2023-2024学年江西省南昌市部分校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌市部分校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在▱ABCD中，∠C=100°，则∠A的度数为( )
A. 100°B. 160°C. 80°D. 60°
2.下列各式运算正确的是( )
A. 3−2 3=− 3B. 2 5×3 5=6 5
C. (−4)×(−9)= −4× −9D. 8÷ 4= 4
3.在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是( )
A. AC=BDB. AB=ACC. ∠A=∠BD. AC⊥BD
4.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为( )
A. 5
B. 25
C. 27
D. 5 2
5.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，CD是边AB上的中线，则CD的长为( )
A. 5
B. 52
C. 6
D. 7
6.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点P，Q分别在AB，CD上，PQ/​/AD，线段EF在PQ上，且EF=2，连接AE，CF，则AE+CF的最小长度为( )
A. 8B. 10C. 12D. 16
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.写出一个正整数n，使 2n是最简二次根式，则n可以是______．
8.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AD=8，AC+BD=20，则△BOC的周长为______．
9.在平面直角坐标系中，点A(8,15)到原点的距离为______．
10.如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=8，AF⊥BC，垂足为F，则AF的长为______．
11.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，若AB=3，CE平分∠ACD，则BC的长为______．
12.如图1，有一张三角形纸片，记为△ABC，其中AB=AC=5，BC=6，D为边BC的中点.将三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，如图2所示.若将这两个三角形拼成一个四边形，则该四边形的较长的对角线长为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算： 18−4 12− 24÷ 3．
(2)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，求AC的长．
14.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形．
15.(本小题6分)
《千里江山图》被称为中国十大传世名画之一.如图，这是某画家临摹的部分画，已知画的形状是一个矩形，长为80 2cm宽为30 3cmn.现要装裱该画，装裱后的画的长两端分别增加 12cm，宽两端分别增加 8cm，求装裱后的画的面积．
16.(本小题6分)
如图，某学校有一块四边形草坪ABCD，∠ABC=90°，AB：BC：CD：AD=2：2：3：1，AB=4m，为方便师生行走，现要修一条小路AC．
(1)求小路AC的长(结果保留根号)．
(2)求∠BAD的度数．
17.(本小题6分)
如图，四边形ABCD为正方形，E为边AD的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，作边AB的中点F．
(2)在图2中，作线段AE的中点G．
18.(本小题8分)
如图，过道上有一梯子AB斜靠在墙上，∠ABO=45°墙与地面垂直，由于梯子影响了行人的通行，工人师傅将梯子挪动到A′B′的位置，且测得∠A′B′O=60°若梯子的长为6m，求BB′的长(结果保留根号)．
19.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，AF，CE，CF．
(1)求证：△AOE≌△COF．
(2)当OA=OE时，四边形AECF是什么特殊四边形？请说明理由．
20.(本小题8分)
定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子．
(1)请判断−5 10+3 11和10 10+6 11是否为因子二次根式.如果是，求出因子；如果不是，请说明理由．
(2)若 7−1与n− 7是因子二次根式，3为因子，求n的值．
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AE为中线，F为AE的中点，过点A作AD//BC交BF的延长线于点D，连接CD．
(1)求证：四边形AECD为菱形．
(2)给△ABC再添加一个条件，使得四边形AECD为正方形.请写出添加的条件并说明理由．
22.(本小题9分)
【课本再现】
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
【定理证明】
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.求证：DE/​/BC且DE=12BC．
以下是小贤的证明思路：如图2，延长DE到点F，使EF=DE，连接AF，CF，CD．
(1)请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤．
【知识应用】
(2)如图3，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边中点.求证：四边形EFGH是平行四边形．
(3)如图4，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点H，E，F分别为边AB，CD的中点，连接EF，分别交BD，AC于点M，N，且HM=HN.求证：BD=AC．
23.(本小题12分)
如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一动点(不与点B，D重合)，连接CE，过点E作EF⊥CE交射线AD于点F，连接CF．
(1)发现问题
如图1，当点F落在边AD上时，EC和EF的数量关系是______．
(2)探究问题
如图2，当点F落在边AD的延长线上时，(1)中的结论是否成立？请判断并说明理由．
(3)拓展应用
当点E在射线BD上运动，且AB=4，DE= 2时，求△CEF的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=100°；
故选：A．
由平行四边形的对角相等即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、 3−2 3=− 3，正确，本选项符合题意；
B、2 5×3 5=6×5=30，本选项错误，不符合题意；
C， (−4)×(−9)= 4×9= 4× 9，本选项错误，不符合题意；
D、 8÷ 4= 2，本选项错误，不符合题意．
故选：A．
根据二次根式的性质，混合运算法则一一判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
3.【答案】D
【解析】解：∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：D．
根据菱形的判定解答即可．
此题考查菱形的判定，关键是根据对角线垂直的平行四边形是菱形解答．
4.【答案】B
【解析】解：由勾股定理可知：SA=9+16=25，
故选：B．
由勾股定理即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
5.【答案】B
【解析】解：∵AC2+BC2=12+22+22+42=32+42=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵CD是边AB上的中线，
∴CD=12AB=2.5．
故选：B．
由AC2+BC2=12+22+22+42=32+42=AB2，得∠ACB=90°，由CD是边AB上的中线，即可得CD=12AB=2.5．
本题主要考查了勾股定理，解题关键是在网格图中找准直角三角形．
6.【答案】B
【解析】解：过E作EG/​/CF交BC于G，连接AG，如图：
∵PQ/​/BC，EG/​/CF，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴CG=EF=2，EG=CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=10，
∴BG=BC−CG=10−2=8，
∴AG= AB2+BG2= 36+64=10，
∵EG=CF，
∴AE+CF=AE+EG，
∴AE+EG最小时，AE+CF最小，此时E在线段AG上，AE+CF最小值为AG的长，如图：
∴AE+CF的最小值为10；
故选：B．
过E作EG/​/CF交BC于G，连接AG，可知四边形EFCG是平行四边形，故CG=EF=2，EG=CF，根据勾股定理求出AG=10，而AE+CF=AE+EG，知AE+EG最小时，AE+CF最小，此时E在线段AG上，AE+CF最小值为AG的长，即可得AE+CF的最小值为10．
本题考查矩形的性质，涉及平行四边形判定与性质，最短路径等问题，解题的关键是作辅助线，把CF的长转化为EG的长．
7.【答案】1(答案不唯一)
【解析】解：当n=1时， 2n= 2，
2是最简二次根式，
故答案为：1(答案不唯一)．
根据最简二次根式的概念解答即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
8.【答案】18
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8，AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，
∵AC+BD=20，
∴OC+BO=10，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=10+8=18，
故答案为：18．
根据平行四边形对角线平分可得OC+BO=10，即可求出结果．
本题考查平行四边形的性质及三角形周长，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
9.【答案】17
【解析】解：点A(8,15)到原点的距离= 82+152=17．
故答案为：17．
点A(8,15)到原点的距离= 82+152=17．
本题主要考查了勾股定理，解题关键是找准直角三角形．
10.【答案】8 55
【解析】解：如图，AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=12AC=12×4=2，BO=12BD=12×8=4，AB=BC，
∴AB= OA2+OB2= 22+42=2 5，
∴BC=2 5，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BC=12×4×8=16，
又∵S菱形ABCD=BC⋅AF=16，
∴AF=162 5=8 55．
故答案为：8 55．
由菱形的性质及勾股定理求出AB=BC=2 5，由菱形的面积可得出答案．
本题考主要查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是本题关键．
11.【答案】3 3．
【解析】解：在矩形ABCD中，∠B=∠BCD=90°；
由折叠知：∠ACB=∠ACE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠DCE，
∴∠ACB=13∠BCD=30°，
∵∠B=90°，AB=3，
∴AC=2AB=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AC2−AB2=3 3，
故答案为：3 3．
由折叠性质及角平分线定义得到∠ACB=30°，由含30度直角三角形性质得AC，由勾股定理即可求得BC．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，角平分线的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
12.【答案】2 13或5或 73
【解析】解：如图，有图①−图④共4种不同的拼法，
如图①，连接BC，过点C作CH⊥BD交BD的延长线于点H，显然四边形较长的对角线为BC，
由题意，得BD=3，BH=BD+DH=6，
∴CH=AD= AB2−BD2= 52−32=4，
∴BC= BH2+CH2= 62+42=2 13；
如图②，连接CE，由题意和拼法可知，四边形ACBE是矩形，
∴AB=CE=5；
如图③，连接CE交AB于点F，AB是CE的垂直平分线，
∴CF=AC⋅BCAB=4×35=125，
∴EC=245，
∵5>245，
∴较长的对角线长为5；
如图④，连接AE，过点EECH⊥AC交AC的延长线于点H，显然四边形较长的对角线为AE，
AH=2AC=8，EH=BC=3，
∴AE= AH2+EH2= 82+32= 73，
综上，拼成一个四边形的较长的对角线长为：2 13或5或 73．
根据等腰三角形的性质以及四边形的特点，分情况解答即可得出答案．
本题以拼图为背景，考查等腰三角形的性质，勾股定理，面积法，分类讨论思想，分类讨论是解决问题的关键．
13.【答案】解：(1) 18−4 12− 24÷ 3
=3 2−2 2− 8
= 2−2 2
=− 2；
(2)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，
∴AC= AB2+BC2= 32+52= 34．
【解析】(1)先算除法，再算加减即可；
(2)直接根据勾股定理求解即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及勾股定理，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
14.【答案】证明：在△ACD和△CAB中，
∠1=∠2∠D=∠BAC=CA，
∴△ACD≌△CAB(AAS)，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】证明△ACD≌△CAB(AAS)，得AB=CD，AD=BC，再由平行四边形的判定定理即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
15.【答案】解：由题意矩形的长为(80 2+2 12)cm，宽为(30 3+2 8)cm，
∴长方形的面积=(80 2+2 12)(30 3+8 2)
=2400 6+360+1280+32 6
=(2432 6+1640)cm2．
【解析】判断出矩形的长，宽可得结论．
本题考查二次根式的应用，解题的关键是理解题意，判断出矩形的长，宽．
16.【答案】解：(1)∵AB：BC=2：2，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=4m，
∴AC2=AB2+BC2=4 2m，
∴小路AC的长为4 2m；
(2)∵AB：BC：CD：AD=2：2：3：1，AB=4m，
∴AD=2m，BC=4m，CD=6m，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=4 2m，∠BAC=45°，
AC2+AD2=(4 2)2+22=36(m)，CD2=62=36(m)，
∴AC2+AD2=CD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°，
∴∠BAD的度数为135°．
【解析】(1)根据AB：BC=2：2，∠ABC=90°，△ABC为等腰直角三角形，根据勾股定理表示出AC的长，
(2)设AB=4m，分别求出AD，BC，CD，根据勾股定理的逆定理即可知△ACD为直角三角形，求出∠CAD的度数，△ABC为等腰直角三角形，根据∠BAD=∠BAC+∠CAD．
本题考查解直角三角形和勾股定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理相关知识．
17.【答案】解：(1)如图1，连接AC，BD，相交于点O，连接EO并延长，交BC于点M，连接AM，BE，相交于点N，连接ON并延长，交AB于点F，
则点F即为所求．

(2)如图2，连接AC，BD，相交于点O，连接EO并延长，交BC于点M，连接AM，BE，相交于点N，连接ON并延长，交AB于点F，再连接EF，与OA交于点P，连接NP并延长，交AE于点G，
则点G即为所求．

【解析】(1)结合正方形的性质、矩形的性质，连接AC，BD，相交于点O，连接EO并延长，交BC于点M，连接AM，BE，相交于点N，连接ON并延长，与AB的交点即为点F．
(2)结合正方形的性质，连接AC，BD，相交于点O，连接EO并延长，交BC于点M，连接AM，BE，相交于点N，连接ON并延长，交AB于点F，再连接EF，与OA交于点P，连接NP并延长，与AE的交点即为点G．
本题考查作图—复杂作图、正方形的性质、矩形的性质，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：在Rt△ABO中，∠ABO=45°，OB=OA，
∵AB=6米，
∴OA2+OB2=AB2=36，
∴OB=3 2(米)，
在Rt△A′B′O中，∠A′B′O=60°，
∴∠B′A′O=30°，
∴OB′=12A′B′=3(米)，
∴BB′=OB−OB′=3 2−3(米)，
∴行走的通道拓宽了(3 2−3)米．
【解析】根据勾股定理求出OB，再根据含30°角的直角三角形的性质求出OB′，进而求出BB′．
本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质、含30角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关的定理．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，
即OE=OF．
在△AOE与△COF中，
OE=OF∠AOE=∠COFOA=OC，
∴△AOE≌△COF(SAS)；
(2)四边形AECF是矩形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO=∠FCO，AE=CF，
∴AG/​/CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD/​/BC，
∴∠HAC=∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC=∠GAC，
∵∠GAC=∠ACB，
∴GA=GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
【解析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形证明△AOE≌△COF；
(2)结合(1)证明四边形AECF是平行四边形，再根据已知条件证明OA=OE，即可得结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ADE≌△CBF是解题的关键．
20.【答案】解：(1)−5 10+3 11和10 10+6 11是因子二次根式，理由如下：
∵(−5 10+3 11)×(10 10+6 11)=−500−30 110+30 110+198=−302，
∴−5 10+3 11和10 10+6 11是因子二次根式；
(2)根据题意得( 7−1)×(n− 7)=3，
即n− 7=3 7−1= 7+12，
解得n=3 7+12．
【解析】(1)根据新定义判断即可；
(2)根据新定义列方程解答即可．
本题考查了二次根式的定义：正确理解新定义是解决问题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠BAC=90°，AE为中线，
∴AE=BE=CE=12AE，
∵AD/​/BC，
∴∠ADF=∠EBF，
∵F为AE的中点，
∴AF=EF，
在△ADF与△EBF中，
∠ADF=∠EBF∠AFD=∠EBFAF=EF，
∴△ADF≌△EBF(AAS)，
∴AD=BE，
∴AD=CE，
∵AD/​/CE，
∴四边形AECD我平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AECD为菱形．
(2)解：添加AB=AC，
理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，AE为中线，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
由(1)知四边形AECD为菱形，
∴四边形AECD为正方形．
【解析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=BE=CE=12AE，根据平行线的性质得到∠ADF=∠EBF，根据全等三角形的性质得到AD=BE，根据菱形的判定定理得到结论．
(2)根据等腰直角三角形的性质得到AE⊥BC，求得∠AEC=90°，根据正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形和正方形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】(1)解：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接AF，CF，CD．

∵AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，CF/​/AD，CF=AD，
∴CF/​/BD，CF=BD．
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF//BC，DF=BC．
又∵DE=12DF，
∴DE/​/BC，DE=12BC；
(2)证明：连接AC，如图：

∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF/​/AC，EF=12AC，
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG/​/AC，HG=12AC，
∴EF/​/HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(3)证明：取BC的中点G，连接EG、FG，

∵E是AB的中点，G是BC的中点，
∴EG=12AC，EG//AC，
∴∠GEF=∠HNM，
同理可得FG=12BD，FG/​/BD，
∴∠HMN=∠GFE，
∵HM=HN，
∴∠HMN=∠HNM，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF，
∴AC=BD．
【解析】(1)延长DE到点F，使EF=DE，连接AF，CF，CD.证出四边形DBCF是平行四边形，得出DF/​/BC，DF=BC.则可得出结论；
(2)连接AC，由三角形中位线定理证出EF/​/HG，EF=HG，得出四边形EFGH是平行四边形；
(3)取BC的中点G，连接EG、FG，证出∠GEF=∠GFE，得出GE=GF，则可得出结论．
本题属于四边形综合题，考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】EF=EC
【解析】解：(1)如图所示，过点E分别作AD、CD的垂线，垂足分别为M、N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
∴四边形MEND是矩形，EM=EN，
∴四边形MEND是正方形，
∴∠MEN=90°，
∵EF⊥CE，
∴∠MEN=∠FEC=90°，
∴∠MEF=∠HEC，
又∠EMF=∠ENC=90°，
∴△EMF≌△ENC(ASA)，
∴EF=EC，
故答案为：EF=EC；
(2)(1)中结论仍然成立，
理由如下：如图所示，过点E分别作AD、CD的垂线，垂足分别为G、H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
∴四边形GEHD是矩形，EG=EH，
∴四边形GEHD是正方形，
∴∠GEH=90°，
∵EF⊥CE，
∴∠GEH=∠FEC=90°，
∴∠GEF=∠HEC，
又∠EGF=∠EHC=90°，
∴△EGF≌△EHC(ASA)，
∴EF=EC；
(3)如图当点E在线段BD上时，
∵四边形GEHD是正方形，DE= 2，
∴EH=DH= 22DE=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=4，
∴CH=3，
∴CE2=CH2+EH2=32+12=10，
由(2)可知CE=EF，
又∵CE⊥EF，
∴S△CEF=12CE⋅EF=12CE2=5；
如图所示，当点E在BD延长线上时，过点E分别作直线CD，直线AD的垂线，垂足分别为H、G，
同理可得四边形EGDH是正方形，
∴HD=EH=1，
∴CH=5，
∴CE2=CH2+EH2=52+12=26，
∴S△CEF=12CE⋅EF=12CE2=13．
综上所述，△CEF的面积为5或13．
(1)过点E分别作AD、CD的垂线，垂足分别为M、N，证明四边形MEND是正方形，得出∠MEN=90°，证明△EMF≌△ENC(ASA)，得出EF=EC，则可得出结论；
(2)过点E分别作AD、CD的垂线，垂足分别为G、H，证明△EGF≌△EHC(ASA)，得出EF=EC；
(3)当点E在射线BD上运动时可分两种情况：点E在线段BD上或BD的延长线上，求出CE2=CH2+EH2=10，则可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键．