浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年八年级下册4月期中数学试题（含解析）

这是一份浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年八年级下册4月期中数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各式是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A．B．C．D．
5．若是关于的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．1B．3C．D．
6．一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于直角坐标系的原点，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若菱形的面积为，，则的长为（ ）
A．3B．C．D．2
9．已知是矩形对角线的交点，作，相交于点E，连接．若要使，则可添加的条件的个数为（ ）

①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
10．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值，其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题(本题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ．
12．若最简二次根式和可以合并，则的值为 ．
13．小明用计算一组数据的方差，那么 ．
14．设、是方程的两个根，且，则 ．
15．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线CD于点E，∠ABC的平分线交直线CD于点F，AD＝5，EF＝2，则线段AB的长为 ．
16．如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为 ．
三、综合题（第17~19题各6分，第20~22题各8分，第23题10分，共52分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图．
(1)在图①中画一个以为边画一个格点正方形．
(2)在图②中画一个格点平行四边形，使平行四边形面积为6．
(3)在图③中画一个格点菱形，不是正方形（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
19．为了开展阳光体育运动，提高学生身体素质，学校开设了“引体向上”课程．为了解学生做引体向上的情况，现从八年级各班随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图1和图2，请根据有关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为 ，图1中m的值是 ；
（2）本次调查获取的样本数据（6，7，8，9，10）中，众数为 ，中位数为 ；
（3）补全条形统计图；
（4）根据样本数据，若八年级有280名男生，请你估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数．
20．如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．
（1）怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？
（2）长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．

21．如图所示，≌，点在上．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的度数．
22．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
(1)，则______，_______；
(2)已知x是的算术平方根，求的值；
(3)当时，化简_______．
23．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：；
性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ；
性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来．
应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程）
②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ．
参考答案与解析
1．A
【分析】把形如的式子叫做二次根式，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0．
【解答】解：A、是二次根式，本选项符合题意；
B、不满足被开方数大于等于0，不是二次根式，本选项不符合题意；
C、字母不确定，不能保证，故不一定是二次根式，本选项不符合题意；
D、的根指数是3，故不是二次根式，本选项不符合题意，
故选：A．
【点拨】此题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据二次根式运算法则进行分析即可.
【解答】；；；
故选A
【点拨】考点：二次根式运算．掌握法则是关键.
3．D
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】解：∵乙和丁的平均数较大，
∴从乙和丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
【点拨】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4．A
【分析】结合反证法的步骤即可求解
【解答】解：反证法的一般步骤是先假设结论不成立，
故用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2⩽b2，
故选：A
【点拨】本题主要考查反证法，属于数学方法基本步骤的考查，难度不大．解题的关键是掌握反证法的解题步骤．反证法解题步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设出发，通过推演证明，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确．
5．C
【分析】将代入方程得到关于的方程求解即可．
【解答】解：将代入方程
得：，解得：．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．
6．B
【分析】设应邀请了x支球队参加联赛，根据“计划安排15场比赛，”列出方程，即可求解．
【解答】解：设应邀请了x支球队参加联赛，根据题意得：
．
故选：B
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
7．A
【分析】由平行四边形的性质得出B与D关于原点O对称，即可得出点B的坐标．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1），
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，由关于原点对称的点的坐标特征得出点B的坐标是解决问题的关键．
8．D
【分析】根据菱形的面积公式求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半直接求出．
【解答】解：菱形的面积为，
可得，解得，
∴在中，．
故选：D
【点拨】此题考查菱形的性质和 直角三角形的性质，解题关键是菱形的面积公式为两条对角线的乘积的一半．
9．D
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明四边形是菱形，再证明四边形是等腰梯形，是等边三角形，可以推出①②③正确，再证明，推出④正确．
【解答】∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，，
①当时，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确，
②当时是等边三角形，同理可证；故②正确；
③当时，
∴，则是等边三角形，同理可证；故③正确；
④当时，设与交于点，连，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴
∴,
在和中，
，
∴，
∴，
故④正确；
∴可添加的条件是①②③④．
故选：D．
10．D
【分析】如图1，连接AC、AN，AC交BD于点H，根据正方形的性质可得A，B，N，M四点共圆，进而可得∠ANM＝∠NAM＝45°，于是可判断①；由余角的性质可得∠HAM＝∠PMN，从而可利用AAS证明Rt△AHM≌Rt△MPN，可得MP＝AH，再根据正方形的性质即可判断②；如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，根据旋转的性质和SAS可推得△RAN≌△QAN，进而可得RN=QN，进一步即可判断③；如图3，作MS⊥AB于S，MW⊥BC于W，由题意易得四边形SMWB是正方形，进一步即可推出△AMS≌△NMW，可得AS＝NW，进而得AB＋BN＝2BW，然后利用等腰直角三角形的性质即可判断④，于是可得答案．
【解答】解：如图1，连接AC、AN，AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，AH=CH，∠DBC＝∠ABD＝45°，
∵∠AMN＝∠ABC＝90°，
∴A，B，N，M四点共圆，
∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，
∴∠ANM＝∠NAM＝45°，
∴AM＝MN，故①正确；
∵∠MAH+∠AMH=90°，∠PMN+∠AMH=90°，
∴∠HAM＝∠PMN，
∵∠AHM＝∠MPN=90°，AM＝MN，
∴Rt△AHM≌Rt△MPN（AAS），
∴MP＝AH＝AC＝BD，故②正确；
如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，
则AR=AQ，∠BAR=∠DAQ，∠ABR=∠ADQ=90°，
∴R、B、N三点在同一直线上，
∵∠BAN＋∠QAD＝∠NAQ＝45°，
∴∠RAN=∠QAN=45°，
又∵AN=AN，
∴△RAN≌△QAN（SAS），
∴RN=QN，即BN＋DQ＝NQ，故③正确；
如图3，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，
∵点M是对角线BD上的点，
∴四边形SMWB是正方形，有MS＝MW＝BS＝BW，
∵∠AMN=∠SMW=90°，
∴∠AMS=∠NMW，
又∵∠ASM=∠NWM=90°，
∴△AMS≌△NMW（ASA），
∴AS＝NW，
∴AB＋BN＝SB＋BW＝2BW，
∵BW：BM＝1∶，
∴，故④正确．
故答案为D．
【点拨】本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质和判定、四点共圆、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及旋转的性质等知识，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、灵活应用所学知识是解题的关键．
11．12
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：12．
12．2
【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可．
【解答】解：由题意得：，解得：．
所以，
∴．
故答案为2．
【点拨】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键．
13．30
【分析】根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案．
【解答】解：由，知这10个数据的平均数为3，
所以，
故答案为：30．
【点拨】本题考查了方差公式，解题关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数．
14．4
【分析】根据根与系数的关系，得出，，代入，即可求出m的值．
【解答】解：∵、是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两根时，， ．
15．8或12
【分析】由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE＝∠DAE，则DE＝AD＝5；同理可得，CF＝CB＝5，再分两种为情况：F点在D、E之间；F点在C、E之间．求得各自的CD便可得AB．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC＝AD＝5，AB＝CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
又∵ABCD，
∴∠EAB＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠AED，
则AD＝DE＝5；
同理可得，CF＝CB＝5，
当点F在D、E之间时，如图1，
∵EF＝2，
∴AB＝CD＝DE+CE＝DE+（CF﹣EF）＝5+5﹣2＝8；
当点F在C、E之间时，如图2，
∵EF＝2，
∴AB＝CD＝DE+EF+CF＝5+2+5＝12．
故答案为：8或12．
【点拨】此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形等知识，关键注意分情况找出线段之间的等量关系．
16．
【分析】首先通过SAS判定，得出，因为,,得出是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC=，作辅助线，过点E作交CB的延长线于F，由题意求出，设正方形的边长为x，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为．
【解答】
∵为正三角形，
∴，
∴
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴
∴．
在和中
，
∴（SAS）
∴
在中，
又∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵AM+BM+CM最小值为．
∴EN+MN+CM的最小值为即CE=．
过点E作交CB的延长线于F，可得．
设正方形的边长为x，则BF=，．
在，
∵，
∴
解得（负值舍去）．
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键．
17．(1)
(2)，
【分析】本题考查二次根式的加减运算，解一元二次方程；
（1）先化简各项，再合并同类二次根式即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【解答】（1）原式；
（2），
∴
，
∴
∴，．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据正方形的性质画图即可；
（2）根据平行四边形的性质画图即可；
（3）根据菱形的性质画图即可．
【解答】（1）解：画一个以为边画一个格点正方形，如图所示，
（2）解：画一个格点平行四边形．如图所示，
；
（3）解：画一个格点菱形，不是正方形，如图所示，

【点拨】本题考查作图−应用与设计作图，菱形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
19．（1）40，15；（2）7，8；（3）见解析；（4）154人．
【分析】（1）根据扇形图和条形图中10次男生数据求出样本数量，再求出m的数值即可，
（2）根据众数，中位数的定义求出即可，
（3）根据求出数据补全图如图，
（4）根据样本数据求解即可；
【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为4÷10%＝40（人），
m%＝×100%＝15%，即m＝15，
故答案为：40，15；
（2）样本中“引体向上”次数为7次的人数为：40﹣6﹣10﹣8﹣4＝12（人），
∴众数为7次，中位数为＝8（次）．
故答案为：7，8；
（3）补全条形统计图如图：
（4）280×＝154（人），
答：估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数有154人．
【点拨】本题考查数据相关知识，涉及到扇形图和条形图，中位数和众数，难度一般．
20．（1）能围成一个长14m，宽9m的长方形场地；（2）长方形场地面积不能达到130m2．
【分析】（1）表示出长方形的长和宽即可解题,
（2）令方程等于130,求解方程即可.
【解答】解：（1）设CD=xm，则DE=（32﹣2x）m，
依题意得：x（32﹣2x）=126，
整理得x2﹣16x+63=0，
解得x1=9，x2=7，
当x1=9时，（32﹣2x）=14
当x2=7时,（32﹣2x）=18＞15（不合题意舍去）
∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地．
（2）设CD=ym，则DE=（32﹣2y）m，
依题意得y（32﹣2y）=130
整理得y2﹣16y+65=0
△=（﹣16）2﹣4×1×65=﹣4＜0
故方程没有实数根，
∴长方形场地面积不能达到130m2．
【点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,表示出长和宽,求解方程是解题关键.
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，进一步可证明，，从而可得结论；
（2）设，，根据全等三角形的性质得出，得出，结合图形进行求解即可．
【解答】（1）证明：，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答此题的关键．
22．(1)2，1
(2)
(3)2
【分析】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式；
（1）将化成完全平方公式，然后即可得到a、b的值；
（2）根据x是的的算术平方根，可以得到x的值，然后计算所求式子即可；
（3）根据，可以计算，，再代入计算求值即可．
【解答】（1）∵，
∴，，
故答案为：2，1；
（2）∵，x是的算术平方根，
∴，
∴
∴，整理得，
∴；
（3）∵，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
23．（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②
【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识；
（1）由勾股定理可得出答案；
（2）过作于，交的延长线于，由（1）性质可知：，由勾股定理可得出答案；
（3）以、为边作矩形，连接、，由矩形的性质得出，由题意得，求出，当、、三点共线时，最小，得出的最小值的最小值．
【解答】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形，
，
，，，
，
．
故答案为：；
（2）证明：过作于，交的延长线于，
由（1）性质可知：，
即：
，
又由勾股定理可知：
，
，
即；
（3）解：①设，则，
由（2）可得，
，
；
②以、为边作矩形，连接、，如图所示：
则，
由题意得：，
即，
解得：，
当、、三点共线时，最小，
的最小值的最小值；
故答案为：．
运动员
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
方差（环）