2024年小升初数学典型例题系列-热点03：关于代数式的部分新式题型及问题-(原卷版+解析版)

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一、填空题。
1．如图，甲、乙两个箱子分别放了一些球。如果用字母表示，甲箱内球的个数可以表示为( )，乙箱内球的个数可以表示为( )，甲箱和乙箱内球的总数可以表示为( )。

【答案】 m（答案不唯一） n（答案不唯一） m＋n（答案不唯一）
【分析】据题意，用m表示甲箱内球的个数，用n表示乙箱内球的个数，那么甲箱和乙箱内球的总数为（m＋n）个，据此解答。
【详解】由分析可知：
甲箱内球的个数可以表示为m，乙箱内球的个数可以表示为n，甲箱和乙箱内球的总数可以表示为（m＋n）。
【点睛】本题考查用字母表示数，熟练掌握用字母表示数及数量关系是解题的关键。
2．如果x＋y＝90，那么x＋（y＋100）＝( )。
【答案】190
【分析】一个加数增加几，另一个加数不变，和增加几。据此可知，x不变，y增加100，和也增加100，得数是190。
【详解】如果x＋y＝90，那么x＋（y＋100）＝90＋100＝190
【点睛】本题考查用字母表示数以及和的变化规律，用字母将数量关系表示出来。
3．□＋□＋□＝△，△＋△＋□＋□＝72，□＝( )，△＝( )。
【答案】 9 27
【详解】□＋□＋□＝△
△＋△＋□＋□＝72
□＋□＋□＋□＋□＋□＋□＋□＝72
□×8＝72
□＝72÷8＝9
△＝□＋□＋□
＝□×3
＝9×3
＝27
【点睛】熟练掌握整数除法的计算方法是解答本题的关键。
4．如图所示，某数学兴趣小组成员用计算机编程编制了一个程序，进行数的混合运算。即输入一个数，按照程序顺序运算，可以输出计算结果。
(1)如果“输入”的数是2，通过“”、“”和“”的第一次的结果是( )，因为结果小于25，把第一次的结果又通过“”、“”和“”后得到第二次的结果是( )，因为结果还小于25，再把第二次的结果通过“”、“”和“”，因为结果大于25，最后，“输出”的数是( )。
(2)如果“输出”的数是26，求“输入”的数最大是( )。
(3)如果“输入”的数是a（a大于14），用a表示“输出”的结果是( )。
【答案】(1) 8 17 30.5
(2)14
(3)1.5a
【分析】根据程序顺序运算，输出计算结果即可。
【详解】（1）
所以第一次的结果是8；
所以第二次的结果是17；
所以最后，“输出”的数是30.5。
（2）
所以“输入”的数最大是14。
（3）因为a大于14，所以结果大于25，直接输出结果：。
【点睛】本题考查用字母表示数，解答本题的关键是掌握程序的运算顺序。
5．在1、2、3、…、n中，其中所有奇数的和是M，所有质数的和是N，所有偶数的和是P，所有合数的和是Q。那么（M＋P）－（N＋Q）＝( )。
【答案】1
【分析】在这些数中，所有偶数与所有奇数合起来就包含了所有的数；1既不是质数也不是合数，所有质数与所有合数合起来包含了除1以外的所有数；所以可得M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n，据此解答即可。
【详解】根据分析得，M＋P＝1＋2＋3＋…＋n，N＋Q＝2＋3＋…＋n，
所以（M＋P）－（N＋Q）
＝（1＋2＋3＋…＋n）－（2＋3＋…＋n）
＝1＋（2＋3＋…＋n－2－3－…－n）
＝1＋0
＝1
【点睛】此题主要考查奇数、偶数、质数、合数的定义以及分类标准来解决问题。
6．鞋的尺码通常用“cm”作单位，但我们昭通人习惯用“码”作单位。其实它们之间的换算关系式是：a＝2b－10，其中a表示码数，b表示厘米数。妈妈给小明买了一双24.5cm的运动鞋，码数是( )码。
【答案】39
【分析】根据码数和厘米数之间的换算关系式：a＝2b－10，代入数据即可解答。
【详解】据题意，24.5cm的运动鞋的码数是：
2×24.5－10
＝49－10
＝39（码）
【点睛】本题考查含字母的式子求值的方法：把字母表示的数值代入式子，进而求出式子的数值；关键是明确：a 、b表示的意思。
7．在1、2、3…、N这N个自然数中（N为奇数），共有a个质数，b个合数，m个奇数，n个偶数，那么（m－a）＋（n－b）＝( )；m、n的最小公倍数是( )。
【答案】 1 mn
【分析】将原式变形，（m－a）＋（n－b）＝（m＋n）－（a＋b），根据偶数、奇数以及质数和合数的特征，判断（m＋n）以及（a＋b）的值，完成第一空；根据m、n的特征求它们的最小公倍数。
【详解】（m－a）＋（n－b）＝（m＋n）－（a＋b）
其中，m＋n＝N，因为1既不是质数也不是合数，所以，a＋b＝N－1。
则有：
（m－a）＋（n－b）
＝（m＋n）－（a＋b）
＝N－（N－1）
＝N－N＋1
＝1
因为N为奇数，所以m－1＝n，m和n是互质数，所以m、n的最小公倍数是：m×n＝mn。
【点睛】通过将原式变形，根据自然数中质数和合数、偶数与奇数的个数与N之间的关系进行分析，是完成本题的关键。
8．小明在一组数2、3、6、15里发现了一个规律。他把这个规律写成了一个公式：下一个数＝前面的数×△－△。在这个公式里面，△代表了同一个数。那么，△代表的数是( )，在小明研究的这组数里，15后面的那个数是( )。
【答案】 3 42
【分析】据题意，在下一个数＝前面的数×△－△公式里，△代表同一个数，那么将2和3分别作为前面的数和下一个数，代入公式，可以求出△，再将15作为前一个数代入公式，可求其后面的一个数。
【详解】由分析可得：
2代表前面的数，3代表下一个数，代入下一个数＝前面的数×△－△，可得：
3＝2×△－△
3＝2△－△
△＝3
可得该公式为：下一个数＝前面的数×3－3，将15作为前面的数代入，可得：
下一个数＝15×3－3
＝45－3
＝42
综上所述：小明在一组数2、3、6、15里发现了一个规律。他把这个规律写成了一个公式：下一个数＝前面的数×△－△。在这个公式里面，△代表了同一个数。那么，△代表的数是3，在小明研究的这组数里，15后面的那个数是42。
【点睛】本题考查了找规律的应用，要求会通过观察、分析、归纳并发现其中的规律。
9．a，b是不同的质数，且，a，b这两个数的和是( )，积是( )。
【答案】 20 91
【分析】根据异分母分数加法的计算方法，先求出＋，再根据结果，利用分子相等，分母相等，即可求出这两个数的和和两个数的积。
【详解】＋
＝＋
＝
因为：＋ ＝，所以＝
a＋b＝20；ab＝91
a，b是不同的质数，且＋ ＝，a，b这两个数的和是20；积是91。
【点睛】本题关键是运用通分的方法，求出＋的结果，进而解答。
10．小明做了5次仰卧起坐，分别为22，m，28，30，21，小明平均每次做( )个，当m＝( )时，小明5次做的平均数是26个。
【答案】 （101＋m）÷5 29
【分析】平均数是表示一组数据的平均值，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，依此填空；然后用小明5次做的平均数乘5，从而计算出小明5次做的总次数，再用小明5次做的总次数减已知的四次之和即可，依此解答。
【详解】（22＋m＋28＋30＋21）÷5＝（101＋m）÷5
由此可知，小明平均每次做（101＋m）÷5 个；
26×5＝130（个）
22＋28＋30＋21＝101（个）
130－101＝29（个）
当m＝29时，小明5次做的平均数是26个。
【点睛】此题考查的是用字母表示数，熟练掌握平均数的求法，是解题的关键。
11．小刚发现一个有趣的现象：
1×3＝3＝22－1
3×5＝15＝42－1
5×7＝35＝62－1
7×9＝63＝82－1
9×11＝( )＝( )
（a－1）×（a＋1）＝( )（用含有a的式子填空）
【答案】 99 102－1 a2－1
【分析】观察题意可知，（1＋3）÷2＝2，（3＋5）÷2＝4，（5＋7）÷2＝6，……每个算式是两个数相乘，结果相当于两个数的平均数的平方再减去1，据此解答。
【详解】9×11＝99
（9＋11）÷2
＝20÷2
＝10
9×11＝99＝102－1
（a－1＋a＋1）÷2
＝2a÷2
＝a
（a－1）×（a＋1）＝a2－1
【点睛】本题主要考查了用字母表示数以及平方的应用，解答本题的关键是总结出算式结果的规律。
12．小明在计算“×（□－8）”时，错算成了“×□－8”，他得到的结果比正确结果少( )。
【答案】5
【分析】用正确的算式减去错误的算式即可求出，得到的结果比正确结果少多少。
【详解】×（□－8）－（×□－8）
＝×□－×8－×□＋8
＝×□－3－×□＋8
＝×□－×□＋8－3
＝8－3
＝5
他得到的结果比正确结果少5。
【点睛】本题主要考查了用字母表示数以及含未知数式子的化简和求值，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
13．有一根如下图一样弯曲的铁丝，想要在虚线之间用与虚线平行的方式剪切，把铁丝分成几段。如下图，剪1次，分成4段；剪2次，分成7段；剪3次，分成10段。剪20次时，铁丝一定剪成了( )段；要想剪成202段，应该剪( )次。

【答案】 61 67
【分析】通过观察图形发现：第1个图形，虚线左边有2段，右边有2段，2＋2＝4（段）；第2个图形，两条虚线外部有2＋2＝4（段），两条虚线内部有3段，4＋3＝7（段）；第3个图形，两条虚线外部有2＋2＝4（段），两条虚线内部有2个3段，4＋3×2＝10（段）；……由此发现规律：剪n次，分成4＋3（n－1）＝4＋3n－3＝（3n＋1）段。
【详解】3×20＋1
＝60＋1
＝61（段）
（202－1）÷3
＝201÷3
＝67（次）
所以剪20次时，铁丝一定剪成了61段；要想剪成202段，应该剪67次。
【点睛】解决此题关键是通过观察图形找出剪的次数与分成的段数间的规律，可用字母表示出剪的次数与分成的段数间的关系。
14．用棋子摆图形，按照下图的规律摆下去，摆第6个图形需要( )枚棋子，摆第n个图形需要( )枚棋子。

【答案】 24 4n
【分析】观察图形可知，第一个图形有4枚棋子，第二个图形有8枚棋子，第三个图形有12枚棋子，则第n个图形棋子的枚数＝第n个图形×4，即第n个图形需要4n枚棋子；据此进行计算即可。
【详解】第6个图形需要棋子的枚数：4n＝4×6＝24
则按照下图的规律摆下去，摆第6个图形需要24枚棋子，摆第n个图形需要4n枚棋子。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
15．定义新运算“©”，A©B＝（A－2）×B，如果A©5＝30，那么A＝( )。
【答案】8
【分析】这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数减去2，再乘运算符号后面的数。据此由A©5＝30，则有（A－2）×5＝30。再解关于A的方程，可求出A的值。
【详解】（A－2）×5＝30
解：（A－2）×5÷5＝30÷5
A－2＝6
A－2＋2＝6＋2
A＝8
【点睛】解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
16．已知x2＝275625，则x＝( )。
【答案】525
【分析】x²表示x×x，将275625分解质因数，将得到的质因数平均分配，相乘，即可得到x的值。
【详解】275625＝3×3×5×5×5×5×7×7
3×5×5×7＝525
因为525×525＝275625，x2＝x×x＝275625
所以x＝525
【点睛】将合数写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。
17．一个正方体的六个面标有6个数，把它展开后如图，若a是最小的质数，b是最小的合数，c既不是质数也不是合数，且相对两个面上标的数字与含有字母的式子刚好为倒数，则d＋e＋f＝( )。
【答案】
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数。1既不是质数也不是合数；最小的质数是2，最小的合数是4，据此可确定a、b、c的值；根据正方体展开图的类型，此图属于2－3－1型，a与2d相对，c与e÷2相对，b与f－1相对，利用倒数的定义，a×2d＝1，c×（e÷2）＝1，b×（f－1）＝1，即可确定d、e、f的值，然后即可求出d＋e＋f的和。
【详解】根据分析得，a＝2，b＝4，c＝1。
根据a×2d＝1
2×2d＝1
4d＝1
d＝
根据c×（e÷2）＝1
1×（e÷2）＝1
e÷2＝1
e＝2
根据b×（f－1）＝1
4×（f－1）＝1
f－1＝
f＝
所以d＋e＋f＝＋2＋＝
【点睛】此题主要明确质数、合数、倒数的定义以及掌握正方体展开图的基本类型。
18．三个连续的奇数，如果最大的数是a＋2，最小的数是( )；如果a，b，c是三个任意的自然数，那么、、这三个数中你认为至少会有( )个自然数。
【答案】 a－2 1/一
【分析】（1）相邻两个奇数相差2，中间的奇数为（a＋2－2），最小的奇数为（a＋2－2－2）；
（2）若a、b、c都是奇数，“奇数＋奇数＝偶数”，则a＋b，a＋c，b＋c这三个算式的和都是偶数，都能被2整除，其结果都是自然数；
若a、b、c都是偶数，“偶数＋偶数＝偶数”，则a＋b，a＋c，b＋c这三个算式的和都是偶数，都能被2整除，其结果都是自然数；
若a、b、c有一个奇数，两个偶数，“奇数＋偶数＝奇数”，则a＋b，a＋c，b＋c这三个算式中一定有两个奇数，一个偶数，其结果只有1个自然数；
若a、b、c有两个奇数，一个偶数，“奇数＋偶数＝奇数”，则a＋b，a＋c，b＋c这三个算式中一定有两个奇数，一个偶数，其结果只有1个自然数；据此解答。
【详解】分析可知，三个连续的奇数，如果最大的数是a＋2，最小的数是（a－2）；如果a，b，c是三个任意的自然数，那么、、这三个数中至少会有1个自然数。
【点睛】掌握连续奇数的特征和奇数偶数的运算性质是解答题目的关键。
19．对自然数n，定义n！＝1×2×3×…×n，那么算式2019！－4！的结果的个位数字是( )。
【答案】6
【分析】根据定义n！＝1×2×3×…×n可知，2019！＝1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×…×2019，4！＝1×2×3×4＝24；2019！因计算过程中会出现与整十的数相乘的情况，因为0×任何数＝0，所以2019！的计算结果的个位是0；4！的计算结果的个位是4；据此得出2019！－4！的结果的个位数字。
【详解】2019！＝1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×…×2019，个位是0；
4！＝1×2×3×4＝24，个位是4；
2019！－4！的结果的个位数字是0－4，相当于10－4＝6，个位数字是6。
【点睛】关键是要正确地理解新定义的算式含义，按照新定义运算的规律，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
20．已知3＋＝3×＝，4＋＝4×＝，5＋＝5×＝…则6＋( )＝( )×( )＝( )；A＋( )＝A×( )＝( )。
【答案】 6
【分析】
根据题意，3＋＝3×＝，可以写成：3＋＝3×＝；
4＋＝4×＝，可以写成：4＋＝4×＝；
5＋＝5×＝，可以写成：5＋＝5×＝；
……
由此可知，第n个算式时，n＋＝n×＝，据此求出n＝6、n＝A时的值，据此解答。
【详解】根据分析可知，n＋＝n×＝。
n＝6时：
6＋＝6×＝
n＝A时：
A＋＝A×＝
已知3＋＝3×＝，4＋＝4×＝，5＋＝5×＝…则6＋＝6×＝；A＋＝A×＝。
【点睛】本题考查算式变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化规律，从而解答。
21．生活中，人们经常需要把同样大小的圆柱管捆扎成一排（横截面如图）。每个圆柱管的外直径都是8厘米，打结处绳子的长度不计。

(1)捆扎3个圆柱管一圈需要( )厘米长的绳子。
(2)捆扎n个圆柱管一圈需要( )厘米长的绳子。
【答案】(1)57.12
(2)（9.12＋16n）
【分析】
（1）通过观察图形可知，捆1个圆柱管时，绳子的长度就是底面圆的周长；2个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（2－1）×2个圆的直径；3个圆柱管时，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（3－1）×2个圆的直径；
（2）同理：每增加一个圆柱管，就增加2个圆的直径，那么n个圆柱体，绳子的长度就是一个底面圆的周长加上（n－1）×2个圆的直径。
【详解】（1）
3.14×8＋（3－1）×2×8
＝25.12＋2×2×8
＝25.12＋4×8
＝25.12＋32
＝57.12（厘米）
综上所述：捆扎3个圆柱管一圈需要57.12厘米长的绳子。
（2）
3.14×8＋（n－1）×2×8
＝25.12＋（n－1）×16
＝25.12＋16n－16
＝（9.12＋16n）厘米
综上所述：捆扎n个圆柱管一圈需要（9.12＋16n）厘米长的绳子。
【点睛】
解决本题的关键是观察分析得到圆柱管的放置规律，以及圆周长的计算方法，一个圆柱体时绳子的长度就是圆的周长，以后每增加一个圆柱体，绳子的长度就会增加圆的直径的2倍。
22．如图所示的输入程序中，若开始输入的值为96，发现第1次输出的值为48，第2次输出的值为24，第3次……，那么第2022次输出的值是( )。
【答案】6
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
根据题意可知：
第1次输出的值为×96＝48，48是偶数；
第2次输出的值为×48＝24，24是偶数；
第3次输出的值为×24＝12，12是偶数；
第4次输出的值为×12＝6，6是偶数；
第5次输出的值为×6＝3，3是奇数；
第6次输出的值为3＋3＝6，6是偶数；
第7次输出的值为×6＝3，3是奇数；
……
发现规律：从第4次输出的值开始以“6”、“3”循环，即每2个数字为一个周期。
因为前3次输出的值不参与循环，所以求第2022次输出的值是几，就是求（2022－3）里面有几个2，用除法计算；然后根据余数的情况，得出第2022次输出的值是几。
【详解】依次输出的结果是48，24，12，6，3，6，3……；
2022－3＝2019
2019÷2＝1009……1
余数为1，表示第2022次输出的值是一个周期里的第一个数字，即6。
【点睛】本题考查含字母式子的求值以及周期问题，根据程序框图求出每一次输入的结果，从中找出规律，再根据规律求解。
23．对于任意自然数a、b，如果a*b＝2a＋6b，已知，那么x＝( )。
【答案】896
【分析】定义新运算的一般解题步骤：
（1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。
（2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算。
据此将转化成方程，求解即可。
【详解】
解：
【点睛】新的运算有自己的特点，适用于加法和乘法的运算定律不一定适用于定义运算，要特别注意运算顺序。