2024年江西省吉安市青原区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中，最大的数是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∵，
∴下列各数中，最大的数是．
故选：B．
2. 2024年我省政府工作报告中，梳理了2023年关于民生福祉的工作业绩，其中在教育方面我省义务教育学位新增27.4万个，将27.4万用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】27.4万用科学记数法表示应为．
故选：C．
3. 如图所示，由三个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了几何体三视图，掌握俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形是解题的关键．注意：能看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线．
直接从上面观察几何体得出的平面图形即可解答．
【详解】解：俯视图如图所示．
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、积的乘方、单项式除法、单项式乘多项式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键.
根据合并同类项、积的乘方、单项式除法、单项式乘多项式逐项判断即可.
【详解】解：A.和不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意.
故选D.
5. 如图，，平分，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据平行线的性质可得，由平分，得，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】，，
，
平分，
，
，
，
故选：A．
6. 如图，矩形中，，，点E在矩形的边上，则当的一个内角度数为时，符合条件的点E的个数共有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查矩形的性质及勾股定理解三角形，圆周角定理，垂径定理及解三角形，根据题意，分三种情况分析，即可求解，根据题意作出相应图形是解题关键．
【详解】解：如图所示，当时，如图所示：
，
∴，
设，则，
∴即，
解得：，
∴对应的存在点满足条件；
当点E在上时，如图所示：
当时，则，
∴，
设，则，
∴即，
解得：，符合题意；
同理对应的点也符合题意；
当时，点E在以O为圆心，长为半径的圆与的交点上，如图所示：
过点O作于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点O作，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点E符合题意；
∴在线段上存在一个点和，满足条件，
综上可得：符合条件的点E的个数共有6个，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 的绝对值是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值是解题的关键．
根据的绝对值为，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，的绝对值为，
故答案为：2．
8. 已知方程的两个根分别为，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握根与系数的关系公式是解本题的关键．
根据一元二次方程根和系数的关系，得出两根的积即可．
【详解】方程的两个根分别为，，
，
故答案：．
9. 如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了角的和差，将物理情景转化为数学问题成为解题的关键．
如图：由题意可得，然后根据平角的定义列式计算即可．
【详解】解：∵,
∴，即入射光线与反射光线的夹角的度数为．
故答案为：．
10. 古印度数学家所著的《算法本原》一本中记载了一个有趣的猴群问题：一群猴子在树林中玩耍，总数的八分之一的平方只猴子在欢乐地蹦跳；还有12只猴子在啼叫，设这群猴子共有x只，根据题意，可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，理解题意找到等量关系成为解题的关键．
利用猴子总数为欢乐地蹦跳和在啼叫的猴子数之和，据此得出关于x的方程即可．
【详解】解：设这群猴子的总数是x只，则在欢乐地蹦跳是只，
由题意可得：，即．
故答案为：．
11. 如图，中，，D为的中点，延长至E，使，若，则的度数为______．
【答案】##21度
【解析】
【分析】题目主要考查直角三角形斜边中线的性质，等边对等角及三角形外角的性质，连接，根据题意得出，再由等边对等角确定，，利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
12. 如图，矩形中，，，E为的中点，连接，点P在矩形的边上，且在的上方，则当是以为斜边的直角三角形时，的长为____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】根据矩形的性质，余角的性质，证明，得出，设，则，得出，求出，，最后求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
即或，
当时，根据勾股定理得：，
当时，根据勾股定理得：，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，余角的性质，解题的关键是证明．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）如图，，平分，交于点，求证．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了绝对值，角平分线和全等三角形的判定与性质，做题的关键是掌握角平分线和全等三角形的判定定理．
利用负数的绝对值是它的相反数，负数的三次幂是负数，最后进行计算即可．
（2）根据平分，可得，由于，，可得，最后可得 ．
【详解】（1）由于负数的绝对值是它的相反数，故，负数的三次幂是负数，故．
故原式，
，
．
（2）证明：平分，
，
，，
，
．
14. 如图正六边形．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求作图．
（1）在图1中，以为直角边，作一个直角三角形；
（2）在图2中，以为边作一个菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】题目主要考查正多边形的性及直角三角形，菱形的性质，熟练掌握基本的知识点进行作图是解题关键
（1）连接，根据题意，得出，再由各角之间的关系即可证明；
（2）连接，根据正六边形的性质得出，然后利用菱形的判定即可证明
【小问1详解】
解：如图所示，为直角三角形，
∵正六边形，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
【小问2详解】
如图所示，四边形为菱形，
∵正六边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
15. 计算：，下面是某同学的解答过程：
解：原式…………………第一步
…………………第二步
（1）第一步的依据是_____，运用的方法是_____，第二步的依据是_____；
①分式的基本性质；②分式的加减法则；③分式的通分；④分式的约分法则．
（2）计算：．
【答案】（1）①；③；②
（2）
【解析】
【分析】题目主要考查分式加减运算，先通分，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据分式加减法的运算法则即可得出结果；
（2）先通分，然后计算加减法即可．
【小问1详解】
解：第一步依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分，第二步的依据是分式的加减法则；
故答案为：①；③；②；
【小问2详解】
．
16. 如图，点A反比例函数的图象上，点C在x轴上，轴，垂足为B，，，，交反比例函数的图象于点D．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点D的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，包括确定反比例函数及一次函数解析式，勾股定理解三角形，函数交点问题等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意得出，设，根据勾股定理得出，确定，代入即可确定反比例函数解析式；
（2）利用待定系数法确定一次函数解析式，然后联立两个函数求交点即可．
【小问1详解】
解：∵轴，，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
∴；
【小问2详解】
设直线的解析式为，将点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立两个函数，
解得：或，
∴点D的坐标为 ．
17. 某地爱心驿站招募志愿者3人，共有20人报名，小李和小王两男同学报了名．由于报名者都符合条件，故采取抽签的方式决定，所招募的3个志愿者中要求两女一男，于是共做20个签，其中两个写有的“女”的签、一个写有“男”的签，17个未写任何字的空签，每个签从外观上无任何差别．
（1）若小李先抽，正好抽到的是“男”签概率为______；
（2）若小李和小王两人分别在第17和18个抽，此时只有四个签，其中只有一个“女”签和一个“男”签，另两个为空签，求小李或小王抽到“男”签的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式和运用画树状图法或列表法求概率：
（1）根据共有20个签，只有1个男签，利用概率公式计算即可得到答案；
（2）画树状图共有12种等可能的结果数，抽到男签的有2种结果，根据概率公式计算即可得到答案
【小问1详解】
解：∵共有20个签，只有1个男签，
∴小李先抽，正好抽到的是“男”签概率为，
故答案为：
【小问2详解】
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，而小李或小王抽到“男”签的共有6种，
所以，小李或小王抽到“男”签的概率为：
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元．
（1）求篮球和排球的单价；
（2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最少剩下43个，求排球的最大损耗率．
【答案】（1）篮球单价是56元，排球的单价是48元
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找出等量关系列二元一次方程组和找出各数量关系列出不等式是解题的关键；
（1）设篮球单价是x元，排球的单价是y元，根据“购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元”，即可得出关于x、y的二元一次方程方程组，解方程即可；
（2）设排球的损耗率是m，则篮球的损耗率的，根据“篮球和排球最少剩下43个”，列一元一次不等式，求出最大值即可．
【小问1详解】
设篮球单价是x元，排球的单价是y元，根据题意，得
解得：，
答：篮球单价是56元，排球的单价是48元．
【小问2详解】
解：设排球的损耗率是m，则篮球的损耗率的，根据题意得：

解得：，
当损耗率损耗率最大，
排球的最大损耗率为
19. 如图1是某地公园里的一座纪念碑，将其抽象为图2，已知，，，，，（结果精确到小数点后一位）

（1）求证：；
（2）求纪念碑的高度．
（参考数据：，，，，，．）
【答案】（1）见解析 （2）厘米
【解析】
【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，矩形的判定和性质及解三角形的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）过点C作，然后利用平行线的判定和性质即可证明；
（2）过点A作的延长线于点L，过点E作的延长线于点P，过点E作于点O，得出四边形为矩形，再由各角之间的关系确定，，然后利用解三角形求解即可．
【小问1详解】
证明：过点C作，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
过点A作的延长线于点L，过点E作的延长线于点P，过点E作于点O，如图所示：

∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米．
20. 如图，在中，，以为直径的与线段交于点，作，垂足为，的延长线与的延长线交于点F．
（1）求证：直线是的切线：
（2）若，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质、切线的判定，难度适中，熟练掌握切线的判定是解答的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质可证得，根据平行线的判定与性质可证得，然后根据切线的判定即可证得结论；
（2）根据圆周角定理得出，再由等腰三角形的性质得出，利用勾股定理确定，再由等面积法即可得出结果．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某校为了有效提升学生综合素质，同时减轻学生课业负担，决定在全校开展丰富多彩的学生课外活动，经研究确定课外活动类型为体育、社会实践、文化艺术、科技创新和读书共五类项目，并在组织活动前进行了初步调查，调查要求在以上五类项目中只能选一项最感兴趣的一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的统计图，请解答下列问题：

（1）求m的值；
（2）补全条形统计图；
（3）求“社会实践”所对扇形圆心角的度数；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢读书活动的学生数，根据统计图中的数据，请你针对课外活动提出一条合理化建议．
【答案】（1）150 （2）见解析
（3）
（4）360人；建议见解析
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体．
（1）用最喜欢读书的人数除以它占的百分比得到m的值；
（2）先计算出“社会实践”的人数，然后补全条形统计图；
（3）用“社会实践”人数所占的百分比乘以即可得出所对应扇形的圆心角的度数；
（4）利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢读书活动的学生数所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：根据题意：．
小问2详解】
“社会实践”的人数为：．
补全图形如下：
【小问3详解】
所对应扇形的圆心角的度数为：．
【小问4详解】
估计该校最喜欢读书活动的学生数：人．
建议：学校鼓励学生多参加体育活动，强身健体．
22. 课本再现
在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O，求证：，．
知识应用
（2）在中，点P为的中点．延长到D，使得，延长AC到E，使得，连接．如图2，连接，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等：
（1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明，；
（2）过点B作交于H，连接，则，先证明是等边三角形，得到，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则．
【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2），证明如下：
如图所示，过点B作交于H，连接，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分，
∵点P为的中点，
∴A、P、H三点共线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
问题提出
如图1，在中，，，点D在上，，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边作正方形．设点P运动的线路长为x，正方形的面积为y．
初步感悟
（1）当点P在上运动时，若，则
①______，y关于x的函数关系式为______；
②连接，则长为______．
（2）当点P在上运动时，求y关于x的函数解析式．
延伸探究
（3）如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题：
①当点P的运动到使时，图像上对应点的坐标为______；
②当将正方形分成面积相等的两部分时，与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时的长，以及自变量和函数的值．
【答案】（1）①4，，②；（2）；（3）①，②,自变量为4，函数值为10．
【解析】
【分析】（1）①先画出图形，然后根据已知条件列出函数解析式，再求出即可解答；②如图：延长交于G，先证明四边形是矩形，进而求得，，然后运用勾股定理即可解答；
（2）先画出图形，然后根据勾股定理和正方形的面积即可列出函数关系式；
（3）①先说明可得，进而确定横坐标x的取值；再运用勾股定理求得，即确定横坐标，从而完成解答；②过正方形的中心，如图：连接，其于交于点O，即O为的中点，如图：构造正方形，即，再证明、,进而确定自变量和函数值；如图：过G作，通过正切函数和等腰三角形可得、，设，则，再根据列方程求得x，然后再运用勾股定理即可解答．
【详解】解：（1）①如图：当点P在上运动时，，正方形的面积为，即y关于x的函数关系式为，
∵，
∴，
∴，即，
当时，
故答案为4，；
②如图：延长交于G，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）如图：当点P在上运动时，，，
∴，
∵正方形的面积为，
∴．
（3）①如图：∵，
∴，
∵,
∴,
∴，
∴,即，
∴图像上对应点的坐标为．
故答案为：．
②∵将正方形分成面积相等的两部分，
∴过正方形的中心，
如图：连接，其与交于点O，即O为的中点，再构造正方形，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，,
∴，即自变量为4，函数值为10，，
如图：过G作，
∴，即，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴
∴，自变量为4，函数值为10．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、求函数解析式、勾股定理、正切函数等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．