2024年小升初数学典型例题系列-专题29：一般应用题·分数和百分数应用题(三)·拓展版专项训练--(原卷版+解析版)

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【专项训练】
1．小丽做一份练习题，第一时做完了全部的，第二时做完了余下的，第三时做完了余下的，这时余下24道题没有做，则这份练习题共有多少道？
【答案】60道
【分析】把题目总数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，第一时做完后剩余（1－），第二时做完后剩余（1－）×（1－），第三时做完后剩余（1－）×（1－）×（1－），对应的是24道，已知一个数的几分之几是多少，求这个用除法计算，据此求出题目的总量。
【详解】24÷[（1－）×（1－）×（1－）]
＝24÷[]
＝24÷
＝24×
＝60（道）
答：这份练习题共有60道。
【点睛】解答此题的关键是要找准每次乘法计算的单位“1”，找出24所对应的分率。
2．有两袋面粉，甲袋重126千克，从甲袋中取出，从乙袋中取出60%以后，这时甲、乙两袋余下的面粉重量比是3∶2。问：乙袋原有面粉多少千克？
【答案】140千克
【分析】把甲袋原来的重量看作单位“1”，取出，剩余（1－），根据分数乘法的意义，用126×（1－）即可求出甲袋剩余的重量，已知甲、乙两袋余下的面粉重量比是3∶2，则用甲袋剩余的重量除以3即可求出每份的重量，再乘2即可求出2份的重量，也就是乙袋剩余的重量。从原来乙袋中取出60%，剩余（1－60%），把原来乙袋的重量看作单位“1”，根据百分数除法的意义，用乙袋剩余的重量÷（1－60%）即可求出原来乙袋的重量。
【详解】126×（1－）
＝126×
＝84（千克）
84÷3×2＝56（千克）
56÷（1－60%）
＝56÷40%
＝140（千克）
乙袋原有面粉140千克。
【点睛】本题考查了分数、百分数、比的灵活应用，找到对应的单位“1”和分率是解答本题的关键。
3．有两桶油，甲桶比乙桶少20升，现在把乙桶油的倒入甲桶，这时甲桶油比乙桶油多5升。原来两桶油各有多少升？
【答案】甲桶装油42.5升；乙桶装油62.5升。
【分析】是把乙桶原来的质量看作单位“1”，“甲桶油比乙桶油少20升，变成甲桶油比乙桶油多5升，”由原来的甲桶油比乙桶油少，到后来的甲桶油比乙桶油多，那么实际是倒入了（20＋5）升的一半，也就是原来乙桶油的，即原来乙桶油的就是（20＋5）升，由此根据分数除法的意义解答即可。
【详解】
＝
＝62.5（升）
62.5－20＝42.5（升）
答：原来甲桶油有42.5升，原来乙桶油有62.5升。
【点评】关键是找准单位“1”，找准单位“1”对应的具体的数量和单位“1”对应的分数，用除法计算即可。
4．甲、乙、丙、丁四个小组同学按下列方法分配苹果：甲组取了全部的又81个，乙组取了甲组取后所剩下的又81个，丙组取了乙组取后所剩下的又81个，最后丁组取了丙组取后余下的和所剩下的81个。问甲组取了多少个苹果？
【答案】256个
【分析】丙组取后余下的和所剩下的81个，是将余下的苹果是单位“1”，取了后，剩下的是81个，已知一个数的几分之几，求这个数，用除法得出丙取完剩下108个。
同理丙组取了乙组取后所剩下的又81个，也就是将乙组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下108个，也就是乙组取后所剩的苹果个数的是189个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是252个。
同理乙组取了甲组取后所剩下的又81个，也就是将甲组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下252个，也就是甲组取后所剩的苹果个数的是333个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是444个。
同理甲组取了全部的又81个，也就是将全部苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下444个，也就是全部苹果个数的是525个，则用除法得出全部苹果个数是700个。
甲组取的苹果个数＝全部的苹果个数×＋81。
【详解】81÷（1－）
＝81÷
（个）
（108＋81）÷（1－）
＝189÷
＝
＝252（个）
（252＋81）÷（1－）
＝333÷
＝
＝444（个）
（444＋81）÷（1－）
＝525÷
＝
＝700（个）
700×＋81
＝175＋81
＝256（个）
答：甲组取了256个苹果。
【点睛】解决复杂的还原问题，已知多个对象的变化过程和结果，求开始时各自的量，这类问题是较复杂的还原问题，常涉及倍数变化。一般情况下可以结合列表法来解决。
5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著。书中记载了这样一个数学问题：有人背米过关卡，过外关时，用全部米的纳税，过中关时用剩余米的纳税，过内关时再用剩余米的纳税，最后还剩5斗米。这个人一共背了多少斗米过关卡？
【答案】斗
【分析】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时剩余米的，最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余米的，过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最后将背的米的总斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的斗数是背的米的总斗数的，过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据此列式解答。
【详解】
（斗）
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答。
6．星期五下午实验小学进行清洁大扫除活动，六（1）班参加大扫除的女生是男生的，后来调走22名女生，又调入22名男生，这时女生是男生的，这个小学原来参加大扫除活动的有多少人？
【答案】90人
【分析】设原来参加大扫除活动的男生有x人，则原来参加大扫除活动的女生有x人，根据“调走22名女生，又调入22名男生，这时女生是男生的”，可列出方程： x－22＝（x＋22），据此即可解答。
【详解】解：设参加大扫除活动的男生有x人
x－22＝（x＋22）
x－22＝x＋
x－x＝＋22
x－x＝＋22
x＝＋
x＝
x÷＝÷
x×＝×
x＝50
50×＝40（人）
50＋40＝90（人）
答：这个小学原来参加大扫除活动的有90人。
【点睛】明确这一过程中根据前后女生占男生人数的分率列出方程是完成本题的关键。
7．一辆长途客车只有40%的座位坐了人，如果再增加16人，则已坐座位和空座的比是4∶1。这辆车共有多少个座位？
【答案】40个
【分析】将座位总数看作单位“1”，根据已坐座位和空座的比是4∶1，可知再增加16人，已坐座位是座位总数的，增加16人，增加了座位总数的（－40%），增加的人数÷对应分率或百分率＝座位总数，据此列式解答。
【详解】16÷（－40%）
＝16÷（－40%）
＝16÷（0.8－0.4）
＝16÷0.4
＝40（个）
答：这辆车共有40个座位。
【点睛】关键是确定单位“1”，根据已坐座位和空座的比确定增加16人后已坐座位的对应分率，从而确定16人的对应分率或百分率。
8．姐姐和妹妹打算折一些星星装满许愿瓶，姐姐和妹妹折的星星数量的比为5∶3，姐姐把自己折的星星送给妹妹11颗，此时，姐姐和妹妹的数量比为3∶4，那么，姐姐和妹妹两人各自折了多少颗星星？
【答案】姐姐35颗；妹妹21颗
【分析】根据题意可知，姐妹两人折的星星的总数不变，把两人折的星星的总数看作单位“1”；
已知原来姐姐和妹妹星星数量的比为5∶3，即原来姐姐的星星数量占总数的；
姐姐送了11颗星星给妹妹后，姐姐和妹妹的数量比为3∶4，即后来姐姐的星星数量占总数的；
那么姐姐送给妹妹的11颗星星占总数的（－），单位“1”未知，用除法计算，即可求出星星的总数；
再根据求一个数的几分之几是多少，用星星的总数乘，求出姐姐折星星的数量；
最后用星星的总数减去姐姐折的数量，就是妹妹折星星的数量。
【详解】星星的总数：
11÷（－）
＝11÷（－）
＝11÷（－）
＝11÷
＝11×
＝56（颗）
姐姐：56×＝35（颗）
妹妹：56－35＝21（颗）
答：姐姐折了35颗星星，妹妹折了21颗星星。
【点睛】抓住两人折的星星总数不变，把星星总数看作单位“1”，把比转化成分数，找出11颗星星占星星总数的几分之几，然后根据分数除法的意义求出星星的总数是解题的关键。
9．一堆煤，先用去总数的，又用去剩下的，这时用去的比剩下的多31吨，这堆煤原来有多少吨？
【答案】93吨
【分析】把这堆煤的总数看作单位“1”，先用去总数的，则还剩下总数的1－＝；又用去剩下的，即又用去总数的×＝；两次一共用去总数的＋＝；两次用去后还剩下总数的1－＝；
已知这时用去的比剩下的多31吨，占总数的（－），单位“1”未知，用除法计算，即可求出这堆煤原有的吨数。
【详解】又用去总数的：
（1－）×
＝×
＝
一共用去总数的：
＋
＝＋
＝
还剩下总数的：
1－＝
总数：
31÷（－）
＝31÷
＝31×3
＝93（吨）
答：这堆煤原来有93吨。
【点睛】本题考查分数乘除法的应用，找出单位“1”，关键是分析用去的比剩下的多31吨占总数的几分之几，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。
10．某工厂有甲、乙、丙三个车间，已知甲车间人数比丙车间人数少，而丙车间人数比乙车间人数多，且又比甲、乙两车间人数和的少4人。三个车间共有多少人？
【答案】306人
【分析】题目中有两个单位“1”，应先统一单位“1”。由甲车间人数比丙车间人数少可知，甲车间人数是丙车间人数的；由丙车间人数比乙车间人数多可知，乙车间人数是丙车间的；甲、乙两车间的人数和的可表示为丙车间人数的（＋）×，则丙车间比甲、乙两车间的人数和的少的人数是丙车间人数的，再根据丙车间人数比甲、乙两车间的人数和的少4人，用分数除法可算出丙车间人数，进而用分数乘法求出甲车间和乙车间人数，三车间人数相加即可算出一共的人数。
【详解】
＝
＝
＝
丙车间人数：（人）
甲车间人数：（人）
乙车间人数：（人）
三车间一共的人数：（人）
答：三个车间共有306人。
【点睛】本题考查分数乘法和除法的应用，求一个数的几分之几是多少，用分数乘法计算；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用分数除法计算。
11．小明看一本童话书，第一天看了全书的，第二天看了45页，这时已看的和未看的页数比为，全书共多少页？
【答案】675页
【分析】将总页数看作单位“1”，根据已看的和未看的页数比为，可以确定已看页数是总页数的，第二天看了总页数的（－），第二天看的页数÷对应分率＝总页数，据此列式解答。
【详解】45÷（－）
＝45÷（－）
＝45÷
＝45×15
＝675（页）
答：全书共675页。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义，根据比的意义，确定已看页数的对应分率。
12．一堆水果，卖掉后，又卖掉了120千克，这时卖出的比剩下的多，这堆水果原来有多少千克？
【答案】300千克
【分析】已知卖出两次后，卖出的比剩下的多，把卖出两次后剩下的质量看作单位“1”，卖出两次后卖出的就是，则这堆水果的总质量就是，用卖出两次后卖出的占的百分率总质量占的百分率，求出卖出两次后卖出的相当于总重量的百分之几；把水果的总质量看作单位“1”，用卖出两次的占总重量的百分率减去第一次卖出的占的百分率，求出第二次卖出的占的百分率；用第二次卖出的质量对应的分率，求出这堆水果原来的质量。
【详解】
（千克）
答：这堆水果原来有300千克。
【点睛】本题考查百分数的应用。关键是把“卖出两次后卖出的比剩下的多”转化为“卖出两次后卖出的占水果总质量的百分之几”。
13．一列货运列车从甲地开往乙地，如果将车速提高20%，可以比原计划提前1小时到达，如果先以原速度行驶640千米后，再将车速提高25%，则可提前40分钟到达，求甲乙两地之间的距离及火车原来的速度。
【答案】甲乙距离：1440千米；速度：240千米/小时
【分析】车速提高20%，比原计划提前1小时到达，用1÷20%，求出提速后用的时间，再加上1，求出原计划用的时间；即1÷20%＋1＝6小时； 40分钟＝ 小时；用÷25%，求出行640千米后需要的时间，再加上，即÷25%＋，求出行640千米后原来用的时间，再用原计划用的时间减去行640千米用原来用的时间，求出行640千米用的时间，再根据速度＝路程÷时间，用640÷行640千米所以得时间，求出原来计划用的速度，再根据路程＝速度×时间，用原来计划用的速度×原来计划用的时间，即可解答。
【详解】原计划用的时间：
1÷20%＋1
＝5＋1
＝6（小时）
40分钟＝ 小时
行640千米后用的时间；
÷25%＋
＝ ＋
＝（小时）
640÷（6－）
＝640÷
＝640×
＝240（千米/小时）
甲乙两地距离：240×6＝1440（千米）
答：甲乙两地的距离是1440千米，火车原来的速度是240千米/小时。
【点睛】考查了行程问题，关键是求出火车按原计划速度到达乙地所需要的时间。
14．一辆汽车从A地到B地，只有25%的平路，上坡路与总路程的比为2∶5，其余为下坡路，这辆汽车往返一趟共走了96千米的上坡路，A、B间的路程是多少千米？
【答案】128千米
【分析】把A、B间的总路程看作单位“1”，根据题意可知，去时，也即从A地到B地，上坡路占总路程的，下坡路占总路程的1－25%－＝；返回时，也即从B地到A地，去时的下坡路就成了上坡路；也就是往返一趟一共走的上坡路占两地之间路程的＋，它对应的具体的数量正好是96千米，根据分数除法的意义，用除法计算问题得解。
【详解】去时，上坡路占总路程的：2∶5＝
返回时，上坡路占总路程的：1－25%－
＝－
＝
往返一趟走的上坡路占两地之间路程的：＋＝
A、B间的路程：96÷
＝96×
＝128（千米）
答：A、B间的路程是128千米。
【点睛】解决此题关键是明白去时的下坡路，返回时就成了上坡路；求出往返一趟共走上坡路的具体数量96千米对应的分率，问题即可得解。
15．可可读《奔跑的少年》这本积极向上，充满正能量的书籍。第一周读总页数的，第二周读的页数与第一周读的页数比是，这时还有63页没有读，这本书共多少页？
【答案】360页
【分析】将总页数看作单位“1”，根据第二周读的页数与第一周读的页数比是，可以确定，第二周读的页数是第一周的，第二周读的页数是总页数的，还剩总页数的，没读的页数÷对应百分率＝总页数，据此列式解答。
【详解】
（页）
答：这本书共360页。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解比的意义，部分数量÷对应百分率＝整体数量。
16．一个水果店购进苹果的质量比橘子多25%，橘子与菠萝质量的比是8∶3，苹果比菠萝多140千克，该水果店购进苹果多少千克？
【答案】200千克
【分析】假设该水果店购进苹果x千克，则购进菠萝（x－140）千克，把橘子的质量看作8份，菠萝的质量看作3份，用菠萝的质量除以对应的份数，求出1份量是多少千克，再乘橘子对应的份数，即可表示出橘子的质量；再根据苹果的质量是橘子质量的（1＋25%），即苹果的质量＝橘子的质量×（1＋25%），据此列出方程，解方程即可求出该水果店购进苹果多少千克。
【详解】解：设该水果店购进苹果x千克，购进菠萝（x－140）千克，购进橘子（x－140）÷3×8千克，
x＝（x－140）÷3×8×（1＋25%）
x×3＝（x－140）×8×（1＋0.25）
3x＝（x－140）×（8×1.25）
3x＝（x－140）×10
3x＝x×10－140×10
10x－3x＝1400
7x＝1400
x＝1400÷7
x＝200
答：该水果店购进苹果200千克。
【点睛】此题主要考查比的应用以及比一个数多百分之几的数是多少的计算方法，把水果店购进苹果的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
17．家家乐水果店运进一批苹果，第一天卖出37.5%，第二天卖出剩下的，还剩下210千克苹果，第一天卖出多少千克苹果？
【答案】180千克
【分析】把这批苹果的总质量看作单位“1”，第一天卖出37.5%，那么还剩下总质量的1－37.5%＝62.5%；已知第二天卖出剩下的，则第二卖出总质量的62.5%×＝18.75%；
根据减法的意义，用“1”减去第一天、第二天卖出总质量的百分比，求出还剩下的苹果质量占总质量的百分比；然后根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出苹果的总质量；
最后根据求一个数的百分之几是多少，用苹果的总质量乘第一天卖出的百分比，即可求出第一天卖出苹果的质量。
【详解】第二天卖出全部的：
（1－37.5%）×
＝62.5%×0.3
＝18.75%
苹果的总质量：
210÷（1－37.5%－18.75%）
＝210÷0.4375
＝480（千克）
第一天卖出：
480×37.5%
＝480×0.375
＝180（千克）
答：第一天卖出180千克苹果。
【点睛】本题考查百分数乘除法的意义及应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据百分数除法的意义列式计算，求出苹果的总质量是解题的关键。
18．梅岭镇要修一条红色旅游路，第一天修了全长的25%多50米，第二天修了剩下的40%少20米，这时还剩下890米没有修，这条红色旅游路全长多少米？
【答案】2000米
【分析】首先把第一天修完剩下的看作单位“1”，这时还剩下的（890－20）米占第一天修完剩下的（1－40%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法求出第一天修完剩下的是多少米，再把这条红色旅游路的全长看作单位“1”，第一天修完剩下的加上50米占这条公路全长的（1－25%），再根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答。
【详解】[（890－20）÷（1－40%）＋50]÷（1－25%）
＝[870÷60%＋50]÷75%
＝1500÷75%
＝2000（米）
答：这条红色旅游路全长2000米。
【点睛】解答本题时要注意：首先把第一天修完剩下的部分看作单位“1”，再把这条公路的全长看作单位“1”，再据题中的数量关系列式解答。
19．有甲、乙两袋大米，甲袋有60千克，从甲袋取出，从乙袋取出25%后，甲、乙两袋剩余大米的质量比是8∶3。乙袋中原来有多少千克大米？
【答案】20千克
【分析】先把甲袋大米的质量看作单位“1”，取出后，再剩下（1－），根据分数乘法的意义，即可求出此时甲袋所剩大米的质量。再把甲袋所剩大米的质量平均分成8份，先用除法求出1份的质量，再用乘法求出3份的质量，即乙袋取出25%后剩大米的质量。再把乙袋原来大米的质量看作单位“1”，根据百分数除法的意义，用乙袋所剩大米的质量除以（1－25%），就是乙袋大米原来的质量。
【详解】60×（1－）÷8×3÷（1－25%）
＝60×÷8×3÷75%
＝20（千克）
答：乙袋中原来有20千克大米。
【点睛】关键是根据分数乘法的意义，求出甲袋取出后剩下的质量。除按上述解答方法外，也可把比转化成分数，求出乙袋取出25%后剩的质量，然后再根据百分数除法的意义，求乙袋原来的质量。
20．童装厂加工一批童装，第一天加工了40套，第二天加工的比总数的少4套。两天一共加工了总数的，这批童装共多少套？
【答案】180套
【分析】根据题意，把这批童装的数量看成“单位1”，两天一共加工了总数的，减去第二天加工了总数的，得第一天加工了总数的分率，它对应的数量是第一天加工的数量减4套，根据已知一个数的几分之几求这个数用除法解答。
【详解】（40－4）÷（－）
＝36÷
＝180（套）
答：这批童装共180套。
【点睛】本题考查分数除法的应用，关键是求出具体数量对应的分率。