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    广东省揭阳市揭东区2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

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    广东省揭阳市揭东区2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

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    这是一份广东省揭阳市揭东区2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析,共19页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题目要求)
    1. 设集合,,则()
    A. B.
    C. D.
    2. 已知函数,则()
    A. -3B. 2C. 10D. 5
    3. 命题:“,”否定是()
    A. ,B. ,
    C. ,D. ,
    4. 下列函数中与函数相等的函数是()
    A. B. C. D.
    5. “”是“是幂函数”的()
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    6. 已知函数的定义域为,则的定义域为()
    A. B.
    C. D.
    7. 设,,,则()
    AB. C. D.
    8. 已知,,且,若不等式恒成立,则a的取值范围是()
    A. B.
    C. D.
    二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,选错得0分)
    9. 下列函数中是偶函数,且在区间上单调递增的是( )
    A. B.
    C. D.
    10. 已知关于x的不等式的解集为,则()
    A.
    B.
    C. 不等式的解集为
    D. 不等式的解集为
    11. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数称为狄利克雷函数,则关于函数f(x)有( )
    A. f(f(x))=1B. 函数=f(x)的图象是两条直线
    C. >f(1)D. x∈R,都有f(1-x)=f(1+x)
    12. 若函数在R上满足对任意都有成立,则实数b的值可以为()
    A. 0B. -1C. -2D.
    三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
    13. 当时,函数的最大值为______.
    14. 函数单调递增区间为__________.
    15. 已知定义在上的函数满足,,则__________.
    16. 设函数为奇函数,且,则__________.
    四、解答题(共6小题,共70分)
    17. 已知全集,集合,集合.求:
    (1);
    (2)
    18. 实数a,b满足,.
    (1)求实数a,b取值范围;
    (2)求的取值范围.
    19. 已知函数,点,是图象上的两点.
    (1)求a,b的值;
    (2)根据定义判断并证明函数的奇偶性.
    20. 已知函数.
    (1)当时,求函数的零点;
    (2)当时,求不等式的的解集.
    21. 为宣传2022年北京冬奥会,某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形,如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
    (1)当时,求海报纸的面积;
    (2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形的面积最小)?
    22. 函数是定义在实数集R上的奇函数,当时,.
    (1)判断函数在的单调性,并给出证明:
    (2)求函数的解析式;
    (3)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
    2023-2024学年度第一学期期中教学质量监测
    高一级数学科试题
    温馨提示:请将答案写在答题卡上,考试时间为120分钟.满分150分
    一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题目要求)
    1. 设集合,,则()
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】直接用交集的定义即可.
    【详解】因为,,所以,
    故选:D.
    2. 已知函数,则()
    A. -3B. 2C. 10D. 5
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据题意对分段函数,先求出,然后再求的值,从而可求解.
    【详解】由题意知:当时,,
    所以:,故C项正确.
    故选C
    3. 命题:“,”的否定是()
    A. ,B. ,
    C. ,D. ,
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据全称量词命题的否定求解.
    【详解】命题:“,”的否定是,,
    故选:C.
    4. 下列函数中与函数相等的函数是()
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.
    【详解】两函数若相等,则需其定义域与对应关系均相等,易知函数的定义域为R,
    对于函数,其定义域为,对于函数,其定义域为,
    显然定义域不同,故A、D错误;
    对于函数,定义域为R,符合相等函数的要求,即B正确;
    对于函数,对应关系不同,即C错误.
    故选:B
    5. “”是“是幂函数”的()
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】
    【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.
    【详解】因为是幂函数,
    所以,解得或,
    故“”是“是幂函数”充分不必要条件.
    故选:A.
    6. 已知函数的定义域为,则的定义域为()
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】定义域是的范围,分清定义域是关键;或简化为括号内取值范围一样.
    【详解】已知函数的定义域为,
    所以对有,
    所以,
    故选:A
    7. 设,,,则()
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先由指数运算得出,再由幂函数的单调性得出大小关系.
    【详解】因为,所以,又函数在上单调递增,所以.
    故选:B
    8. 已知,,且,若不等式恒成立,则a的取值范围是()
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】确定,变换,展开利用均值不等式计算最值得到答案.
    【详解】,故,,
    ,,故,
    当且仅当,即时取等号,故,
    最小值是16,由不等式恒成立可得.
    a的取值范围是,
    故选:B.
    二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,选错得0分)
    9. 下列函数中是偶函数,且在区间上单调递增的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】
    利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性,根据函数解析式判断单调性.
    【详解】A,因为,是偶函数,在区间上为增函数,符合题意;
    B,因为,是奇函数,且在区间上为减函数,不符合题意;
    C,因为,是偶函数,当时,单调递减,不符合题意;
    D,因为,是偶函数,且在区间上为增函数,符合题意.
    故选:AD
    10. 已知关于x的不等式的解集为,则()
    A.
    B.
    C. 不等式的解集为
    D. 不等式的解集为
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得,即可结合选项逐一求解.
    【详解】由于不等式的解集为,
    所以和是的两个实数根,
    所以,故,
    ,故AB正确,
    对于C,不等式为,故,故C错误,
    对于D, 不等式可变形为,
    解得,故D正确,
    故选:ABD
    11. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数称为狄利克雷函数,则关于函数f(x)有( )
    A. f(f(x))=1B. 函数=f(x)的图象是两条直线
    C. >f(1)D. x∈R,都有f(1-x)=f(1+x)
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】
    利用题中的定义,直接分析求解即可
    【详解】对于A,当为有理数时,,所以,,当为无理数时,,,所以,A正确;
    对于B,明显地,函数=f(x)的图象是断续的点集,不是两条直线,B错误;
    对于C,,,所以,,C错误;
    对于D,明显地,定义域为,且,所以,为偶函数,若是有理数,则也是有理数;若是无理数,则也是无理数;所以,根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数,对恒成立,取,则有,所以,x∈R,都有f(1-x)=f(1+x),所以,D正确
    故选:AD
    【点睛】关键点睛:利用题中的新定义,进行代值和求出单调性以及周期,然后逐个判断选项,属于基础题
    12. 若函数在R上满足对任意都有成立,则实数b的值可以为()
    A. 0B. -1C. -2D.
    【答案】CD
    【解析】
    【分析】首先由任意都有成立可判断该分段函数在R上为单调递减函数,再结合单调性知识求解即可.
    【详解】因为函数在满足对任意都有成立,
    所以函数在R上为单调减函数,
    所以,解得,由选项可知,b可以为-2,.
    故选:CD.
    三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
    13. 当时,函数的最大值为______.
    【答案】8
    【解析】
    【分析】对函数配方后,利用二次函数的性质求解即可.
    【详解】,对称性为,
    因为,
    所以当时,函数的最大值为,
    故答案为:8
    14. 函数的单调递增区间为__________.
    【答案】和
    【解析】
    【分析】画函数图像,再根据图像得出结果.
    【详解】函数,开口向上与轴的两个交点
    对称轴为,
    图像如下
    所以函数单调递增区间为
    故答案为:
    15. 已知定义在上的函数满足,,则__________.
    【答案】1
    【解析】
    【分析】当时,,当时,,解得答案.
    【详解】定义在上函数满足,,
    当时,;当时,,解得.
    故答案为:
    16. 设函数为奇函数,且,则__________.
    【答案】27
    【解析】
    【分析】根据奇函数的定义求解即可.
    【详解】因为,所以,
    因为为奇函数,所以,则,
    所以,
    故答案为: .
    四、解答题(共6小题,共70分)
    17. 已知全集,集合,集合.求:
    (1);
    (2).
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用交集概念及运算即可得到结果;
    (2)先求交集,进而求补集即可.
    【小问1详解】
    ∵集合,集合.
    ∴;
    【小问2详解】
    ∵集合,集合.
    ∴,
    ∴.
    18. 实数a,b满足,.
    (1)求实数a,b的取值范围;
    (2)求的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)应用不等式性质线性运算可得;
    (2)用已知式子表示所求式子结合不等式性质线性运算即可.
    【小问1详解】
    ∵,
    ∴,.
    【小问2详解】

    因为,所以,
    又,所以,
    所以.
    19. 已知函数,点,是图象上的两点.
    (1)求a,b的值;
    (2)根据定义判断并证明函数的奇偶性.
    【答案】(1),
    (2)为奇函数,证明见解析
    【解析】
    分析】(1)将两点坐标代入函数解析式,列出方程组,求解即可得出答案;
    (2)先求出函数的定义域,然后求出的表达式,即可得出答案.
    【小问1详解】
    因为点,是图象上的两点,
    所以,解得.
    所以函数.
    【小问2详解】
    函数为奇函数,理由如下:
    由(1)知:函数,
    由,得且,
    所以函数的定义域为,关于原点对称.
    且对任意,
    都有,
    所以函数为奇函数.
    20. 已知函数.
    (1)当时,求函数的零点;
    (2)当时,求不等式的的解集.
    【答案】(1)2或3 (2)答案见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据零点 定义计算求解即可;
    (2)分类讨论结合根的情况解不等式.
    【小问1详解】
    当时,,
    令,
    得或,
    所以的零点为2或3.
    【小问2详解】
    当时,,则为,得;
    当时,,
    当即时,的解为或;
    当即时,的解为;
    当即时,的解为或,
    综上所述,当时,的解集为;
    当即时,的解集为或
    当时,的解集为;
    当即时,的解集为或.
    21. 为宣传2022年北京冬奥会,某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形,如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
    (1)当时,求海报纸的面积;
    (2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形的面积最小)?
    【答案】(1)
    (2)当海报纸宽为,长为,可使用纸量最少.
    【解析】
    【分析】(1)根据已知条件,先求出梯形长的底边,再分别求出,,即可求解;
    (2)根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可求解.
    【小问1详解】
    宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为,直角梯形的高为,
    则梯形长的底边,
    海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为,
    ,,
    故海报面积为.
    【小问2详解】
    直角梯形的高为,宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为,

    海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为,
    海报宽,海报长,
    故,
    当且仅当,即,
    故当海报纸宽为,长为,可使用纸量最少.
    22. 函数是定义在实数集R上的奇函数,当时,.
    (1)判断函数在的单调性,并给出证明:
    (2)求函数的解析式;
    (3)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
    【答案】(1)单调递增,证明见解析
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据函数单调性定义证明即可;
    (2)令,则,代入的解析式,根据奇偶性即可求得的解析式;
    (3)判断函数的单调性,根据函数单调性列出定义域的不等式,反解算出范围即可.
    【小问1详解】
    当时,,函数在上单调递增.
    证明如下:任取,且,

    ∵,,∴,,
    又,∴,
    ∵,即,
    ∴函数在上单调递增;
    【小问2详解】
    因为当时,,
    所以,当时,,∴,
    又因为是定义在实数集R上的奇函数,
    所以,,
    即当时,.
    所以,函数的解析式为;
    【小问3详解】
    ∵函数在上单调递增,且,
    又因为是定义在实数集R上的奇函数,
    所以,函数在上单调递增,且时,,
    所以,函数在实数集R上单调递增;
    那么不等式,
    即:,
    则有,
    即恒成立,
    所以,
    又当时,,当时,,
    所以,实数k的取值范围是.
    【点睛】关键点点睛:本题关键在于利用函数单调性列出定义域的不等式,解出不等式即可.

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