2024年山东省德州市夏津三中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省德州市夏津三中中考数学一模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6B．C．6D．
2．（4分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）3＝a6b3B．a6÷a2＝a3（a≠0）
C．a﹣2＝﹣（a≠0）D．＝2
4．（4分）下列用相同的正方体堆放在一起组成的几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）下面各项不能判断是平行四边形的是（ ）
A．∠B＝∠D，∠A＝∠C
B．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AD＝BC
D．∠B+∠DAB＝180°，∠B+∠BCD＝180°
6．（4分）近年来全国房价不断上涨，我市2008年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2010年房价平均每平方米为8500元，假设这两年房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为（ ）
A．7000（1+2x）＝8500B．7000（1+x）2＝8500
C．8500（1+x）2＝7000D．8500（1﹣x）2＝7000
7．（4分）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法不正确的是（ ）
A．当I≤10A时，R≤4Ω
B．蓄电池的电压是40V
C．当R＝8Ω时，I＝5A
D．函数的表达式
8．（4分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数B．方差C．平均数D．中位数
9．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DEA的度数是（ ）
A．35°B．60°C．70°D．85°
10．（4分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（ ）
A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．﹣2＜x＜﹣1D．﹣1＜x＜0
11．（4分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（4分）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为1cm/s．点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D．点D运动2s时，点P与点A重合．△PBD的面积S（cm2）与运动时间t（s）的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当S（cm2）取最大值时，PD的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13．（4分）若有意义，则x的取值范围是 ．
14．（4分）在平面直角坐标系中，点M的坐标是（12，﹣5），则点M到x轴的距离是 ．
15．（4分）已知方程x2﹣7x﹣1＝0的两根是x1，x2，则的值是 ．
16．（4分）已知3m﹣n＝1，则9m2﹣n2﹣2n的值为 ．
17．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF的长度为 ．
18．（4分）如图，一组x轴正半轴上的点B1，B2，…Bn满足条件OB1＝B1B2＝B2B3＝…＝Bn﹣1Bn＝2，抛物线的顶点A1，A2，…An依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以A1为顶点且过点O和B1；第二条抛物线以A2为顶点且经过点B1和B2；…，第n条抛物线以An为顶点且经过点Bn﹣1，Bn，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成△OA1B1、△B1A2B2、…、△Bn﹣1AnBn．请写出所有满足三角形面积为整数的n的值 ．
三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（10分）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝ ，n＝ ，文学类书籍对应扇形圆心角等于 度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
21．（10分）山东夏津黄河故道古桑树群因其在防沙治沙、生物多样性保护、生物资源利用和农业景观维持等方面具有多功能价值，被联合国粮农组织收录为“全球重要农业文化遗产”，如今以古桑树群为核心不断滋养和丰富着夏津的文化成果和农业发展．五一期间，刘老师带领数学兴趣小组的同学们对其中一棵桑树的高度进行了相关测量．如图，他们先在地面上的A处测得桑树树顶C点的仰角为34°，然后向桑树的正下方前进6米后到达B处，测得桑树树顶C点的仰角为45°，已知测角仪AE和BF的高度为1米，请你根据相关数据计算出桑树的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）
22．（12分）如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C为半圆上一点，点D为AB延长线上一点，且∠1＝∠2．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点A作⊙O的切线AE交DC的延长线于点E，若⊙O的半径为3cm，BD＝2cm，求CE的长度．
23．（12分）某粮食生产基地计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多2万元，用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过92万元，乙的数量不超过甲数量的4倍，则如何购买费用最低？最低费用是多少万元？
24．（14分）综合与实践
【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．
“弦图”，在三国时期被赵爽发明，是证明 的几何方法（填序号）．
①勾股定理
②完全平方公式
③平方差公式
【动手操作】
如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形ABCD的面积为 ；
【问题探究】
兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，E为正方形ABCD内一点，△BCE满足BE2+CE2＝BC2，将△BCE绕点C顺时针旋转90°，得到△DCE′．
（1）连接BD，若点E为BD的中点，则四边形DECE′为 （填形状）；
【问题解决】
（2）若BE，E′D的延长线交于点M，连接AC，点O，F分别为AC，CD的中点．
①请找出OM和FE′的数量关系并写出直线OM和直线FE′的夹角（锐角），请仅就图④的情形说明理由；
②若DM＝1，AB＝5，请直接写出BE的长．
25．（12分）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，直线AB交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（﹣3，0），BC垂直于AB且BC＝15，求直线AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
2024年山东省德州市夏津三中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣6B．C．6D．
【分析】利用相反数的定义判断即可．
【解答】解：﹣6的相反数是6，
故选：C．
2．（4分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）3＝a6b3B．a6÷a2＝a3（a≠0）
C．a﹣2＝﹣（a≠0）D．＝2
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，立方根的意义，可得答案．
【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A符合题意；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B不符合题意；
C、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故C不符合题意；
D、负数的立方根是负数，故D不符合题意；
故选：A．
4．（4分）下列用相同的正方体堆放在一起组成的几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得主视图，从左面看到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：A．主视图和左视图都相同，底层为三个小正方形，中层和上层的左边分别是一个小正方形，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
C．主视图底层是三个小正方形，上层的左边是两个小正方形；左视图底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
D．主视图和左视图相同，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
故选：C．
5．（4分）下面各项不能判断是平行四边形的是（ ）
A．∠B＝∠D，∠A＝∠C
B．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AD＝BC
D．∠B+∠DAB＝180°，∠B+∠BCD＝180°
【分析】根据题意逐一对选项进行分析即可得到答案．
【解答】解：∵∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，AD＝BC，不可以判定四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B+∠DAB＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：C．
6．（4分）近年来全国房价不断上涨，我市2008年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2010年房价平均每平方米为8500元，假设这两年房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为（ ）
A．7000（1+2x）＝8500B．7000（1+x）2＝8500
C．8500（1+x）2＝7000D．8500（1﹣x）2＝7000
【分析】由于设这两年房价的平均增长率均为x，那么2008年房价平均每平方米为7000（1+x）元，2010年的房价平均每平方米为7000（1+x）（1+x）元，然后根据2010年房价平均每平方米为8500元即可列出方程．
【解答】解：依题意得
7000（1+x）2＝8500．
故选：B．
7．（4分）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法不正确的是（ ）
A．当I≤10A时，R≤4Ω
B．蓄电池的电压是40V
C．当R＝8Ω时，I＝5A
D．函数的表达式
【分析】根据函数图象可设，再将（4，10）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：设，
∵图象过（4，10），
∴U＝40，故选项B正确，不符合题意，
∴，故选项D正确，不符合题意；
当R＝8Ω时，I＝5A，选项C正确，不符合题意；
根据函数图象可得当I≤10A时，R≥4Ω，选项A错误，符合题意；
故选：A．
8．（4分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数B．方差C．平均数D．中位数
【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DEA的度数是（ ）
A．35°B．60°C．70°D．85°
【分析】由题可得，直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：由题可得，直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠CAE，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠DAE＝∠CAE＝∠DAC＝35°，
∴∠DEA＝∠C+∠CAE＝85°．
故选：D．
10．（4分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（ ）
A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．﹣2＜x＜﹣1D．﹣1＜x＜0
【分析】利用函数图象，写出在x轴上方且函数y＝kx+b的函数值小于函数y＝mx的函数值对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0；
当x＜﹣1时，kx+b＜mx，
所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1．
故选：C．
11．（4分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AD的和．
【解答】解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，
在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，
∴∠AOD＝∠BOD＝30°，
由轴对称的性质，∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD，
∴∠AOE＝90°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∵OA＝1，
∴AE＝，的长＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为，
故选：A．
12．（4分）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为1cm/s．点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D．点D运动2s时，点P与点A重合．△PBD的面积S（cm2）与运动时间t（s）的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当S（cm2）取最大值时，PD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据点D运动2s时，点P与点A重合．从而求得，再由函数图象求得，从而求得，得出PD＝DC，然后根据由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．所以当时，点P在AC边上，此时BD＝t×1＝t（cm），，根据三角形面积公式求得，最后根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：由题意知，点D运动2s时，点P，D的位置如图1所示．
此时，在Rt△PBD中，BD＝2cm，∠B＝60°，PD⊥BC，
∴PB＝2BD＝4（cm），
∴．
由函数图象得，
∴，
∴PD＝DC．
由题图2点E的位置可知，点P在AC上时，S△PBD有最大值．
当时，点P在AC边上，如图2，
此时BD＝t×1＝t（cm），，
∴．
∵，
又∵，
∴当时，S△PBD的值最大，
此时．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13．（4分）若有意义，则x的取值范围是 x≥0且x≠1 ．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣1≠0且x≥0，
解得x≥0 且 x≠1，
故答案为：x≥0 且 x≠1．
14．（4分）在平面直角坐标系中，点M的坐标是（12，﹣5），则点M到x轴的距离是 5 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点M的坐标是（12，﹣5），则点M到x轴的距离是|﹣5|＝5，
故答案为：5．
15．（4分）已知方程x2﹣7x﹣1＝0的两根是x1，x2，则的值是 51 ．
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝7，x1•x2＝﹣1，再代入计算即可．
【解答】解：∵方程x2﹣7x﹣1＝0的两根是x1，x2，
∴x1+x2＝7，x1•x2＝﹣1，
∴，
故答案为：51．
16．（4分）已知3m﹣n＝1，则9m2﹣n2﹣2n的值为 1 ．
【分析】利用平方差公式将原式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵3m﹣n＝1，
∴原式＝（3m+n）（3m﹣n）﹣2n
＝3m+n﹣2n
＝3m﹣n
＝1．
故答案为：1．
17．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF的长度为 6+2或6﹣2 ．
【分析】分两种情况：如图1，F是线段CD上一动点，如图2，F是DC延长线上一点，利用勾股定理求出CE，再证明CF＝CE即可解决问题．
【解答】解：如图1，F是线段CD上一动点，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，
∵CD∥AB，
∴∠CFE＝∠AEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝2，
∴CF＝CE＝2，
∵AB＝CD＝6，
∴DF＝CD﹣CF＝6﹣2，
如图2，F是DC延长线上一点，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，
∵CD∥AB，
∴∠CFE＝∠BEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝2，
∴CF＝CE＝2，
∵AB＝CD＝6，
∴DF＝CD+CF＝6+2，
故答案为6+2或6﹣2．
18．（4分）如图，一组x轴正半轴上的点B1，B2，…Bn满足条件OB1＝B1B2＝B2B3＝…＝Bn﹣1Bn＝2，抛物线的顶点A1，A2，…An依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以A1为顶点且过点O和B1；第二条抛物线以A2为顶点且经过点B1和B2；…，第n条抛物线以An为顶点且经过点Bn﹣1，Bn，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成△OA1B1、△B1A2B2、…、△Bn﹣1AnBn．请写出所有满足三角形面积为整数的n的值 1或2或5 ．
【分析】先求得点A1，A2，…An的坐标，然后求得△OA1B1、△B1A2B2、…△Bn﹣1AnBn的面积，即可得到满足条件的整数n．
【解答】解：由题意得，△OA1B1、△B1A2B2、…△Bn﹣1AnBn均为等腰三角形，
∵OB1＝B1B2＝B2B3…Bn﹣1Bn＝2，
∴点A1（1，9），A2（3，3），…An（2n﹣1，），
∴△Bn﹣1AnBn的面积为＝，
∵三角形面积为整数，
∴2n﹣1为9的约数，
∴2n﹣1＝1或2n﹣1＝3或2n﹣1＝9，
∴n＝1或n＝2或n＝5，
故答案为：1或2或5．
三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先对分式进行化简，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•
＝
＝，
当时，原式＝＝．
20．（10分）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题；
（1）条形图中的m＝ 18 ，n＝ 6 ，文学类书籍对应扇形圆心角等于 72 度；
（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【分析】（1）由喜欢E的人数除以所占百分比得出调查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读政史类书籍的学生人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
∴n＝50﹣18﹣10﹣12﹣4＝6，
文学类书籍对应扇形圆心角＝360°×＝72°，
故答案为：18，6，72；
（2）2000×＝480（人），
答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；
（3）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB、CC，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
21．（10分）山东夏津黄河故道古桑树群因其在防沙治沙、生物多样性保护、生物资源利用和农业景观维持等方面具有多功能价值，被联合国粮农组织收录为“全球重要农业文化遗产”，如今以古桑树群为核心不断滋养和丰富着夏津的文化成果和农业发展．五一期间，刘老师带领数学兴趣小组的同学们对其中一棵桑树的高度进行了相关测量．如图，他们先在地面上的A处测得桑树树顶C点的仰角为34°，然后向桑树的正下方前进6米后到达B处，测得桑树树顶C点的仰角为45°，已知测角仪AE和BF的高度为1米，请你根据相关数据计算出桑树的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）
【分析】设CM＝x米，易得MF＝x米，EM＝（x+6）米，在Rt△CEM中，，求出x的值，再利用CM+DM进行计算即可．
【解答】解：由题意得：EF⊥CD，AB＝EF，AE＝BF＝DM，
设CM＝x米，
∵∠CFM＝45°，
∴FM＝CM＝x米，
∵EF＝6米，
∴EM＝（x+6）米，
在Rt△CEM中，
∵∠CEM＝34°，
∵tan34°≈0.67
∴x≈12.2
即C M≈12.2米，
由题意知：MD＝BF＝AE＝1米，C D≈12.2+1＝13.2≈13（米）．
答：高度约为13米．
22．（12分）如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，点C为半圆上一点，点D为AB延长线上一点，且∠1＝∠2．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点A作⊙O的切线AE交DC的延长线于点E，若⊙O的半径为3cm，BD＝2cm，求CE的长度．
【分析】（1）连接OC，根据AB为半圆的直径，得出∠ACB＝90°，证明∠2+∠4＝90°，从而可以证明结论；
（2）根据已知条件先求出AD＝2×3+2＝8（cm），OD＝3+2＝5（cm），根据勾股定理求出，设AE＝CE＝x cm，根据勾股定理得出x2+82＝（x+4）2，求出x的值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠4＝90°，即OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线．
（2）解：∵⊙O的半径为3cm，BD＝2cm，
∴AD＝2×3+2＝8（cm），
OD＝3+2＝5（cm），
∴，
∵AE、CE都为切线，
∴AE＝CE，∠DAE＝90°，
设AE＝CE＝x cm，
则根据勾股定理得：x2+82＝（x+4）2，
解得x＝6，
∴CE的长度为6cm．
23．（12分）某粮食生产基地计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多2万元，用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过92万元，乙的数量不超过甲数量的4倍，则如何购买费用最低？最低费用是多少万元？
【分析】（1）设购买1件乙种农机具需x万元，则购买1件甲种农机具需（x+2）万元，利用数量＝总价÷单价，结合用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可；
（2）设该粮食生产基地计划购买甲种农机具m件，则计划购买乙种农机具（20﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合购买的总费用不超过92万元，乙的数量不超过甲数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买1件乙种农机具需x万元，则购买1件甲种农机具需（x+2）万元，
根据题意得，，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
∴x+2＝6，
答：购买1件甲种农机具需6万元，1件乙种农机具需4万元．
（2）设该粮食生产基地计划购买甲种农机具m件，则计划购买乙种农机具（20﹣m）件，
根据题意得，，
解得4≤m≤6，
所以共有三种方案，
当m＝4时，购买甲4件，乙16件，费用4×6+16×4＝88（万元）；
当m＝5时，购买甲5件，乙15件，费用5×6+15×4＝90（万元）；
当m＝6时，购买甲6件，乙14件，费用6×6+14×4＝92（万元）；
∴购买甲4件，乙16件总费用费用最低，最低费用：4×6+16×4＝88（万元），
答：购买甲4件，乙16件最优惠，费用为88万元．
24．（14分）综合与实践
【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．
“弦图”，在三国时期被赵爽发明，是证明 ① 的几何方法（填序号）．
①勾股定理
②完全平方公式
③平方差公式
【动手操作】
如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形ABCD的面积为 49 ；
【问题探究】
兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，E为正方形ABCD内一点，△BCE满足BE2+CE2＝BC2，将△BCE绕点C顺时针旋转90°，得到△DCE′．
（1）连接BD，若点E为BD的中点，则四边形DECE′为 正方形 （填形状）；
【问题解决】
（2）若BE，E′D的延长线交于点M，连接AC，点O，F分别为AC，CD的中点．
①请找出OM和FE′的数量关系并写出直线OM和直线FE′的夹角（锐角），请仅就图④的情形说明理由；
②若DM＝1，AB＝5，请直接写出BE的长．
【分析】【阅读经典】根据“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法，直接得出答案；
【动手操作】先根据正方形ABCD的边长为直角三角形较长直角边与较短直角边的差求得正方形边长为7，再运用正方形面积公式即可求得答案；
【问题探究】（1）先证得△BCE、△CDE均为等腰直角三角形，再结合旋转的性质可证得四边形DECE′是矩形，由CE＝DE，即可证得四边形DECE′是正方形．
（2）①连接CM，AM，延长MO、E′F交于点N，设E′N交CM于H，由正方形性质可得：AC＝CD，CM＝CE′，∠ACD＝∠MCE′＝∠CME′＝45°，进而可得△ACM∽△DCE′，再利用直角三角形性质即可得出OM＝E′F；证明△MNH∽△E′CH，即可得出∠MNE′＝∠MCE′＝45°；
②分两种情况：当点M在AD上方时，当点M在AD下方时，设BE＝x，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：【阅读经典】“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法，
故答案为：①．
【动手操作】∵正方形ABCD的边长AB＝12﹣5＝7，
∴S正方形ABCD＝AB2＝72＝49，
故答案为：49．
【问题探究】（1）如图，∵点E为正方形ABCD对角线BD的中点，
∴△BCE、△CDE均为等腰直角三角形，
∴∠CBE＝∠BCE＝∠ECD＝∠EDC＝45°，∠BEC＝∠CED＝90°，BE＝CE＝DE，
由旋转得：∠E′＝∠BEC＝90°，∠ECE′＝90°，
∴∠CED＝∠E′＝∠ECE′＝90°，
∴四边形DECE′是矩形，
∵CE＝DE，
∴四边形DECE′是正方形．
故答案为：正方形．
（2）①∵BE2+CE2＝BC2，
∴△BCE是Rt△，∠BEC＝90°，
由旋转得：∠CE′D＝∠BEC＝90°，∠ECE′＝90°，CE′＝CE，
∴四边形CE′ME是正方形，
∴∠CE′M＝90°，
连接CM，AM，延长MO、E′F交于点N，设E′N交CM于H，如图，
∵四边形ABCD和CE′ME是正方形，
∴AC＝CD，CM＝CE′，∠ACD＝∠MCE′＝∠CME′＝45°，
∴∠ACD﹣∠DCM＝∠MCE′﹣∠DCM，
即∠ACM＝∠DCE′，
∵＝＝，
∴＝，
∴△ACM∽△DCE′，
∴∠AMC＝∠DE′C＝90°，∠ACM＝∠DCE′，
∵点O，F分别为AC，CD的中点，
∴OM＝OC＝AC，E′F＝CF＝CD，
∴OM＝E′F，
∵OM＝OC，
∴∠NMH＝∠ACM，
∵E′F＝CF，
∴∠CE′F＝∠DCE′，
∴∠NMH＝∠CE′F，
∵∠MHN＝∠CHE′，
∴△MNH∽△E′CH，
∴∠MNE′＝∠MCE′＝45°；
②当点M在AD上方时，如图，
设BE＝x，则DE′＝x，
∵DM＝1，AB＝5，
∴CE′＝ME′＝x+1，CD＝AB＝5，
在Rt△CDE′中，DE′2+CE′2＝CD2，
∴x2+（x+1）2＝52，
解得：x＝﹣4（舍去）或x＝3，
∴BE＝3；
当点M在AD下方时，如图，
设BE＝x，则DE′＝x，
∵DM＝1，AB＝5，
∴CE′＝ME′＝x﹣1，CD＝AB＝5，
在Rt△CDE′中，DE′2+CE′2＝CD2，
∴x2+（x﹣1）2＝52，
解得：x＝﹣3（舍去）或x＝4，
∴BE＝4；
综上所述，BE的长为3或4．
25．（12分）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】（2）如图2，直线AB交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（﹣3，0），BC垂直于AB且BC＝15，求直线AC的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE，∠A＝∠EBD，AB＝BE，即可求解；
（2）证明Rt△ABO∽Rt△BCM，得到BM＝12，CM＝9，进而求解；
（3）先求得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），分两种情况：当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方时，分别构造直角三角形，利用相似三角形的判定和性质即可求得直线BM上特殊点的坐标，运用待定系数法求得直线BM的解析式，联立方程组求解即可得出点M的坐标．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
∵∠ACB＝∠BDE，∠A＝∠EBD，AB＝BE，
∴△ACB≌△BDE（AAS）；
（2）作CM⊥x轴于点M，
∵∠CBM+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBM＝∠BAO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCM，
则，即，
解得：BM＝12，CM＝9，
则点C（﹣15，9），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+4；
（3）存在，理由：
解：抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝．
∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
当点M在x轴上方时，如图，过点Q作QL∥BM，过点B作BF⊥BQ，交BL与于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，
则∠BOQ＝∠QBF＝∠BGF＝90°，∠BQF＝∠MBQ，
∴∠OBG+∠OQB＝90°，∠OBG+∠FBG＝90°，
∴∠OQB＝∠FBG，
∴△OBG∽△GFB，
∴，
∵tan∠BQF＝，
∴，
∴FG＝，BG＝，
∴F（，﹣），
由点F、Q的坐标得，直线FQ的解析式为y＝﹣x﹣1，
∵BM∥QF，
∴设直线BM的解析式为y＝﹣x+d，把B（4，0）代入，得﹣+d＝0，
解得：d＝，
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x+＝x2﹣3x﹣4，
解得：x＝4（舍去）或﹣；
当点M在x轴下方时，如图，过点Q作QE⊥BQ，交BM于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，
则∠QFE＝∠BOQ＝∠BQF＝90°，
∵tan∠MBQ＝，
∴＝tan∠MBQ＝，
∴EQ＝BQ＝，
∵∠OBQ+∠BQO＝90°，∠BQO+∠EQF＝90°，
∴∠OBQ＝∠EQF，
∴△QEF∽△BQO，
同理可得：EF＝，QF＝，
∴OF＝OQ+QF＝1+＝，
∴E（，﹣）；
由点B、E的坐标得，直线BM的解析式为y＝x﹣，
联立上式和抛物线的表达式得x﹣＝x2﹣3x﹣4，
解得：x＝4（舍去）或﹣，
综上，存在，点M的横坐标为：﹣或﹣．