2024年甘肃省陇南市武都区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年甘肃省陇南市武都区中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2024的倒数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）陇南康县王坝生态民俗旅游区，环境优美，群山叠翠，被誉为“陇上田园、诗画王坝”．下面四个艺术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，已知直线AB与CD相交于点F，FA平分∠CFE，若∠CFE＝70°，则∠BFD度数是（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则满足条件的实数b的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
5．（3分）点P（1，3）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
6．（3分）每年的7月正值维苏威火山所在地的夏天，如图为维苏威火山所在地的气候资料，根据图中信息推断，下列说法正确的是（ ）
A．夏季高温多雨，冬季寒冷干燥
B．夏季炎热干燥，冬季温和多雨
C．冬暖夏凉，降水集中在冬季
D．冬冷夏热，降水集中在夏季
7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则BD的长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
8．（3分）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度AB＝（ ）
A．8cmB．4cmC．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的周长之比是（ ）
A．1：3B．1：4C．1：9D．1：16
10．（3分）如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）大于而小于2的所有整数是 ．
12．（4分）因式分解：2x3y﹣8x2y2+8xy3＝ ．
13．（4分）西和晚霞湖景区位于西和县城以西5公里处，湖面面积1800亩，蓄水量1035万立方米，湖内湿地芦荡丛生、群鸟集翔，荡舟湖上可领略湖光山色．将数字1035万用科学记数法可表示为 ．
14．（4分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝ ．
15．（4分）如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA＝ 米．
16．（4分）如图，菱形ABCD的边长为2，以C为圆心，BC为半径画弧至点D，恰好经过点A，再以A为圆心，AD为半径画弧至点B，恰好经过点C，求图中的阴影面积 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
17．（6分）计算：+×﹣．
18．（6分）计算：．
19．（6分）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线．
（1）请用尺规作图法在CD上求作点E，使得DE＝BE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中所作的图中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．
21．（10分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为 37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为 84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米，求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，
22．（10分）小华和爸爸准备假期到陇南旅游，但因为时间关系，只能选其中的一个旅游景点，他们决定用抽签的方式来决定去哪里．于是小华在四张完全相同的卡片的正面分别写了A武都万象洞，B文县白马河景区，C成县陈院生态园旅游景区，D宕昌官鹅沟景区，然后背面朝上，洗匀放好．
（1）小华从4张卡片中随机抽取一张，恰好抽中A武都万象洞的概率为 ；
（2）若小华从4张卡片中随机抽取一张，记下名字后，放回、洗匀，再由爸爸从中随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求小华和爸爸抽中相同景点的概率．
四、解答题（本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（8分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）参加这次调查的学生总人数为 人，将条形统计图补充完整；
（2）请计算扇形统计图中A部分扇形所对应的圆心角；
（3）若该校共有1800名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+2（k≠0）与x轴、y轴分别交于点，点D，与反比例函数的图象交于点B（n，4）．
（1）求直线与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在反比例函数的图象上，且△PAC的面积为3，求点P的坐标．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝6，AD＝8，求tan∠ABC的值．
26．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，其边长为3．点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝2，连接DE，显然有BD＝CE．
（1）问题发现：如图2，若将△ADE绕点A逆时针旋转一个角度（0°＜α＜60°），结论“BD＝CE“仍成立吗？请作出判断，并证明你的结论；
（2）问题解决：如图3，在（1）的情形下，当点B，D，E三点正好在一条直线上时，求CE的长．
27．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，则△ACD的面积为 ；
（3）点P是坐标平面内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年甘肃省陇南市武都区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项）
1．（3分）2024的倒数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
【解答】解：2024的倒数是；
故选：C．
2．（3分）陇南康县王坝生态民俗旅游区，环境优美，群山叠翠，被誉为“陇上田园、诗画王坝”．下面四个艺术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．该艺术字既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意；
B．该艺术字既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意；
C．该艺术字既是轴对称图形又是中心对称图形．故符合题意；
D．该艺术字既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意．
故选：C．
3．（3分）如图，已知直线AB与CD相交于点F，FA平分∠CFE，若∠CFE＝70°，则∠BFD度数是（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【分析】根据角平分线的定义求出∠AFC的度数，再根据对顶角相等即可求解．
【解答】解：∵FA平分∠CFE，FA平分∠CFE，
∴，
∴∠BFD＝∠AFC＝35°．
故选：C．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则满足条件的实数b的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．据此得出关于b的方程，求出b的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4＝0，
解得b＝±2．
故选：A．
5．（3分）点P（1，3）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．B．2C．3D．4
【分析】将点P的坐标代入可求得k的值即可．
【解答】解：将P的坐标代入，得：3＝k，
解得：k＝3．
故选：C．
6．（3分）每年的7月正值维苏威火山所在地的夏天，如图为维苏威火山所在地的气候资料，根据图中信息推断，下列说法正确的是（ ）
A．夏季高温多雨，冬季寒冷干燥
B．夏季炎热干燥，冬季温和多雨
C．冬暖夏凉，降水集中在冬季
D．冬冷夏热，降水集中在夏季
【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
【解答】解：根据图中信息推断，该地区夏季高温干燥，冬季寒冷多雨，
故选：B．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则BD的长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【分析】根据已知条件可以得到EF是△OAB的中位线，则OB＝2EF＝6，再利用平行四边形的性质得出BD即可．
【解答】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，EF＝3，
∴EF是△OAB的中位线，则OB＝2EF＝6，
∵在▱ABCD中，
∴BD＝2OB＝12，
故选：C．
8．（3分）如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度AB＝（ ）
A．8cmB．4cmC．D．
【分析】过圆心O，作OC⊥AB，根据垂径定理得出，根据图示得出OC＝4，AO＝8，勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过圆心O，作OC⊥AB，则，
在Rt△AOC中，OC＝18﹣14＝4，AO＝OC+（14﹣10）＝4+OC＝8，
∴，
∴，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的周长之比是（ ）
A．1：3B．1：4C．1：9D．1：16
【分析】根据相似三角形的判断与性质，求出边的比例即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
10．（3分）如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥DA交DA的延长线于H，设BH＝h，则有当点P在线段AD上时，y＝×h×x，h是定值，y是x的一次函数．
点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大，且y是x的一次函数，即y＝，
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，即y＝h（x﹣AD﹣DC），
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）大于而小于2的所有整数是 ﹣2，±1，0 ．
【分析】根据题意得出大于而小于2的所有整数是﹣2，±1，0即可．
【解答】解：大于而小于2的所有整数是﹣2，±1，0．
故答案为：﹣2，±1，0．
12．（4分）因式分解：2x3y﹣8x2y2+8xy3＝ 2xy（x﹣2y）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2xy（x2﹣4xy+4y2）
＝2xy（x﹣2y）2．
故答案为：2xy（x﹣2y）2．
13．（4分）西和晚霞湖景区位于西和县城以西5公里处，湖面面积1800亩，蓄水量1035万立方米，湖内湿地芦荡丛生、群鸟集翔，荡舟湖上可领略湖光山色．将数字1035万用科学记数法可表示为 1.035×107 ．
【分析】科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．
【解答】解：1035万＝10350000＝1.035×107，
故答案为：1.035×107．
14．（4分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，若∠C＝50°，则∠DBE＝ 65° ．
【分析】设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α，根据内心得∠DAB＝α，∠ABE＝β，利用三角形内角和定理即可求得α+β＝65°，即可求得答案．
【解答】解：设∠DBC＝α，∠CBE＝β，则∠DAC＝α，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠DAB＝α，∠ABE＝β，
∴∠CAB+∠ABC+50°＝2α+2β+50°＝180°，
∴α+β＝65°，
则∠DBE＝α+β＝65°．
故答案为：65°．
15．（4分）如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA＝ 11 米．
【分析】根据题意得到﹣（x﹣5）2+3.6＝0，解方程即可得到结论．
【解答】解：∵，
∴当y＝0时，即﹣（x﹣5）2+3.6＝0，
解得x1＝11，x2＝﹣1（不合题意舍去），
答：该喷灌架喷出的水可到达的最远距离OA＝11米，
故答案为：11．
16．（4分）如图，菱形ABCD的边长为2，以C为圆心，BC为半径画弧至点D，恰好经过点A，再以A为圆心，AD为半径画弧至点B，恰好经过点C，求图中的阴影面积 ．
【分析】先证得△ABC是等边三角形，进而利用扇形面积和菱形面积求出即可．
【解答】解：连接AC，BD，交于点O，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝2，AC⊥BD，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，OA＝1，OB＝OD，
∴，
∴，
∴CD＝BC＝2，∠BAD＝120°，
∴图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
17．（6分）计算：+×﹣．
【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝+﹣2
＝4+﹣2
＝4﹣．
18．（6分）计算：．
【分析】先通分括号内的式子，然后再将括号外的除法化为乘法，最后约分即可．
【解答】解：
＝•
＝．
19．（6分）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【分析】先求出不等式组中，两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，利用数轴表示不等式组的解集即可．
【解答】
解：由①得：x＞2，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集是2＜x＜3，
在数轴上表示为：
20．（8分）如图，在▱ABCD中，BD为对角线．
（1）请用尺规作图法在CD上求作点E，使得DE＝BE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中所作的图中，连接BE，求证：BD平分∠ABE．
【分析】（1）作线段BD的垂直平分线交CD于点E；
（2）证明∠ABD＝∠EBD即可．
【解答】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴BD平分∠ABE．
21．（10分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为 37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为 84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米，求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，
【分析】根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后设CD＝x米，则BC＝（x+4）米，分别在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
设CD＝x米，
∵BD＝4米，
∴BC＝BD+CD＝（x+4）米，
在Rt△ACD中，∠ADC＝84°，
∴AC＝CD•tan84°≈x（米），
在Rt△ABC中，∠ABC＝37°，
∴AC＝BC•tan37°≈（x+4）米，
∴x＝（x+4），
解得：x＝，
∴AC＝x≈3.3（米），
∴表AC的长约为3.3米．
22．（10分）小华和爸爸准备假期到陇南旅游，但因为时间关系，只能选其中的一个旅游景点，他们决定用抽签的方式来决定去哪里．于是小华在四张完全相同的卡片的正面分别写了A武都万象洞，B文县白马河景区，C成县陈院生态园旅游景区，D宕昌官鹅沟景区，然后背面朝上，洗匀放好．
（1）小华从4张卡片中随机抽取一张，恰好抽中A武都万象洞的概率为 ；
（2）若小华从4张卡片中随机抽取一张，记下名字后，放回、洗匀，再由爸爸从中随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求小华和爸爸抽中相同景点的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中A武都万象洞的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小华和爸爸抽中相同景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中A武都万象洞的结果有1种，
∴恰好抽中A武都万象洞的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小华和爸爸抽中相同景点的结果有4种，
∴小华和爸爸抽中相同景点的概率为＝．
四、解答题（本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．（8分）劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）参加这次调查的学生总人数为 180 人，将条形统计图补充完整；
（2）请计算扇形统计图中A部分扇形所对应的圆心角；
（3）若该校共有1800名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数．
【分析】（1）从两个统计图中可知，样本中选择C的有45人，占调查人数的25%，由频率＝可求出调查人数，进而求出选择B的人数，进而补全条形统计图；
（2）求出样本中，选择A所占的百分比即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求出样本中选择D所占的百分比，估计总体中选择D所占的百分比，进而求出相应的学生人数．
【解答】解：（1）调查人数为：45÷25%＝180（人），
选择B的人数为：180﹣50﹣45﹣25＝60（人），补全条形统计图如下：
故答案为：180；
（2）样本中选项A所对应的圆心角为360°×＝100°，
答：扇形统计图中A部分扇形所对应的圆心角的度数为100°；
（3）1800×＝250（人），
答：该校1800名学生中选择D小组的学生大约有250人．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+2（k≠0）与x轴、y轴分别交于点，点D，与反比例函数的图象交于点B（n，4）．
（1）求直线与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在反比例函数的图象上，且△PAC的面积为3，求点P的坐标．
【分析】（1）代入y＝kx+2中，得；再把B（n，4）代入，得，运用待定系数法求解析式，即可作答．
（2）设点P的纵坐标为b，根据△PAC的面积为3求出b，再代入求出横坐标即可．
【解答】解：（1）把代入y＝kx+2中，
得，解得，
∴直线的表达式为．
把B（n，4）代入，得，
解得，
∴，
把点B代入中，得，
解得m＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）设点P的坐标为（a，b），
∵△PAC的面积为3，
∴．
∵，
∴，
即，
解得b＝±2，
当b＝2时，a＝﹣3，
当b＝﹣2时，a＝3，
∴P（3，﹣2）或P（﹣3，2）．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝6，AD＝8，求tan∠ABC的值．
【分析】（1）设△DBE外接圆的圆心为O，连接OE，如图，证明OE∥BC得到∠OEA＝∠C＝90°，然后根据切线的判定定理得到AC为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OE＝OD＝r，OA＝8+r，利用勾股定理计算出r2+82＝（6+r）2，解得r＝，利用正切定义得到tan∠AOE＝12，然后根据平行线的性质得∠ABC＝∠AOE，从而得到tan∠ABC的值．
【解答】解：（1）直线AC与△DBE外接圆相切．
理由如下：设△DBE外接圆的圆心为O，连接OE，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠CBE＝∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA＝∠C＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OE＝OD＝r，OA＝8+r，
在Rt△AOE中，r2+（6）2＝（8+r）2，解得r＝，
∴tan∠AOE＝＝12，
∵OE∥BC，
∴∠ABC＝∠AOE，
∴tan∠AOE＝12．
26．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，其边长为3．点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝2，连接DE，显然有BD＝CE．
（1）问题发现：如图2，若将△ADE绕点A逆时针旋转一个角度（0°＜α＜60°），结论“BD＝CE“仍成立吗？请作出判断，并证明你的结论；
（2）问题解决：如图3，在（1）的情形下，当点B，D，E三点正好在一条直线上时，求CE的长．
【分析】（1）结论：BD＝CE成立．证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论；
（2）如图3中，过点A作AH⊥CE交CE的延长线于点H．证明∠AEH＝60°，求出AH，EH，CH，可得结论．
【解答】解：（1）结论：BD＝CE成立．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）如图3中，过点A作AH⊥CE交CE的延长线于点H．
，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵B，D，E共线，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠AEC＝120°，
∴∠AEH＝180°﹣∠AEC＝60°，
∴AH＝AE•sin60°＝2×＝，EH＝AE•cs60°＝1，
∴CH＝＝＝，
∴EC＝CH﹣EH＝﹣1．
27．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，则△ACD的面积为 6 ；
（3）点P是坐标平面内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）c＝8，则y＝﹣x2+bx+8，将点B的坐标代入上式并解得：b＝﹣2，即可求解；
（2）△ACD的面积＝DH×OA＝3×4＝6，即可求解；
（3）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）c＝8，则y＝﹣x2+bx+8，
将点B的坐标代入上式并解得：b＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8；
（2）如图，过点D作DH∥y轴交AC于点H，
由点A、C坐标可得，直线AC的表达式为：y＝2x+8，
抛物线与x轴交于A，则点A（﹣4，0），点的D（﹣1，9），则点H（﹣1，6），则DH＝3，
△ACD的面积＝DH×OA＝3×4＝6，
故答案为6；
（3）点A、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，8），设点P（m，n），而点B（2，0）；
①当AC是边时，
点A向右平移4个单位向上平移8个单位得到C，同样点P（B）向右平移4个单位向上平移8个单位得到点B（P），
故2±4＝m，0±8＝n，解得：m＝6或﹣2，n＝8或﹣8，
故点P（6，8）或（﹣2，﹣8）；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：m+2＝﹣4，n＝8，
解得：m＝﹣6，n＝8，故点P（﹣6，8）；
综上，点P（6，8）或（﹣2，﹣8）或（﹣6，8）．