【拓展操作】怎样将一张三角形纸片剪成四部分，使这四部分能拼成一个矩形？
小聪受小慧同学的启发，进行了如下操作：
①剪一张三角形纸片，记为▵ABC，分别取AB、AC的中点D、E；
②在BC上任取一点P，并在BC上作PQ=DE，连接EP，过点D、Q分别作DF⊥EP、QG⊥EP，垂足分别为点F、G．
③沿EP、DF、QG将▵ABC剪成四块，即可拼成一个矩形．
(3)若保留其中一块不动，请你借助无刻度的直尺和圆规，在图2中画出小聪拼成的矩形；
(不写作法，保留作图痕迹，画出一种即可)
【深度思考】
(4)如图3，一张等腰直角三角形纸片ABC，AB=AC=8，仿照小聪的做法将▵ABC剪拼成矩形，当BP的长为________时，拼成的矩形是正方形．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题考查中心对称图形，正确掌握中心对称图形的定义：绕一个点旋转，与原图形重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键．
【详解】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、是中心对称图形，本选项正确；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误；
故选：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．据此逐一判断即可．
【详解】A.对旅客上飞机前的安检，采用全面调查；
B. 检测某市的空气质量，采用抽样调查；
C. 了解一批节能灯泡的使用寿命，采用抽样调查；
D. 对五一节假日期间居民出行方式的调查，采用抽样调查；
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k≠0)的函数是反比例函数．进行判断即可．
【详解】解：根据反比例函数的定义，可得y=1x是反比例函数．
故选：C
4.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、四边形内角和是360∘，是必然事件，故 A符合题意；
B、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C、随手翻开苏科版八下数学课本，刚好翻到第60页，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A.因为 13= 33，所以 13不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.因为 9=3，所以 9不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.因为1 5= 55，所以1 5不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D. 2是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质．
【详解】菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质．
故选：D
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变．根据分式的基本性质解答即可．
【详解】解：∵2a2a+2=aa+1≠aa+2，
2a2a+4=aa+2，
而a+2a≠aa+2，a+2a+4≠aa+2，
∴选项D正确；其它的选项不符合题意．
故选D．
8.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，化为最简二次根式，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．首先计算三角形的面积为2 2，再估算2 2的范围可得2<2 2<3，从而可得答案．
【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3，
则P=2+3+32=4，
所以其面积S= 4×4−2×4−3×4−3= 8=2 2，
∵4<8<9，
∴ 4< 8< 9，
∴2<2 2<3，
故选：B．
9.【答案】x≥2/2≤x
【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，x−2≥0，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，x−2≥0，
解得，x≥2，
故答案为：x≥2．
10.【答案】2
【解析】【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标符合函数的解析式．将点A(m,2)代入反比例函数y=4x，即可求出m的值．
【详解】解：把A(m,2)代入y=4x得：2m=4，
解得m=2，
故答案为：2．
11.【答案】1
【解析】【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵分式x−1x+2的值为0，
∴x−1=0，
∴x=1．
故答案为：1．
本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12.【答案】0.76
【解析】【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率时，要进行大量试验，实验次数越多，用频率估计概率就越精确．
【详解】解：根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是0.76，
故答案为：0.76．
13.【答案】60∘/60度
【解析】【分析】此题考查了平行四边形内角性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形内角性质．平行四边形对角相等，邻角互补．从而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∵∠A+∠D=180∘，
∵∠D=120∘，
∴∠A=60∘；
故答案为：60∘．
14.【答案】20
【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵D、E是AB、AC的中点，
∴DE是▵ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×10=20米，
故答案为：20．
15.【答案】13
【解析】【分析】由1a−1b=3得到b−a=3ab，代入abb−a中计算可得．
【详解】解：∵1a−1b=3，
∴b−aab=3，
∴b−a=3ab，
∴abb−a=ab3ab=13，
故答案为：13．
本题考查了代数式求值，解题的关键是将1a−1b=3正确变形．
16.【答案】3 5或6 5/6 5或3 5
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．分两种情况：当点F在直线AC上时，当点G在直线上AC时，分别画出图形，根据三角形全等的判定和性质，勾股定理进行求解即可．
【详解】解：当点F在直线AC上时，过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于M，
则∠FMA=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45∘，∠BAE=90∘，
∴∠FAM=∠CAD=45∘，∠AEB+∠EBA=90∘，
∴▵AFM是等腰直角三角形，
∴AM=FM，
∵四边形BEFG是正方形，
∴EF=BE，∠BEF=90∘，
∴∠EBA+∠FEM=90∘，
∴∠EBA=∠FEM，
在▵AEB和▵MFE中，
∠BAE=∠FME∠EBA=∠FEMBE=EF,
∴▵AEB≌▵MFEAAS，
∴AE=FM，AB=EM，
∴AE=AM=FM，
∵AE+AM=EM，
∴2AE=AB=6，
∴AE=3，
在Rt△ABE中，BE2= AD2+DE2= 62+32=3 5，
∴此时正方形BEFG的边长为3 5．
当点G在直线上AC时，过点G作GM⊥AB，交BA的延长线于M，如图，
同理可得：▵AEB≌▵MBGAAS，
∴GM=AB=6，BM=AE，
∵∠CAB=∠MAG=45∘，∠M=90∘，
∴▵AGM是等腰直角三角形，
∴AM=GM，
∴AM=AB=6，
∴BM=12，
在中，BG= BM2+GM2= 122+62=6 5，
∴此时正方形BEFG的边长为6 5．
综上分析可得：正方形BEFG的边长为3 5或6 5．
故答案为：3 5或6 5．

17.【答案】(1)解： 18− 6÷ 3
=3 2− 2
=2 2；
(2)解： 3−22
=3−4 3+4
=7−4 3．

【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式．
(1)先化简二次根式与计算二次根式的除法，再计算二次根式的减法即可；
(2)运用完全平方公式进行计算即可．
18.【答案】解：分式的两边都乘以(x−2)，去分母得：1+3(x−2)=−(1−x)，
移项得：3x−x=−1−1+6，
合并同类项得：2x=4，
系数化成1得：x=2，
检验：把x=2代入x−2=2，
∴x=2不是方程的解，
∴原分式方程无解．

【解析】【分析】去分母后移项、合并同类项得出2x=4，系数化成1，检验是否是方程的解即可．
本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
19.【答案】解：原式=x+1−xx+1⋅x+12x−1x+1
=1x+1⋅x+12x−1x+1
=1x−1；
∵x+1≠0,x−1≠0，
∴x≠±1，
∴当x=2时，原式=1；当x=3时，原式=12．

【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式的分母不为0，选取一个合适的数，代入计算即可．
20.【答案】(1)解：12÷30%=40(名)，
即本次抽样测调查的学生人数是40名；
故答案为：40；
(2)扇形统计图中表示A类的扇形圆心角的度数是：360∘×640=54∘，
故答案为：5454∘；
(3)C类人数为：40−6−12−8=14(名)，
把条形统计图补充完整如下：
(4)1600×840=320(名)，
答：估计“创E编程机器人”成长课的学生人数约320名．

【解析】【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
(1)用B类人数除以30%可得答案；
(2)用360∘乘A类人数所占比例可得圆心角的度数；
(3)用(1)的结论分别减去其它三类人数可得C类人数，再把条形统计图补充完整即可；
(4)用样本估计总体即可．
21.【答案】(1)证明：∵DE//AC,CE//BD,
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC=BD,OC=12AC, OD=12BD，
⋅.OC=OD,
∴四边形OCED是菱形;
(2)∵四边形ABCD是矩形，BC=6,DC=4,
∴OA=OB=OC=OD，
∴S矩形ABCD=6×4=24，
∴S▵OCD=14S矩形ABCD=14×24=6，
∵四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的面积=2S▵OCD=2×6=12．

【解析】【分析】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键．
(1)证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形性质可得OC=OD,利用菱形的判定即可证得结论；
(2)先求出矩形面积，再根据矩形性质可得S▵OCD=14S矩形ABCD,再由菱形性质可得菱形OCED的面积=2S▵OCD可解答．
22.【答案】(1)解：燃油车每千米行驶费用为50×8a=400a(元)，
纯电新能源车每千米行驶费用为90×0.6a=54a(元)，
答：燃油车每千米行驶费用为400a元，纯电新能源车每千米行驶费用为54a元；
(2)解：由题意得：400a−54a=0.5，
解得：a=692，
经检验，a=692是分式方程的解，且符合题意，

【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式解题的关键是：(1)正确列出代数式；(2)找准等量关系，正确列出分式方程；
(1)根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
(2)根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；
23.【答案】(1)解：由题意可得， 7− 2的“对偶式”是 7+ 2， 21−x− 5−x的“对偶式”是 21−x+ 5−x．
故答案为： 7+ 2， 21−x+ 5−x
(2)解：① 21−x− 5−x的“对偶式”是 21−x+ 5−x，
而 21−x− 5−x 21−x+ 5−x= 21−x2− 5−x2=21−x−5−x=16，
∵ 21−x− 5−x=2，
∴ 21−x+ 5−x=8；
故答案为：8
②∵ 21−x− 5−x=2， 21−x+ 5−x=8，
∴ 21−x=5， 5−x=3，
解得x=−4．

【解析】【分析】本题考查新定义，平方差公式，二次根式的混合运算．
(1)根据“对偶式”的定义即可解答．
(2)①根据平方差公式求得 21−x− 5−x 21−x+ 5−x=16，根据 21−x− 5−x=2即可求解；
②由 21−x− 5−x=2， 21−x+ 5−x=8得到 21−x=5， 5−x=3，求解即可．
24.【答案】【详解】解：(1)∵a克糖水中含b克糖(a>b>0)，则该糖水的甜度为ba，
∴再加入m克(m>0)糖，此时糖水的甜度为b+ma+m，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．
∵b+ma+m−ba
=ab+amaa+m−ab+bmaa+m
=ma−baa+m，
∵a>b>0，m>0，
∴a−b>0，ma−b>0，aa+m>0，
∴ma−baa+m>0，
∴b+ma+m>ba，
∴由此我们可以得到一个不等式b+ma+m>ba，
故答案为：ba，b+ma+m>ba；
(2)(1)中的不等式不成立，正确式子为：b+ma+m∵b+ma+m−ba
=ab+amaa+m−ab+bmaa+m
=ma−baa+m，
∵b>a>0，m>0，
∴a−b<0，ma−b<0，aa+m>0，
∴ma−baa+m<0，
∴b+ma+m(3)当甲、乙两船返航时为逆流航行时，
∵v0v1>v2>v0>0，
∴v1−v0>0,v2−v0>0，
由(2)得v1+v0v2+v0v1v2，
∴v1+v0v2+v0∴v1+v0v1−v0∵t1=v1+v0v1−v0，t2=v2+v0v2−v0，
∴t1当甲、乙两船返航时为顺流航行时，
∵v0v1>v2>v0>0，
∴v1−v0>0,v2−v0>0，
由(1)得v2+v0v1+v0>v2v1，v2−v0v1−v0∴v2+v0v1+v0>v2−v0v1−v0，
∴v1−v0v1+v0>v2−v0v2+v0，
∵t1=v1−v0v1+v0，t2=v2−v0v2+v0，
∴t1>t2，乙船先返回A港，
综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，t1t2，乙船先返回A港．

【解析】【分析】(1)用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较b+ma+m与ba的大小即可；
(2)利用作差法比较b+ma+m与ba的大小即可；
(3)分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可．
本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
25.【答案】解：(1)、四边形BCFD是平行四边形，理由如下：
如图，
∵D，E分别为AB、AC的中点，
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE//BC，DE=12BC，
由旋转可得：DE=EF，∠CEF=∠AED，
∴EF=12BC，∠CEF+∠CED=∠AED+∠CED=180∘，
∴D,E,F共线，
∴DE+EF=DF=BC，
∴四边形BDFC是平行四边形；
(2)、如图，
由旋转可得：AQ′=BQ，AQ′′=CQ，P′Q′=PQ=P′′Q′′，
∴Q′Q′′=AQ′+AQ′′=BQ+CQ=BC，
∴C▱P′P′′Q′Q′′=2P′Q′+Q′Q′′=2PQ+BC，
如图，当▵ABC为边长为8的等边三角形，
∴AB=BC=AC=8，∠B=∠ACB=∠BAC=60∘，
∴拼成的平行四边形的周长为2PQ+BC=2PQ+8，
∴PQ最小，平行四边形周长最小，PQ最大，平行四边形周长最大，
∴当PQ⊥BC时，PQ最小，过A作AQ1⊥BC与DE交于P1，
∴BQ1=CQ1=12BC=4，
∴AQ1= 82−42=4 3，
∵D,E分别为AB,AC中点，
∴DE//BC，S▵ADE=S▵CDE，
∴AP1=P1Q1=2 3，
此时平行四边形周长最小值为：22 3+8=4 3+16；
当P,D重合，Q,C重合时，PQ最大，如图中的P2Q2，
此时P2Q2=CD，
同理可得：CD=4 3，
∴P2Q2=4 3，
∴此时平行四边形周长的最大值为：24 3+8=8 3+16；
(3)如图，延长FD至F′，使DF′=DF，延长GE至G′，使GE=G′E，以F′为圆心FG′为半径画弧，以G′为圆心，FF′为半径画弧，两弧交于点K，连接F′K，G′K，
∴FF′=G′K，FG′=F′K，
∴四边形F′FG′K为平行四边形，
∵∠DFE=90∘，
∴四边形F′FG′K为矩形，
以F′为圆心，FP为半径画弧，交F′K于P′，以G′为圆心，GQ为半径画弧交G′K于Q′，连接P′D，PD，Q′E，QE，AP′，AQ′，
由F′P=FP，∠P′F′D=90∘=∠PFD，DF′=DF，
∴▵DP′F′≌▵DFP，
∴∠P′DF′=∠PDF，P′D=PD，
∴P′,D,P共线，
同理可得：▵ADP′≌▵BDP，
∴四边形BPFD≌四边形AP′F′D；∠DAP′=∠DBP，
∴P′A//PQ//DE，
同理可得：四边形CQGE≌四边形AQ′G′E，AQ′//DE//PQ，
∴P′,A,Q′共线，
同理可得：▵KP′Q′≌▵GPQ，
∴矩形F′FG′K即为所求作的矩形；
(4)∵AB=AC=8，∠BAC=90∘，
∴BC=8 2，S▵ABC=12×AB×AC=32，
由中位线的性质可得：DE=12BC=4 2，
如图，当四边形F′FG′K为正方形，
∴FF′2=32，
∴FF′=4 2=FG′，
结合(3)可得：FD=F′D=2 2，
∴FE= DE2−DF2=2 6，
由(3)可得：
▵DPF≌▵QEG≌▵Q′EG′，
∴PF=GE=G′E，
∴PE=FG′=4 2，
∴PF=4 2−2 6，
∴PD= PF2+DF2= 64−32 3=4 3−4，
取DE的中点M，连接FM，
∴FM=DM=ME=2 2，而FD=2 2，
∴▵DFM为等边三角形，
∴∠MDF=60∘，
∴∠DEF=30∘，
∵DE=PE=4 2，
∴∠EDP=∠EPD=75∘，
过P作PT⊥BD于T，而AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠TPB=45∘，
∴BT=PT，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B=45∘，
∴∠BDP=180∘−45∘−75∘=60∘，
∴∠DPT=30∘，
∴DT=12PD=124 3−4=2 3−2，
∴BT=BD−DT=4−2 3−2=6−2 3，
∴BP= 2BT= 26−2 3=6 2−2 6．

【解析】【分析】(1)、证明AD=BD，AE=CE，可得DE//BC，DE=12BC，证明EF=12BC，∠CEF+∠CED=∠AED+∠CED=180∘，可得D,E,F共线，可得DE+EF=DF=BC，从而可得结论；
(2)先证明C▱P′P′′Q′Q′′=2P′Q′+Q′Q′′=2PQ+BC，可得拼成的平行四边形的周长为2PQ+BC=2PQ+8，PQ最小，平行四边形周长最小，PQ最大，平行四边形周长最大，再进一步求解可得答案；
(3)如图，延长FD至F′，使DF′=DF，延长GE至G′，使GE=G′E，以F′为圆心FG′为半径画弧，以G′为圆心，FF′为半径画弧，两弧交于点K，连接F′K，G′K，可得四边形F′FG′K为所求作的矩形；
(4)求解BC=8 2，S△ABC=32，可得：DE=12BC=4 2，如图，当四边形F′FG′K为正方形，可得FF′=4 2=FG′，求解FE=2 6，证明PE=FG′=4 2，可得PF=4 2−2 6，求解PD= PF2+DF2=4 3−4，取DE的中点M，连接FM，证明∠MDF=60∘，可得∠EDP=∠EPD=75∘，过P作PT⊥BD于T，证明∠DPT=30∘，再进一步可得答案．
本题考查的是勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，全等三角形的综合问题，矩形的判定与性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，本题难度很大，计算量大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
投篮次数
10
50
100
150
200
500
1000
2000
命中次数
9
41
76
114
151
381
762
1522
命中率
0.9
0.820
0.760
0.760
0.755
0.762
0.762
0.761
燃油车
新能源车
油箱容积：50升
电池电量：90千瓦时
油价：8元/升
电价：0.6元/千瓦时
怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？
(1)剪一张三角形纸片，记为▵ABC；
(2)分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；
(3)沿DE将▵ABC剪成两部分，并将▵ADE绕点E按顺时针方向旋转180∘到▵CFE的位置(如图9−31)．
小慧同学做了如下操作：
①剪一张三角形纸片，记为▵ABC；
②分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；
③在DE、BC上分别任取一点P、Q，连接PQ；
④将四边形BDPQ和四边形CEPQ剪下，分别绕点D、
点E旋转180∘至四边形ADP′Q′和四边形AEP′′Q′′的位置．
如图1，四边形P′Q′Q′′P′′即是平行四边形．