2024年小升初数学典型例题系列-专题12：比和比例·综合应用篇专项训练--(原卷版+解析版)

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一、填空题。
1．（比的化简与应用）少先队员进行了有关垃圾分类的工作。上午，他们捡拾了可回收垃圾15千克，其他垃圾0.025吨，可回收垃圾与其它他垃圾的最简质量比是( )，它们的比值是( )。
【答案】 3∶5
【分析】根据比的意义，用捡拾了可回收垃圾的重量∶其他垃圾的重量，化简，即可；再根据比值的求法：用比的前项÷比的后项，即可解答。注意单位名数的统一。
【详解】15千克∶0.025吨
＝15千克∶25千克
＝（15÷5）∶（25÷5）
＝3∶5
3∶5
＝3÷5
＝
少先队员进行了有关垃圾分类的工作。上午，他们捡拾了可回收垃圾15千克，其他垃圾0.025吨，可回收垃圾与其它他垃圾的最简质量比是3∶5，它们的比值是。
2．（比的化简与应用）已知合唱团男生人数的与女生人数的相等，这个合唱团的男生人数与女生人数的最简单的整数比是( )；如果女生有22人，这个合唱团有( )人。
【答案】 14∶11 50
【分析】由题意可知，男生人数×＝女生人数×，将这个等式最后的结果用赋值法为1，则男生为，女生为。则男生和女生的比为，根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘6，得出最简整数比是14∶11。女生有11份是22人，平均每一份就是2人，合唱团的总人数是25份，则总人数是50人。
【详解】男生人数×＝女生人数×＝1
男生人数表示为，女生人数表示为
男生人数∶女生人数＝
22÷11×（14＋11）
＝2×25
＝50（人）
则这个合唱团的男生人数与女生人数的最简单的整数比是14∶11；如果女生有22人，这个合唱团有50人。
3．（按比例分配问题）一个三角形三个内角的度数比是2∶1∶3，这是一个( )三角形。
【答案】直角
【分析】已知三角形的内角和为180°，一个三角形三个内角的度数比是2∶1∶3，则三角形中最大内角的度数占内角和的，根据求一个数的几分之几是多少，用内角和乘，即可求出最大内角的度数；再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。
【详解】180°×
＝180°×
＝90°
这是一个直角三角形。
4．（比的化简与应用）一套课桌椅共320元，其中椅子的价格是桌子的。椅子价格与桌子价格的比是( )，桌子的价格是( )元。
【答案】 3∶5 200
【分析】椅子的价格是桌子的，则椅子的价格是这套桌椅价格的，用该套桌椅的价格乘椅子的分率即可求出椅子的价格，用总价减去椅子的价格就是桌子的价格，然后根据比的意义写出椅子价格与桌子价格的比即可。
【详解】320×
＝320×
＝120（元）
320－120＝200（元）
120∶200
＝（120÷40）∶（200÷40）
＝3∶5
椅子价格与桌子价格的比是3∶5，桌子的价格是200元。
5．（比的化简与应用）甲乙两数的比是3∶4，乙数占两数和的( )%，甲数比乙数少( )%。
【答案】 57.1 25
【分析】已知甲乙两数的比是3∶4，可以假设甲数是3份，那么乙数是4份，用甲数加上乙数，求出两数的份数和，根据百分数除法的意义，求乙数是两数和的百分之几，即用乙数除以两数和即可；
求甲数比乙数少百分之几，就是将乙数看作单位“1”，用乙数减去甲数的差，除以乙数，就是甲数比乙数少百分之几，由此求解即可。
【详解】由分析可得：
假设甲数是3份，那么乙数是4份，
乙数占两数和的百分之几：
4÷（3＋4）
＝4÷7
≈57.1%
甲数比乙数少百分之几：
（4－3）÷4
＝1÷4
＝25%
综上所述：甲乙两数的比是3∶4，乙数占两数和的57.1%，甲数比乙数少25%。
6．（比的化简与应用）大、小圆的半径之比是4∶1，则它们的直径之比是( )，面积之比是( )。
【答案】 4∶1 16∶1
【分析】因为大、小圆的半径之比是4∶1，可以假设大圆半径为4，小圆半径为1；
根据圆的直径和半径的关系：d＝2r，圆的面积公式：S＝πr2，将数据代入列出比，进行化简即可。
【详解】由分析可得：
假设大圆半径为4，小圆半径为1，
小圆直径：1×2＝2
大圆直径：4×2＝8
大圆和小圆直径的比是：
8∶2
＝（8÷2）∶（2÷2）
＝4∶1
大圆面积：
π×42
＝π×16
＝16π
小圆面积：
π×12
＝π×1
＝π
大圆和小圆面积的比是：
16π∶π
＝（16π÷π）∶（π÷π）
＝16∶1
大、小圆的半径之比是4∶1，则它们的直径之比是4∶1，面积之比是16∶1。
7．（比的化简与应用）爷爷奶奶通过“微信运动”每天记录步行的步数。上午爷爷走了3600步，比奶奶少，奶奶和爷爷的步数比是( )，奶奶比爷爷多走。
【答案】6∶5；
【分析】先把奶奶的步数看作单位“1”，已知比一个数少几分之几是多少，用除法计算，用3600÷（1－）即可求出奶奶的步数。根据比的基本性质，化简比即可；再用奶奶和爷爷的步数之差除以爷爷的步数即可求出奶奶比爷爷多走几分之几。
【详解】3600÷（1－）
＝3600÷
＝3600×
＝4320（步）
4320∶3600
＝（4320÷720）∶（3600÷720）
＝6∶5
（4320－3600）÷3600
＝720÷3600
＝
所以奶奶和爷爷的步数比是6∶5，奶奶比爷爷多走。
8．（按比例分配问题）火药是我国四大发明之一，古书中记载为“一硫二硝三木炭”，由硫磷、硝石、木炭按照1∶2∶3比例制作而成，古人制作千克的火药，需要( )千克木炭。
【答案】
【分析】根据题意，硫磷、硝石、木炭的比是1∶2∶3，则木炭占硫磷、硝石、木炭的，用制作火药的重量×，即可求出需要木炭的重量，据此解答。
【详解】×
＝×
＝（千克）
火药是我国四大发明之一，古书中记载为“一硫二硝三木炭”，由硫磷、硝石、木炭按照1∶2∶3比例制作而成，古人制作千克的火药，需要千克木炭。
9．（比例的应用）学校图书馆有科技书和文学书各360本，要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置( )本文学书。
【答案】180
【分析】
可以设当科技书和文学书的本数的比是2∶3时，现在文学书的本数是x本，科技数的本数不变是360本，利用科技书和文学书的本数之比是2∶3，列出比例，解比例即可求出现在文学书的本数，用现在文学书的本数减去360，所得结果即为需要添置文学书的本数，据此解答。
【详解】解：设现在文学书的本数是x本。
360∶x＝2∶3
2×x＝360×3
2x＝1080
2x÷2＝1080÷2
x＝540
540－360＝180（本）
因此要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置180本文学书。
10．（比例的应用）爸爸买了一辆自行车，明明用脚踏板蹬一圈，发现后齿轮转两圈。他数出后齿轮齿数是18个，所以推测出这辆自行车前齿轮齿数是( )个。
【答案】36
【分析】用脚踏板蹬一圈，后齿轮转两圈，说明前后齿轮齿数的比是2∶1，设这辆自行车前齿轮齿数是x个，根据前齿轮齿数∶后轮齿数＝2∶1，列出比例解答即可。
【详解】解：设这辆自行车前齿轮齿数是x个。
x∶18＝2∶1
x＝18×2
x＝36
这辆自行车前齿轮齿数是36个。
11．（比的化简与应用）糖果礼盒由水果糖、奶糖、巧克力糖组成，已知水果糖与奶糖的数量比为1∶6，巧克力糖与奶糖的数量比为2∶5，那么水果糖、奶糖、巧克力糖这三种糖的数量比为( )。
【答案】5∶30∶12
【分析】本题考查已知三个量中任意两个量的比，求这三个量的比。题中给出的两个比中都有“奶糖”，所以需要把两个比中奶糖对应的数转化为相同的数，6和5的最小公倍数是30，根据比的基本性质，将水果糖与奶糖的数量比转化为5∶30，巧克力糖与奶糖的数量比转化为12∶30，那么水果糖、奶糖、巧克力糖这三种糖的数量比为。
【详解】5和6的公因数只有1，所以5和6的最小公倍数为
水果糖与奶糖的数量比为：
巧克力糖与奶糖的数量比为：
那么水果糖、奶糖、巧克力糖这三种糖的数量比为。
12．（不变量问题）盒子里有红、黄两种玻璃球，红球的个数与黄球的个数之比为4∶7，如果每次取出4个红球和5个黄球，若干次后，盒子里只剩下24个黄球，那么盒子里原有( )个玻璃球。
【答案】132
【分析】
可以设取了x次，每次取出4个红球，则红球有4x个。每次取出5个黄球，盒子里只剩下24个黄球，则黄球有（5x＋24）。红球的个数与黄球的个数之比为4∶7，列出比例，求出方程的解。则盒子里面原有的球＝4×拿的次数＋5×拿的次数＋24。
【详解】解：设取了x次
4×12＋5×12＋24
＝48＋60＋24
＝132（个）
则盒子里原有132个。
二、解答题。
13．（按比例分配问题）“嫦娥二号”卫星从发射到进入距月球表面100千米的探月轨道的这段时间称之为奔月时间，“嫦娥二号”的奔月时间是112小时。卫星发射一段时间后，已经飞行的时间与剩下的奔月时间的比是3∶5，卫星已经飞行了多少小时？
【答案】42小时
【分析】把“嫦娥二号”的奔月时间看作单位“1”，已知卫星发射一段时间后，已经飞行的时间与剩下的奔月时间的比是3∶5，则已经飞行的时间占奔月总时长的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答即可。
【详解】112×
＝112×
＝42（小时）
答：卫星已经飞行了42小时。
14．（按比例分配问题）某学校四五六三个年级学生为贫困地区学生共捐赠图书3000本，已知这三个年级捐赠图书的比是4∶5∶6，求每个年级捐赠了多少本图书？
【答案】四年级捐赠800本；五年级捐赠1000本；六年级捐赠1200本
【分析】把四五六三个年级学生为贫困地区学生共捐赠的图书数量看作单位“1”，已知这三个年级捐赠图书的比是4∶5∶6，则四年级捐赠图书的数量占总数是，五年级捐赠图书的数量占总数是，六年级捐赠图书的数量占总数是，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出每个年级捐赠的图书数量即可。
【详解】3000×
＝3000×
＝800（本）
3000×
＝3000×
＝1000（本）
3000×
＝3000×
＝1200（本）
答：四年级捐赠图书800本，五年级捐赠图书1000本，六年级捐赠图书1200本。
15．（按比例分配问题）在比例尺是1∶8000000的地图上，量得A、B两地相距10.5厘米。现有甲、乙两车从A、B两地同时出发，3小时后相遇。已知甲、乙两车的平均速度比是4∶3，乙车的平均速度是多少千米/时？
【答案】120千米/时
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出A、B 两地的实际距离；再据“路程÷相遇时间＝速度和”即可求出两车的速度和，又知甲、乙两车的平均速度比是4∶3，则乙车的速度占速度和的，用速度和乘即可求出乙车的速度。
【详解】两地的实际距离：
10.5÷
＝10.5×8000000
＝84000000（厘米）
84000000厘米＝840千米
速度和：
840÷3＝280（千米/时）
乙车的速度是：
280×＝120（千米/时）
答：乙车的平均速度是120千米/时。
16．（按比例分配问题）一个长方形的周长是88厘米，宽与长的比是4∶7，这个长方形的面积是多少？
【答案】448平方厘米
【分析】周长÷2＝长宽和，将比的前后项看成份数，长宽和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长和宽的对应份数，求出长和宽，根据长方形面积＝长×宽，列式解答即可。
【详解】88÷2＝44（厘米）
44÷（4＋7）
＝44÷11
＝4（厘米）
4×4＝16（厘米）
4×7＝28（厘米）
28×16＝448（平方厘米）
答：这个长方形的面积是448平方厘米。
17．（不变量问题）甲、乙两人的钱数之比是7∶5，如果甲给乙1.8元，则两人的钱数之比变为4∶3，甲、乙两人现在各有多少钱？
【答案】甲86.4元；乙64.8元
【分析】通过审题，根据甲、乙两人原来的钱数比是7∶5，可以知道甲原来的钱占两人钱总数的，根据这时甲、乙两人的钱数比是4∶3，可以知道甲现在的钱占两人钱总数的，比原来少了（－），少了1.8元，因此用1.8÷（－），就可以计算出两人钱的总数，然后再平均分成4＋3＝7份，其中4份是甲，3份是乙，据此即可解答问题。
【详解】甲乙共有：
＝1.8÷（－）
＝1.8÷
＝1.8×84
＝151.2（元）
甲现有：
＝151.2×
＝86.4（元）
乙现有：
＝151.2×
＝64.8（元）
答：甲现在有86.4元，乙现在有64.8元。
18．（按比例分配问题）在数学史上，商高是最早发现“勾股定理”的人，他提出了“勾三股四弦五”的说法，如果一个直角三角形短直角边（勾）的长是3，长直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长一定是5。也就是：勾∶股∶弦。我用一根长72厘米的铁丝围成一个直角三角形，请你分别求出这个直角三角形三条边的长。
【答案】18厘米；24厘米；30厘米
【分析】由勾∶股∶弦知，把这个直角三角形的周长看作单位“1”，则勾占这个三角形的，股占这个三角形的，弦占这个三角形的，然后根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，据此解答即可。
【详解】勾：
=18（厘米）
股：
=72×
=24（厘米）
弦：72×
=72×
=30（厘米）
答：这个直角三角形三条边的长分别是18厘米，24厘米，30厘米。
【点睛】本题主要考查了比的应用，解答本题的关键是把这个直角三角形的周长看作单位“1”，然后根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算解答。
19．（正比例与实际应用）用100千克黄豆可以榨油16千克，照这样计算，50吨黄豆可以榨油多少吨？（用比例解）
【答案】8吨
【分析】根据题意，100千克黄豆可以榨油16千克，每千克黄豆榨油的千克数一定，则油的千克（或吨）数与黄豆的千克（或吨）数成正比例，设50吨黄豆可以榨油x吨，列比例：100∶16＝50∶x，解比例，即可解答。
【详解】解：设50吨黄豆可以榨油x吨。
100∶16＝50∶x
100x＝16×50
100x＝800
x＝800÷100
x＝8
答：50吨黄豆可以榨油8吨。
20．（正比例与实际应用）邵伯小学校园里的古银杏树已生长760多年，枝叶茂盛，生机勃勃。活动课上同学们在树旁垂直立了一根1.2米长的竹竿，上午10点同时测出大树和竹竿的影长分别是16米、0.8米。你能根据这些信息算出古银杏树的高度吗？
【答案】24米
【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度成正比例，由此列式解答即可。
【详解】解：设古银杏树的高度为x米。
x∶16＝1.2∶0.8
0.8x＝1.2×16
0.8x＝19.2
0.8x÷0.8＝19.2÷0.8
x＝24
答：古银杏树的高度是24米。
21．（正比例与实际应用）一辆汽车从甲城开往乙城，3小时行驶了156千米。用同样的速度再行驶2.5小时到达乙城，甲、乙两城相距多少千米？（用比例解答）
【答案】286千米
【分析】因速度一定，所以路程与时间的比成正比例。可设2.5小时行x千米，据此列式x∶2.5＝156∶3，解此比例可求得2.5小时行驶的路程，再加上前3小时行的路程就是甲乙两地的距离。
【详解】解：设2.5小时行x千米。
x∶2.5＝156∶3
3x＝2.5×156
3x÷3＝3903＝÷3
x＝130
130＋156＝286（千米）
答：甲、乙两城相距286千米。
22．（正比例与实际应用）一位工人加工40个零件要3.5小时，照这样计算，加工280个零件要用多少小时？（要求用比例解答）
【答案】24.5小时
【分析】由题意可知，这位工人平均每小时加工零件的个数一定，据此列正比例式解答。
【详解】解：设加工280个零件要用x小时。
40∶3.5＝280∶x
40x＝3.5×280
40x÷40＝980÷40
x＝24.5
答：加工280个零件要用24.5小时。
【点睛】解答此题的关键：先判断出题中给出的两种相关联的量是成正比例还是反比例，进而列出比例式解答。
23．（反比例与实际应用）一间教室，用面积9平方分米的方砖铺地需要800块。如果改用边长5分米的方砖铺，需要多少块？（用比例解）
【答案】288块
【分析】教室的面积一定，方砖的面积和方砖的块数成反比例，据此列出方程，运用比例的基本性质解方程；比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。
【详解】解：设需要x块边长为5分米的方砖。
9×800＝52×x
52x＝7200
x＝7200÷25
x＝288
答：需要288块。
24．（反比例与实际应用）一辆汽车从北京开往济南，如果平均每小时行100千米，5.5小时可以到达。如果平均每小时行110千米，可以提前几小时到达？
【答案】0.5时
【分析】设实际x小时可以到达，根据速度×时间＝路程（一定），列出反比例算式求出x的值是实际到达时间，实际到达时间－5.5小时＝提前到达时间，据此列式解答。
【详解】解：设实际x小时可以到达。
110x＝100×5.5
110x＝550
110x÷110＝550÷110
x＝5
5.5－5＝0.5（小时）
答：可以提前0.5小时到达。
25．（反比例与实际应用）一位打字员打一本书稿，如果每天打18页，15天可以打完。若要10天打完，每天应打多少页？（用比例解答）
【答案】27页
【分析】根据题意知道，一本书的总页数一定，即总工作量一定，工作效率和工作时间成反比例，关系式是：原来每天打字字数×时间＝现在每天打字字数×时间，由此列式解答即可。
【详解】解：设每天打页。
270＝10x
10x÷10＝270÷10
答：每天打27页。
26．（反比例与实际应用）一台机器，大齿轮有45个齿，每分转60转，小齿轮有25个齿，每分转多少转？
【答案】108转
【分析】每个齿轮的齿数×转过的转数＝转过的总齿数（乘积一定），所以每个齿轮的齿数与转过的转数成反比例。设小齿轮每分转转，据此列方程求解。
【详解】解：设小齿轮每分转转，
（转）
答：小齿轮每分转108转。
27．（不变量问题）有两袋面粉，甲袋重126千克，从甲袋中取出，从乙袋中取出60%以后，这时甲、乙两袋余下的面粉重量比是3∶2。问：乙袋原有面粉多少千克？
【答案】140千克
【分析】把甲袋原来的重量看作单位“1”，取出，剩余（1－），根据分数乘法的意义，用126×（1－）即可求出甲袋剩余的重量，已知甲、乙两袋余下的面粉重量比是3∶2，则用甲袋剩余的重量除以3即可求出每份的重量，再乘2即可求出2份的重量，也就是乙袋剩余的重量。从原来乙袋中取出60%，剩余（1－60%），把原来乙袋的重量看作单位“1”，根据百分数除法的意义，用乙袋剩余的重量÷（1－60%）即可求出原来乙袋的重量。
【详解】126×（1－）
＝126×
＝84（千克）
84÷3×2＝56（千克）
56÷（1－60%）
＝56÷40%
＝140（千克）
乙袋原有面粉140千克。
【点睛】本题考查了分数、百分数、比的灵活应用，找到对应的单位“1”和分率是解答本题的关键。