江苏省2023_2024学年高二数学上学期11月期中试题含解析

这是一份江苏省2023_2024学年高二数学上学期11月期中试题含解析，共17页。试卷主要包含了 已知倾斜角为的直线过，，则， 以为顶点的三角形是， 直线与圆的位置关系为， 已知数列对任意满足，则， 斜率为的直线与椭圆， 已知直线，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】由题意，解得,
故选：C．
2. 已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据离心率求出，再根据双曲线的渐近线方程即可得解.
【详解】设双曲线的方程为，
因为，所以，则，
所以渐近线方程为.
故选：C.
3. 以为顶点的三角形是（）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形
C. 以为直角顶点的直角三角形D. 以为直角顶点的直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】通过斜率证明两直线垂直，得到三角形形状.
【详解】直线的斜率，直线的斜率，
由，所以，
故是以为直角顶点的直角三角形．
故选：D
4. 已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（）
A. 100B. 105C. 90D. 95
【答案】A
【解析】
【分析】等差数列前n项和公式的应用
【详解】由，有，偶数项的和为100．
故选：A
5. 直线与圆的位置关系为（）
A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系.
【详解】由题知，圆心坐标，半径，
将直线化为点斜式得，
知该直线过定点，
又，故该定点在圆内，
所以该直线与圆必相交.
故选：C
6. 已知数列对任意满足，则（）
A. 4040B. 4043C. 4046D. 4049
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列的递推公式可知相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，写出的表达式即可求出结果.
【详解】由可得；
两式相减可得；
即相邻的奇数项或者偶数项成等差数列，且公差为4，
所以可得，即；
当时，，因此.
故选：B
7. 刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（）元．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】表示出第10个月末所欠银行贷款数，因为分10次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案．
【详解】设小明每个月所要还款的钱数为元，根据等额本息还款法可得，
第一个月末所欠银行贷款为：，
第二个月末所欠银行贷款为：,，
……，
第10个月末所欠银行贷款为：
由于分10次还清所有的欠款，故，解得，
故选：D．
8. 斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是（）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点在椭圆内有求m范围，设直线方程联立椭圆整理为一元二次方程形式，则必有，，结合韦达定理有，即可求的范围.
【详解】由题设，在椭圆内，则，
设直线代入椭圆，
整理得且，则，
由图知：直线斜率不可能0，所以，故或.
故选：C
二、多选题:每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求,全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.
9. 已知直线，则下列说法正确的是（）
A. 直线过点B. 直线的斜率为
C. 直线在上的截距为D. 直线在上的截距为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线，对各个选项分析判断即可求出结果.
【详解】选项A，因为，即直线不过点，所以选项A不正确；
又由，得到，所以直线斜率为，在上的截距为，所以选项BD正确，
又由直线，令，得到，所以选项C错误，
故选：BD.
10. 若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（）
A. B. （其中且）
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义直接判断作答.
【详解】因为等比数列，设其公比为，则有，
对于A，是非零常数，数列是等比数列，A是；
对于B，且，是非零常数，数列是等比数列，B是；
对于C，是非零常数，是等比数列，C是；
对于D，显然，为等比数列，而，数列不是等比数列，D不是.
故选：ABC
11. 已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列选项正确的是（）
A. B. 以MF为直径的圆与轴相切
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义结合已知条件判断AB；先求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果判断C；根据抛物线的性质结合三角形的面积公式求解判断D.
【详解】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
对于A，由，得，A正确；
对于B，显然的中点的横坐标为，则该点到轴的距离，
所以以为直径的圆与轴相切，B正确；
对于C，当时，，解得，即，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
12. 已知与，则下列说法正确的是（）
A. 与有2条公切线
B. 当时，直线是与的公切线
C. 若分别是与上的动点，则的最大值是3
D. 过点作的两条切线，切点分别是，则四边形的面积是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据圆心距和半径之间的关系可判断A；计算圆心到直线的距离可判断B；结合两圆外切求得的最大值判断C；求出弦长即可求得四边形的面积判断D.
【详解】由题意知的圆心，半径的圆心，半径，所以，
所以与相外切，有3条公切线，错误；
当时，点到直线的距离，
即与相切；
点到直线的距离，
即与相切；
所以直线是与的公切线，正确；
由于与相外切，故的最大值为，C错误；
连接，则，
根据勾股定理可得，
所以四边形的面积，D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确两圆的位置关系，即判断出两圆外切，则圆的公切线问题即可解决.
三、填空题:每小题5分，共20分.
13. 两条平行直线与间的距离是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平行关系求得a的值，再利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】因为直线与平行，故．
可得符合题意，
由平行线距离公式可得所求为．
故答案为：1
14. 若满足：，则满足上述条件数列的一个通项公式为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，数列单调递减，且，写出符合要求的即可.
【详解】因为，即数列单调递减，
所以满足上述条件数列的一个通项公式可以为．
故答案为：.（答案符合条件即可）
15. 定义：点P为曲线外的一点，A，B为曲线上的两个动点，当取最大值时，为点P对曲线的张角．已知点P为直线l：上的动点，A，B为圆O：上的两个动点，设点P对圆O的张角为，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】当过点O的直线与直线l垂直时张角最大，即可求解.
【详解】由题可知点P在圆O外，当PA，PB均与圆O相切时，
最大，则也最大，此时．
要使最大，则最小，又的最小值为点O到直线l的距离，
所以，所以．
故答案为：
16. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．
【详解】由题意可知，，
设，可得直线的斜率分别为，，
因为点在双曲线上，则，整理得，所以，
设点，可得直线，的斜率，，
因为点在椭圆上，则，整理得，
所以，即，
则，所以直线与关于轴对称，
又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，
又，则，
所以，
整理得，即，解得，或（舍去），
所以椭圆的离心率为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
四、解答题:共计70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.
17. 已知直线过点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程
（2）若直线在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；
（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.
【小问1详解】
因为直线与直线垂直，
所以可设直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为
【小问2详解】
当直线过原点时，直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，所以直线的方程是．
综上，所求直线的方程为或
18. 已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据等差数列的定义以及通项公式，可得答案；
（2）由题意，根据裂项相消求和方法，可得答案.
【小问1详解】
由题意得：，所以是公差为2的等差数列，则；
【小问2详解】
由题知
则
19. 圆：内有一点，过直线交圆于，两点.
（1）当为弦中点时，求直线的方程；
（2）若圆与圆：相交于，两点，求的长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由垂径定理得⊥，根据得到，从而求出直线的方程；
（2）先求出公共弦方程，即直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理求出答案.
【小问1详解】
因为为弦中点，由垂径定理得⊥，
因为，所以，
故直线的方程为，即；
【小问2详解】
与相减得，，
即直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
由垂径定理得的长度为.
20. 已知拋物线的顶点在原点，对称轴为​轴，且经过点​.
（1）求抛物线方程;
（2）若直线​与抛物线交于​两点，且满足​，求证: 直线​恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）
（2）定点，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过点，代入即可求出结果;
（2）由题意直线方程可设为，将其与抛物线方程联立，根据韦达定理，化简求解，即可求出定点.
【小问1详解】
由题可知，拋物线的开口向右，
设拋物线方程为​，
因为经过点​，
所以​，解得​
所以，抛物线的标准方程为: ​.
【小问2详解】
如图，
设直线​的方程为:​，
联立方程​
消​有：​
由于交于​两点，设​，
则​，即​，
​，
由​.
则​.
解得: ​，验证满足条件.
所以直线​的方程为​，
即证直线​恒过定点.
21. 各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得，进而可得，再利用退一相减法可得；
（2）利用等差数列等差中项的性质可得，再利用错位相减法可得前项和.
【小问1详解】
由，
得，
所以，
所以，
当时，，
所以，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
【小问2详解】
由已知在和之间插入个数，这个数组成等差数列，
所以，
设数列的前项和为，
则，
，
所以，
所以.
22. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中点与点重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）直线与在第一象限内交于点，直线与交于两点（均异于点），则直线的斜率之和是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是定值，定值为0
【解析】
【分析】（1）由，故点的轨迹是以为焦点的椭圆，根据已知数据求出方程即可；
（2）直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示直线的斜率之和，化简即可.
【小问1详解】
由题意可知，，
故点的轨迹是以为焦点，且长轴长的椭圆，焦距，
所以，
所以曲线的方程为．
【小问2详解】
把代入曲线的方程，求得．
设，
联立，消去得，
则，得，
，
则
，