江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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用时：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为．
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为．
故选：A.
2. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点分布得基本性质即可求解.
【详解】由题意可知，当时，即，解得，
又因为随机变量服从两点分布，且，
所以.
故选：D.
3. 6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取3件检查，则抽到2件正品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合组合数的计算公式，以及古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，从6件产品任取3件，共有种不同的取法；
其中抽到的3件产品中，恰有2件正品，有种不同的取法，
所以其概率为.
故选：B.
4. 设，且，若能被3整除，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，再由二项式的展开式代入计算，即可得到结果.
【详解】，
因为都能被整除，
所以要使能被3整除，则需要也能被3整除，
且，，所以.
故选：C
5. 若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导和讨论，当时求出极值点，根据极值点大于零求解可得.
【详解】
（1）时，，在定义域上单调递增，不满足题意；
（2）时，令得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以，当时，取得极小值，
由题知，解得.
综上，实数的取值范围为.
故选：C
6. 已知平行六面体中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论.
【详解】因为
所以，
.
故选：B.
7. 现有5名男生（含1名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）
A. 216B. 432C. 864D. 1728
【答案】B
【解析】
【分析】先排班长左侧再排班长右侧位置即可求得排法总数.
【详解】班长站在中间，有1个方法，先选2男生1女生排在班长左侧，有个方法，
将余下的3人排在班长右侧，有个方法，
则符合要求的方法总数为.
故选：B
8. 设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用和事件的概率公式求出，然后利用和求解即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以，
所以，
所以
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，为正整数，且，则下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据组合数、排列数的性质，结合选项依次判断即可.
【详解】对于A：，
所以，故A正确；
对于B：，
所以，
则，故B错误；
对于C：，
所以，故C错误；
对于D：，所以，故D正确.
故选：AD.
10. 甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件A与事件B是互斥事件B. 事件A与事件C是独立事件
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件的定义及独立事件定义可判断选项A，B；根据古典概型的计算公式及条件概率的计算公式即可判断选项C，D.
【详解】因为事件“从甲盒中取出的是红球”与事件“从甲盒中取出的是白球”不可能同时发生，
所以事件与事件B是互斥事件，选项A正确，
因为甲盒中有3个红球，2个白球，所以，，
若甲中拿出的是红球，则乙中有3个红球，3个白球，
若甲中拿出的是白球，则乙中有2个红球，4个白球，
所以，，，故选项D正确，
因为，所以事件A与事件C不是独立事件，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
故选：ACD.
11. 棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 面
C. 平面平面
D. 当运动到点时，三棱锥的外接球的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用锥体的体积公式可判断A；以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过空间向量法可判断B,C；运动到点，求出球心坐标，进而求得三棱锥的外接球的半径，即可求解D.
【详解】
对于A，因为平面,平面∥平面，
所以到平面的距离等于，
所以为定值，故A正确；
对于B，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，由题意可知，，
则 ，
设平面法向量为，
则，可取，
所以，且面，
所以面，故B正确；
对于C，由题，
所以，,，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
所以，
即，，
令，则，，
所以，
所以平面与平面不垂直，故C错误；
对于D，当运动到点时，三棱锥即为三棱锥，
取线段的中点，连接，
由题意可知，根据几何体特征补成长方体，为该长方体的体对角线，
则外接球的球心在线段的中点，
,
所以，
所以外接球的体积为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛掷一颗质地均匀的骰子，设表示掷出的点数，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】先求随机变量X的分布列，再求随机变量X的均值，再由方差公式求X方差.
【详解】由已知随机变量X的取值有1,2,3,4,5,6，
，，，
，，，
∴随机变量X的分布列为：
∴随机变量X的期望，
∴
.
故答案为：.
13. 在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，则当点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值，利用锐角三角函数求出此时的值，即可得解.
【详解】圆圆心为，半径，
圆圆心为，半径，
因为是圆上的一点，，是圆上的两点，
可知点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值，
此时点在线段与圆的交点，
又，所以，则，
所以，所以的最大值为．
故答案为：．
14. 在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围.
【详解】记在底面内的投影为，则底面，
又、平面，故、，
则，，
又，则，
所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，
建立如下图所示的空间直角坐标系：
设，，，
所以，
所以，
设直线与直线的所成角为，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量的方法证明线线垂直即可；
（2）由（1）求出平面的法向量，然后利用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值即可.
【小问1详解】
以点原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
因为，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
设平面的一个法向量为，
由，即，取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16. 已知.
（1）当时，记的展开式中的系数为，求的值
（2）当的展开式中含项的系数为12，求展开式中含项的系数最小时的值.
【答案】（1）46 （2）
【解析】
【分析】（1）应用赋值法求得所有系数之和，再求出可得；
（2）由二项式定理得，然后求出项的系数，结合二次函数知识得最小值及的值.
【小问1详解】
由题意.
，
，
所以；
【小问2详解】
由已知，，
所以的系数为
，
易知时，取得最小值.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且.
（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证；
（2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得.
【小问1详解】
连结，交于点，连结，
因，
所以，又，
所以，所以，
因为面，面，
所以平面.
【小问2详解】
以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可取，
平面的法向量可取，
所以，得，
因为，
与同向的单位向量，
所以点到直线的距离为.
18. 某小组为调查高二学生在寒假名著阅读情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长（单位：小时）的数据：
男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29；
女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49.
（1）在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能手”，时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对一指导.求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率；
（2）时长超过30小时的为“阅读爱好者”，用频率估计概率.现从高二学生中随机抽取两位男生、两位女生交流心得，其中“阅读爱好者”有人，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】（1）由数据分析并进行标记，将问题转化为“从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，求甲被A指导的概率”，利用古典概率公式计算即得；
（2）记随机抽取的两名男生和两名女生中“阅读爱好者”分别有人，分析判断可得，~，~，而，根据的所有可能取值0，1，2，3，4.分别求其概率，列出分布列，利用二项分布均值公式计算即得.
【小问1详解】
由数据分析知“阅读能手”有4人，“阅读后进者”有3人，我们把阅读时长为51、49、46、46小时的同学分别记为A、B、C、D；
把阅读时长为10、11、12小时的同学分别记为甲、乙、丙.
那么问题即为：从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，求甲被A指导的概率.
从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲乙丙，则共有种情况.
记“甲被A指导”为事件E，若甲被A指导，那么只需从BCD中随机选2人指导乙丙，
则共有种情况.
则.即阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率为.
【小问2详解】
由题意可知，随机抽取一名男生为“阅读爱好者”的概率为，随机抽取一名女生为“阅读爱好者”的概率为.
记随机抽取的两名男生和两名女生中“阅读爱好者”分别有人，
则~，~，.于是有

的所有可能取值为0，1，2，3，4.从而
；
=；
=；
=；

的分布列为：
.
19. 已知数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，，取值见解析.
【解析】
【分析】（1）利用的关系求得递推公式，变形可得为常数列，然后可得通项；
（2）由，根据裂项相消法可得；
（3）根据等差中项列式整理可得，由和都为正整数可解.
【小问1详解】
由①，当时，，
当时，②，
①-②得，即，
所以，所以，
当时，，上式也成立，
所以数列为常数列，，
所以.
【小问2详解】
由，，
则，
所以的前项和为
.
【小问3详解】
由（1）知.
要使成等差数列，则，
即，整理得，
因为，为正整数，所以只能取2，3，5.
当时，；
当时，；
当时，
故存在正整数，使得成等差数列.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于将分裂为，然后根据裂项相消法即可得解.X
1
2
3
4
5
6
P
0
1
2
3
4