广东省揭阳市揭东区2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析
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这是一份广东省揭阳市揭东区2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析,共19页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题目要求)
1. 设集合,,则()
A. B.
C. D.
2. 已知函数,则()
A. -3B. 2C. 10D. 5
3. 命题:“,”否定是()
A. ,B. ,
C. ,D. ,
4. 下列函数中与函数相等的函数是()
A. B. C. D.
5. “”是“是幂函数”的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数的定义域为,则的定义域为()
A. B.
C. D.
7. 设,,,则()
AB. C. D.
8. 已知,,且,若不等式恒成立,则a的取值范围是()
A. B.
C. D.
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,选错得0分)
9. 下列函数中是偶函数,且在区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知关于x的不等式的解集为,则()
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
11. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数称为狄利克雷函数,则关于函数f(x)有( )
A. f(f(x))=1B. 函数=f(x)的图象是两条直线
C. >f(1)D. x∈R,都有f(1-x)=f(1+x)
12. 若函数在R上满足对任意都有成立,则实数b的值可以为()
A. 0B. -1C. -2D.
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13. 当时,函数的最大值为______.
14. 函数单调递增区间为__________.
15. 已知定义在上的函数满足,,则__________.
16. 设函数为奇函数,且,则__________.
四、解答题(共6小题,共70分)
17. 已知全集,集合,集合.求:
(1);
(2)
18. 实数a,b满足,.
(1)求实数a,b取值范围;
(2)求的取值范围.
19. 已知函数,点,是图象上的两点.
(1)求a,b的值;
(2)根据定义判断并证明函数的奇偶性.
20. 已知函数.
(1)当时,求函数的零点;
(2)当时,求不等式的的解集.
21. 为宣传2022年北京冬奥会,某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形,如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时,求海报纸的面积;
(2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形的面积最小)?
22. 函数是定义在实数集R上的奇函数,当时,.
(1)判断函数在的单调性,并给出证明:
(2)求函数的解析式;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
2023-2024学年度第一学期期中教学质量监测
高一级数学科试题
温馨提示:请将答案写在答题卡上,考试时间为120分钟.满分150分
一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题目要求)
1. 设集合,,则()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接用交集的定义即可.
【详解】因为,,所以,
故选:D.
2. 已知函数,则()
A. -3B. 2C. 10D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意对分段函数,先求出,然后再求的值,从而可求解.
【详解】由题意知:当时,,
所以:,故C项正确.
故选C
3. 命题:“,”的否定是()
A. ,B. ,
C. ,D. ,
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定求解.
【详解】命题:“,”的否定是,,
故选:C.
4. 下列函数中与函数相等的函数是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.
【详解】两函数若相等,则需其定义域与对应关系均相等,易知函数的定义域为R,
对于函数,其定义域为,对于函数,其定义域为,
显然定义域不同,故A、D错误;
对于函数,定义域为R,符合相等函数的要求,即B正确;
对于函数,对应关系不同,即C错误.
故选:B
5. “”是“是幂函数”的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.
【详解】因为是幂函数,
所以,解得或,
故“”是“是幂函数”充分不必要条件.
故选:A.
6. 已知函数的定义域为,则的定义域为()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】定义域是的范围,分清定义域是关键;或简化为括号内取值范围一样.
【详解】已知函数的定义域为,
所以对有,
所以,
故选:A
7. 设,,,则()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由指数运算得出,再由幂函数的单调性得出大小关系.
【详解】因为,所以,又函数在上单调递增,所以.
故选:B
8. 已知,,且,若不等式恒成立,则a的取值范围是()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定,变换,展开利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】,故,,
,,故,
当且仅当,即时取等号,故,
最小值是16,由不等式恒成立可得.
a的取值范围是,
故选:B.
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,选错得0分)
9. 下列函数中是偶函数,且在区间上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性,根据函数解析式判断单调性.
【详解】A,因为,是偶函数,在区间上为增函数,符合题意;
B,因为,是奇函数,且在区间上为减函数,不符合题意;
C,因为,是偶函数,当时,单调递减,不符合题意;
D,因为,是偶函数,且在区间上为增函数,符合题意.
故选:AD
10. 已知关于x的不等式的解集为,则()
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得,即可结合选项逐一求解.
【详解】由于不等式的解集为,
所以和是的两个实数根,
所以,故,
,故AB正确,
对于C,不等式为,故,故C错误,
对于D, 不等式可变形为,
解得,故D正确,
故选:ABD
11. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数称为狄利克雷函数,则关于函数f(x)有( )
A. f(f(x))=1B. 函数=f(x)的图象是两条直线
C. >f(1)D. x∈R,都有f(1-x)=f(1+x)
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用题中的定义,直接分析求解即可
【详解】对于A,当为有理数时,,所以,,当为无理数时,,,所以,A正确;
对于B,明显地,函数=f(x)的图象是断续的点集,不是两条直线,B错误;
对于C,,,所以,,C错误;
对于D,明显地,定义域为,且,所以,为偶函数,若是有理数,则也是有理数;若是无理数,则也是无理数;所以,根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数,对恒成立,取,则有,所以,x∈R,都有f(1-x)=f(1+x),所以,D正确
故选:AD
【点睛】关键点睛:利用题中的新定义,进行代值和求出单调性以及周期,然后逐个判断选项,属于基础题
12. 若函数在R上满足对任意都有成立,则实数b的值可以为()
A. 0B. -1C. -2D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先由任意都有成立可判断该分段函数在R上为单调递减函数,再结合单调性知识求解即可.
【详解】因为函数在满足对任意都有成立,
所以函数在R上为单调减函数,
所以,解得,由选项可知,b可以为-2,.
故选:CD.
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13. 当时,函数的最大值为______.
【答案】8
【解析】
【分析】对函数配方后,利用二次函数的性质求解即可.
【详解】,对称性为,
因为,
所以当时,函数的最大值为,
故答案为:8
14. 函数的单调递增区间为__________.
【答案】和
【解析】
【分析】画函数图像,再根据图像得出结果.
【详解】函数,开口向上与轴的两个交点
对称轴为,
图像如下
所以函数单调递增区间为
故答案为:
15. 已知定义在上的函数满足,,则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】当时,,当时,,解得答案.
【详解】定义在上函数满足,,
当时,;当时,,解得.
故答案为:
16. 设函数为奇函数,且,则__________.
【答案】27
【解析】
【分析】根据奇函数的定义求解即可.
【详解】因为,所以,
因为为奇函数,所以,则,
所以,
故答案为: .
四、解答题(共6小题,共70分)
17. 已知全集,集合,集合.求:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用交集概念及运算即可得到结果;
(2)先求交集,进而求补集即可.
【小问1详解】
∵集合,集合.
∴;
【小问2详解】
∵集合,集合.
∴,
∴.
18. 实数a,b满足,.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)应用不等式性质线性运算可得;
(2)用已知式子表示所求式子结合不等式性质线性运算即可.
【小问1详解】
∵,
∴,.
【小问2详解】
,
因为,所以,
又,所以,
所以.
19. 已知函数,点,是图象上的两点.
(1)求a,b的值;
(2)根据定义判断并证明函数的奇偶性.
【答案】(1),
(2)为奇函数,证明见解析
【解析】
分析】(1)将两点坐标代入函数解析式,列出方程组,求解即可得出答案;
(2)先求出函数的定义域,然后求出的表达式,即可得出答案.
【小问1详解】
因为点,是图象上的两点,
所以,解得.
所以函数.
【小问2详解】
函数为奇函数,理由如下:
由(1)知:函数,
由,得且,
所以函数的定义域为,关于原点对称.
且对任意,
都有,
所以函数为奇函数.
20. 已知函数.
(1)当时,求函数的零点;
(2)当时,求不等式的的解集.
【答案】(1)2或3 (2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)根据零点 定义计算求解即可;
(2)分类讨论结合根的情况解不等式.
【小问1详解】
当时,,
令,
得或,
所以的零点为2或3.
【小问2详解】
当时,,则为,得;
当时,,
当即时,的解为或;
当即时,的解为;
当即时,的解为或,
综上所述,当时,的解集为;
当即时,的解集为或
当时,的解集为;
当即时,的解集为或.
21. 为宣传2022年北京冬奥会,某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形,如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时,求海报纸的面积;
(2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形的面积最小)?
【答案】(1)
(2)当海报纸宽为,长为,可使用纸量最少.
【解析】
【分析】(1)根据已知条件,先求出梯形长的底边,再分别求出,,即可求解;
(2)根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可求解.
【小问1详解】
宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为,直角梯形的高为,
则梯形长的底边,
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为,
,,
故海报面积为.
【小问2详解】
直角梯形的高为,宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为,
,
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为,
海报宽,海报长,
故,
当且仅当,即,
故当海报纸宽为,长为,可使用纸量最少.
22. 函数是定义在实数集R上的奇函数,当时,.
(1)判断函数在的单调性,并给出证明:
(2)求函数的解析式;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1)单调递增,证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)根据函数单调性定义证明即可;
(2)令,则,代入的解析式,根据奇偶性即可求得的解析式;
(3)判断函数的单调性,根据函数单调性列出定义域的不等式,反解算出范围即可.
【小问1详解】
当时,,函数在上单调递增.
证明如下:任取,且,
,
∵,,∴,,
又,∴,
∵,即,
∴函数在上单调递增;
【小问2详解】
因为当时,,
所以,当时,,∴,
又因为是定义在实数集R上的奇函数,
所以,,
即当时,.
所以,函数的解析式为;
【小问3详解】
∵函数在上单调递增,且,
又因为是定义在实数集R上的奇函数,
所以,函数在上单调递增,且时,,
所以,函数在实数集R上单调递增;
那么不等式,
即:,
则有,
即恒成立,
所以,
又当时,,当时,,
所以,实数k的取值范围是.
【点睛】关键点点睛:本题关键在于利用函数单调性列出定义域的不等式,解出不等式即可.
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