2024年浙江省杭州市中考数学三模预测试卷（原卷+解析）

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一、选择题：本题共10题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2025的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：2025的倒数是
故选D．
2．如图所示的物体，其主视图是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把从正面看到的平面图形画出来即可.
【详解】解：从正面可以看到的平面图形是
故选A
3 .某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校乘公共汽车到校学生有160人，
则骑自行车到校的的学生有（ ）
A．80人B．100人C．120人D．240人
【答案】B
【分析】由扇形统计图可知，乘公共汽车人数所占比例，再根据已知条件乘公共汽车人数是160人，即可求出总人数以及骑自行车到校的人数．此题主要考查了扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小
【详解】解：所有学生人数为 （人）；
所以骑自行车到校的学生人数为（人）．
故选：B．
4. 如图，数轴上位于数字1和2之间的点表示的数为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，数轴，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
根据点的位置列出不等式组，再解这个不等式组即可．
【详解】∵位于数字1和2之间的点表示的数为，
∴，
解得：
故选：B．
5 .若点，，都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出，，的值，即可得出结论．
【详解】解：，，都在反比例函数的图象上，
∴，，．
∴．
故选C．
6 .如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，
现测得，，，则点A到的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案
【详解】解：过A作，
，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为，．
若长为，则长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论
【详解】解：如图，
∵
∴，
∴
∴，
∴
故选：D
8．2024元旦期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）
之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（ ）

A．乙提速后每分钟攀登30米B．乙攀登到300米时共用时11分钟
C．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟D．从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米．
【答案】D
【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D．
【详解】解：甲的速度为：（米/分），
（米/分），
即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意；
乙攀登到300米时共用时：（分钟），故选项B不符合题意；
设，，
由函数图象得：，
解得 ，
∴，
∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，
∴乙提速后的速度为：30米/分，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得 ，
∴，
当时，
则，
解得，
即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟，故选项C不符合题意；
从甲、乙相距100米到乙追上甲时，
甲、乙两人共攀登了：（米），
故选项D符合题意．
故选：D．
9 .对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．
若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a2+a+c=0，根据二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1-4c＞0，且（a1-1）+（a2-1）＜0，（a1-1）（a2-1）＞0，即可解得-2＜c＜．
【详解】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，
∵二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2=-1，a1•a2=c，
∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，
∴Δ=1-4c＞0①，
且（a1-1）+（a2-1）＜0②，
（a1-1）（a2-1）＞0③，
由①得c＜，
∵a1+a2=-1，
∴②总成立，
由③得：a1•a2-（a1+a2）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，
∴c＞-2，
综上所述，c的范围是-2＜c＜，
故选：C．
由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．
连结并延长交于点，若是中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解全等三角形的性质，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，勾股定理求线段的长的方法是解题的关键．
根据题意，设，则正方形的边长为，，在中，，在中，，，再根据，即可求解．
【详解】解：设，
∴根据题意得，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
∴，
∵四个三角形全等，且是正方形，
∴，
∴在中，，
∴，
在中，点是中点，
∴，
∴，即，
∴，
两边平方得，，
∴
令，则，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：A ．
二、填空题（有6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知二次根式的值为4，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式的化简运算，根据题意建立等式求解，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
，
．
故答案为：5．
12. 分解因式： ____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
13 .一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为 ．
【答案】6
【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和个白球，
∴由简单概率公式可得，解得，
∴白球有6个，
故答案为：6．
14.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，
若反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为 ．
【答案】
【分析】先根据正方形的性质证明，由CO和 CH的值表示NO，NB，进而得出，由AM=ON得出a与b的关系，再将点E代入反比例函数关系式，求出a和b的值，即可求解．
【详解】解：过E作轴于H，
设，，
过点B作y轴的平行线交x轴于点N，作于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵点F与点E分别是BC，CD的中点，
∴，
∴，
∴OF=CH．
∵点F是BC的中点，，
∴，，
同理，
则，，，
故，
则点，
将点E的坐标代入，
得，而，
解得：，，，
故答案为：．
如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．
若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
【答案】
【分析】利用矩形和折叠的性质，证明，，推出，那么，设，在中，通过勾股定理可求出的长度，
本题考查了，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，特殊角直角三角形，解题的关键是：通过翻折的性质得到．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
由翻折知，，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设，则BE＝B'E＝x－，
∵，
∴
解得： （负值舍去）， ，
故答案为：．
解答题：本题共8小题，共66分。其中：第17-19题6分，第20-21题8分，
第22-23题10分，第24题12分。
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（１）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可；
（２）先解出①，得到，再解出②，得到，由大小小大中间取得到解集．
【详解】解：（1）原式
．
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
．
18.如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．

(1)若，试说明；
(2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】（1）根据，得到，，由证明全等即可．
（2）由全等的性质得到，由证明，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）
证明：连接、，

由（1）可知
，
在和中
．
如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，
与y轴交于点C，且点B的坐标为
(1)求一次函数和反比例函数的表达式及点A的坐标．
(2)若，请直接写出x的取值范围．
(3)求的面积．
【答案】(1)反比例函数表达式为；一次函数表达式为；点A坐标为
(2)或
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出A点的坐标；
（2）根据A、B点的坐标和图象得出答案即可；
（3）求出C点的坐标，再根据三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）解：∵点是一次函数与反比例函数图象的交点．
∴将代入，得
即反比例函数表达式为：
将代入，得
即一次函数表达式为
解方程组
得，或
所以，点A坐标为
（2）解：当时，x的取值范围是或．
（3）解：由一次函数表达式得点C坐标为
则．
20. 某中学为考察该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好（每人只能选其中一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次考察中一共调查了 名学生；“排球”部分所对应的圆心角为 度；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校有3000名学生，试估计该校喜欢乒乓球的学生约有多少人？
【答案】（1）150；
（2）见解析 （3）420人
【解析】
【分析】（1）根据其它的百分比和人数可求总数；利用扇形图所对的圆心角的度数百分比乘以360度即可求得；
（2）利用总数和百分比求出篮球的人数再补全条形图；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：在这次考察中一共调查了学生：（名），
“排球”部分所对应的圆心角为：，
故答案为：150；；
【小问2详解】
解：篮球的人数为：（名），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：（名），
答：该校喜欢乒乓球的学生约有420人．
21. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，
且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．
如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm
(2)点A到直线的距离约为21.5cm
【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，
连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）．
（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明；
（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：
①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由；
②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值．
【答案】（1）k＝1，理由见解析；（2）①k值发生变化，k＝，理由见解析；②tan∠EAC＝．
【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答；
（2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算；
②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）k＝1，
理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）
∴EC＝DB，即k＝1；
（2）①k值发生变化，k＝，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，
∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴，∠DAB＝∠EAC，
∴△EAC∽△DAB，
∴，即EC＝BD，
∴k＝；
②作EF⊥AC于F，
设AD＝DE＝a，则AE＝a，
∵点E为DC中点，
∴CD＝2a，
由勾股定理得，AC＝，
∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴，即，
解得，EF＝，
∴AF＝，
则tan∠EAC＝．
某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，
大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，
相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米
(2)米
【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
24. 已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）连接，根据三角形外角定理得，由圆心角是圆周角的一半得，再用外角定理得，两边加上等腰的两个相等底角得，即得；
（2）根据和的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，转化成与，，相关的角，最后得到，即得；
（3）过作于，连接，如图所示，根据（1）（2）中结论，由垂径定理及等腰直角三角形的判定与性质确定，设，则，由三角形相似的判定与性质，根据相似比列方程求解得到的值，在中，由勾股定理求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．