梅河口市第五中学2024届高三下学期第一次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份梅河口市第五中学2024届高三下学期第一次模拟考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是( )
A.9B.8C.7D.4
2．已知向量，满足，，则的值为( )
A.4B.3C.2D.0
3．已知，，，则( )
A.B.C.D.
4．已知椭圆G：，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线AP，BP的斜率之积为( )
A.B.C.D.
5．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力的视标边长约为10cm，则视力的视标边长约为( )
A.B.C.D.
6．辽宁的盘锦大米以粒粒饱满､口感香糯而著称.已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为( )
A.14.4B.9.6C.24D.48
7．已知动点P在直线上，过P总能作圆的两条切线，切点为A，B，且恒成立，则a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．已知函数满足，，则( )
A.10000B.10082C.10100D.10302
二、多项选择题
9．已知、都是复数，下列正确的是( )
A.若，则
B.
C.若，则
D.
10．为得到函数的图象，只需要将函数的图象( )
A.向左平行移动个单位B.向左平行移动个单位
C.向右平行移动个单位D.向右平行移动个单位
11．已知P是直线上的动点，O为坐标原点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则( )
A.当点P为直线l与x轴的交点时，直线经过点
B.当为等边三角形时，点P的坐标为
C.的取值范围是
D.的最小值为
三、填空题
12．若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______.
13．在的展开式中，含的项的系数是______.（用数字作答）
14．已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______.
四、解答题
15．已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
16．如图，在三棱锥中，平面平面，且，.
（1）证明：平面.
（2）若，点M满足，求二面角的大小.
17．如图，平行六面体中，E、F分别为、的中点，N在上.
（1）求证：平面；
（2）若，，平面，，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过点P的直线与C交于A，B两点（点A在点B的左侧）.
（1）若点A是线段的中点，求点A的坐标；
（2）若直线与C交于点D，记内切的半径为r，求r的取值范围.
19．黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一.它与函数（，，s为常数）密切相关，请解决下列问题.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时；
①证明有唯一极值点；
②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论.
参考答案
1．答案：D
解析：
2．答案：C
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：C
解析：
5．答案：A
解析：
6．答案：A
解析：因为M服从正态分布，且，所以，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数，所以.
7．答案：D
解析：依题意可得直线l与圆C相离，且，则，所以，所以，解得.
8．答案：C
解析：
9．答案：BD
解析：
10．答案：ACD
解析：
11．答案：ABC
解析：
12．答案：0
解析：
13．答案：-3
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时，.
当时，由，
得，
则，则.
因为也符合上式，所以.
（2）证明：由（1）可得，
则
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，取O为的中点，连接.
因为，所以.
因为平面平面，且两平面相交于，所以平面.
因为平面，所以.
又，且，所以平面.
（2）过点A作的平行线，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，，.
设平面的法向量为，
则即令，得.
易知平面的一个法向量为，
所以.
由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，设的中点为O，连接、.
F为的中点，
且.
又为的中点，且四边形是平行四边形，
且
四边形为平行四边形.
.
又平面，平面，
平面.
（2）.
18、
（1）答案：或
解析：由题意知，设点，
因为点A是线段的中点，所以，
又点A，B都在抛物线C上，所以，
解得，，所以点A的坐标为或.
（2）答案：
解析：由题意可知直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，，
由点A在点B的左侧，则，
设，直线与x轴交于点E，
联立，得，
由，得，，
，，所以，
而，所以直线的斜率存在，所以直线的方程为，
与联立得，，
化简得，解得或，
因为直线的斜率存在，所以，所以轴.
所以，
的周长为，
所以，
所以
.
令，则，
因为在上均单调递减，
则在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，
所以r的取值范围为.
19．答案：（1）在上单调递减
（2）①证明见解析；②在上单调递增，证明见解析
解析：（1）由，，可得，
令，则；
又，，所以，，即恒成立；
即函数在上单调递减，
又，所以，
可得恒成立，因此函数在上单调递减，
即当时，函数在上单调递减；
（2）当时，
①由（1）可知
令，可得，
易知当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
即函数在处取得极大值，也是最大值；
注意到，由单调性可得，可知在大于零，
不妨取，则；
由零点存在定理可知存在唯一变号零点，
所以存在唯一变号零点满足，
由单调性可得，当时，，当时，；
即可得函数在上单调递增，在单调递减；
所以有唯一极大值点；
②记的唯一极值点为，即可得
由可得，
即可得的反函数，
令，，则，
构造函数，，则，
显然在恒成立，所以在上单调递增，
因此，即在上恒成立，
而，即，所以在上恒成立，
即可得在上恒成立，因此在单调递增；
易知函数与其反函数有相同的单调性，所以函数在上单调递增.