江西省南昌市2023-2024学年高二上学期期末复习数学模拟试题

这是一份江西省南昌市2023-2024学年高二上学期期末复习数学模拟试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第二象限内的一点，且（为坐标原点），则（ ）
A．2B．C．D．
3．双曲线左右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，弦的中垂线交轴于，若，则该双曲线渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．在空间直角坐标系中，点在平面上的投影的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
6．甲同学计划从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．81种B．64种C．12种D．7种
7．有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．设随机变量，且，则（ ）
A．0.75B．0.5C．0.3D．0.25
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．点为抛物线上一点，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且，则（ ）
A．B．
C．直线AF的斜率为D．的面积为16
10．在平行六面体中，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）
A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种
B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种
C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种
D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种
12．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数人的关系，该同学记录了天的数据：
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则（ ）
A．样本中心点为
B．
C．时，残差为
D．若去掉样本点，则样本的相关系数增大
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆，过点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若点O在以AB为直径的圆外，则直线l的斜率k的取值范围为 ．
14．如图，在长方体中，求 .
15．直线：与圆：相交于，两点，则的面积为 .
16．预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程
按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是 万元．（结果用e表示）
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.
(1)求直线和直线的交点坐标；
(2)已知不过原点的直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.
18．已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．
19．圆：与轴的负半轴和正半轴分别交于两点，是圆与轴垂直非直径的弦，直线与直线交于点，记动点的轨迹为．
(1)求轨迹的方程；
(2)在平面直角坐标系中，倾斜角确定的直线称为定向直线．是否存在不过点的定向直线，当直线与轨迹交于时，；若存在，求直线的一个方向向量；若不存在，说明理由．
20．（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？
（3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？
（4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
21．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．

(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法证明：．
22．某地区共有200个村庄，根据扶贫政策的标准，划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的（国内生产总值）（单位：万元）情况，利用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，并绘成如图所示的茎叶图.
(1)（i）分别求样本中非贫困村与贫困村的的平均值；
（ii）利用样本平均值来估算该地区2018年度的的总值.
(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研，设表示被调研的村中低于（i）中贫困村平均值的村的个数，求的分布列及数学期望.
1
2
3
4
数学参考答案
1．A
【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.
【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或．
所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，
故选：A
2．A
【分析】由椭圆的方程求出，由可知，再由椭圆的定义及勾股定理可得，再求出的值.
【详解】由椭圆的方程可知：，
又因为，所以在中，，
设，则，因为是椭圆在第二象限内的一点，
所以，即，即，
因为，所以，则，
整理可得：，解得：或（舍去），
即，所以.
故选：A.
3．C
【分析】设直线的方程，与双曲线联立，求AB的中垂线方程，得到P点坐标，利用得到离心率，进而求得渐近线方程.
【详解】设直线的方程为，，，
联立，
判别式，
韦达定理，，
所以中点纵坐标，横坐标，
则中点坐标为，
所以AB的中垂线方程为，
令得，，即P的坐标为，
所以，
由弦长公式可知，，
将韦达定理代入得，，
因为，所以，整理得，，
所以，即，所以渐近线方程为.
故选：C.
4．D
【分析】根据点在平面上的投影特征求解即可.
【详解】点在平面上的投影的坐标为.
故选：D.
5．B
【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可.
【详解】因为分别为的中点，所以.
因为为的重心，所以，
所以.
故选：B.
6．C
【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可.
【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.
故选：C
7．C
【分析】计算出从中一次性取出2个球，共有的情况数以及2个球颜色不同的情况数，从而求出概率.
【详解】从中一次性取出2个球，共有的情况数为种，
其中事件“2个球颜色不同”发生的情况有种，
故事件“2个球颜色不同”发生的概率为.
故选：C
8．D
【分析】利用对立事件的意义，结合正态分布列式计算即得.
【详解】随机变量，显然，
而，所以.
故选：D
9．ABD
【分析】首先求抛物线方程，再根据焦半径公式求点的坐标，即可判断选项.
【详解】由题意可知，，则，则，焦点，故AB正确；
设点，则，则，
，则，
即或，所以直线的斜率为0，故C错误；
的面积为，故D正确.
故选：ABD
10．ABC
【分析】画出图形，然后根据图形关系分解向量即可.
【详解】如图所示：
由题意得，易得，.
所以，.
故选：ABC.
11．ABC
【分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，
对于A中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有种排法，所以A正确；
对于B中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有种排法，所以B正确；
对于C中，全体排成一排，男生互不相邻，则有种排法，所以C正确；
对于D中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾
可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有种排法，
此时乙有种排法，共有种排法；
（2）当甲站在排尾时，甲只有一种排法，此时乙有种排法，
共有种排法，综上可得，共有种不同的排法，所以D错误.
故选：ABC.
12．ABC
【分析】先求得样本中心点，然后求得，再根据残差、相关系数等知识确定正确答案.
【详解】，
所以样本中心点为，则，所以AB选项正确，
则，当时，，
对应残差为，所以C选项正确.
由于，，则，
所以若去掉样本点，则样本的相关系数不变.D选项错误.
故选：ABC
13．
【分析】联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由坐标原点在以AB为直径的圆外，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求的范围．
【详解】由题意，直线l斜率存在，设方程为，，
联立方程，得，
由，得，，．
坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，即为，即，
∴
，
解得，又∵，
可得，即．
故答案为：．
14．
【分析】根据长方体的性质结合图象以及空间向量加法运算的运算律，即可得出答案.
【详解】根据长方体的性质结合图象可知，
.
故答案为：.
15．
【分析】借助圆方程得到圆心坐标与半径，计算出圆心到直线的距离后，结合弦长公式可得弦长，即可计算面积.
【详解】
由，可得圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则弦长，
故.
故答案为：.
16．
【分析】令，由样本中心在回归方程上求得，再将代入求值即可.
【详解】由题设，令，则，，
所以，则，
所以代入回归方程，则，可得万元.
故答案为：
17．【详解】（1）设直线和直线的斜率分别为，由题意知，
∵，∴．
又因为直线在轴上的截距为，所以直线过点.
所以直线的方程为，即:.
联立，得，即交点为.
（2）因直线不过原点，设其在轴上的截距为，方程为，
因为过，所以，解得，
所以直线的方程.
18．【详解】（1）双曲线的右焦点为，虚轴长为，
，解得，
双曲线的方程为；
（2）线段的中点为，
,
点都在双曲线上，
，即，
．
直线的方程为，即．
联立，消去得，该方程有解，
故直线的方程为.
19．【详解】（1）由题意得，
设，则
直线的方程为，直线的方程为
所以轨迹的方程为
（2）当定向直线的倾斜角为90°时，设，
由得
时，
所以，矛盾.
当定向直线的倾斜角不为90°时，假设存在定向直线
由得，
时，
设，则
由得即，
故，
，化简得，
所以或，
时，经验证，满足条件；当时，过点，不合题意
综上所述，当即直线的一个方向向量为时，
20．【详解】（1）两个女生相邻捆绑处理，有种；
（2）将8个体育生名额排成一列，在形成的中间7个空隙中插入4块隔板，
所以不同的放法种数为；
（3）第1步，先排4个朗诵节目共种；
第2步，排说唱节目，不相邻则用插空法，且保证不放到开头，
从剩下4个空中选3个插空共有种，所以一共有=576种排法；
（4）先分类：
①若外科女医生必选，则一组内科4男选1，外科4男选1；
另一组内科3女中选1女，外科3男选2，共有种；
②若外科女医生不选，则一组内科3女选1，外科4男选2；
另一组内科2女选1，外科2男选2 ，共有种；
由于分赴甲乙两地，所以共有种．
21．【详解】（1）连接，则
（2），
所以
，
所以.

22．【详解】（1）（i）非贫困村的GDP的平均值为
（万元）.
贫困村的GDP的平均值为
（万元）.
（ii）∵贫困村与非贫困村的抽样比为2∶3，