2024年四川省成都市青白江区中考数学二诊试卷(含答案)

这是一份2024年四川省成都市青白江区中考数学二诊试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列各数是无理数的是（ ）
A．﹣2B．1C．πD．
2．（4分）近年来，青白江加快打造国际供应链经济重要承载区，目前全区共有白酒存储园区12个，体量高达329万件，货值达140亿元．将数据“329万”用科学记数法表示为（ ）
A．0.329×107B．3.29×106C．32.9×105D．3.29×105
3．（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．x2y+2yx2＝3x2yB．3y2+4y3＝7y5
C．a+a＝a2D．2x﹣x＝2
4．（4分）从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在反比例函数图象上的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）某公司统计了今年3月销售部10名员工的销售某种商品的业绩如表：
则这10名销售人员在该月销售量的中位数和众数分别为（ ）
A．250，230B．250，210C．210，230D．210，210
6．（4分）如图，点D、E分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，添加一个条件，可得△ADE∽△ABC．不正确的是（ ）
A．∠AED＝∠CB．∠ADE＝∠BC．D．
7．（4分）中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够．问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，交x轴于（3，0），下列说法正确的是（ ）
A．b＜0B．b2＜4acC．a+c＝bD．2a﹣b＝0
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）分解因式：4x2y﹣12xy＝ ．
10．（4分）反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，那么k的取值范围是 ．
11．（4分）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放．若将含45°角的纸板固定不动，将含30°角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当AC∥DE时，如图2所示，旋转角∠DBC＝ °．
12．（4分）在平面直角坐标系中，若点A（3，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E，若AE＝5，BE＝1，则CE的长度为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（8分）“促进儿童心理健康，共同守护美好未来”．加强学生的心理健康教育上升为国家战略．国家卫生健康委举行新闻发布会，介绍我国如何从制度、服务、宣传等层面，守护儿童心理健康．为促进学生健康成长，某校开展了心理健康教育讲座．讲座前从该校七、八、九年级中随机抽取了部分学生，对学生关于心理健康知识的了解情况进行了问卷调查，根据收集到的数据信息进行统计．绘制了如下两幅不完整的统计图表．
某校学生心理健康知识了解情况统计表
根据图表中提供的信息，解答下列问题．
（1）直接写出答案：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）D组扇形所对的圆心角的度数是多少？
（3）从D组的甲、乙、丙、丁4位同学中，随机抽取两位同学进行心理健康知识宣讲，请用列表法或画树状图法求出丁同学未被抽中的概率．
16．（8分）如图1，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．
如图2是某种型号飞机的机翼形状，图中，MC∥ND∥BE，AB∥CE，∠BEC＝90°，请你根据图中的数据计算AB的长度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留小数点后一位）
17．（10分）在菱形ABCD中，以边AD为直径作半圆O交边CD于点E，交对角线AC于点F．
（1）证明：AF＝CF；
（2）当菱形的边长为5，，求AC和DE的长．
18．（10分）如图，函数y＝（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（，2n﹣3）两点．
（1）求n和k的值；
（2）点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S△AOC＝6，求C点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过C点作CD∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）若实数x满足x2﹣4x+y＝0，则的值为 ．
20．（4分）如图是一个正方体的展开图，如果相对面上的两个式子表示的数相等，则x+y的值为 ．
21．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为（0，2），点C为⊙D上的一点，已知∠OCA＝30°．现假设可以随意在⊙D中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
22．（4分）在边长为10的正方形ABCD中，点E为CD上一点，连接BE，将△BCE沿着BE折叠得到△BC'E，连接AC'、DC'．若∠CDC'＝∠DAC'，且，则CE＝ ．
23．（4分）现给出以下两个定义：
定义①：任意一个正整数n都可以进行这样的因数分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这样分解中，如果p，q这两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，记为：F（n）＝．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．
定义②：如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．
根据以上两个新定义，可求得F（15）＝ ；在所有的“吉祥数”中，F（t）的最大值为 ．
二、解答题（本大题共三个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．（8分）某景区元宵节举办灯会，需要购买A、B两种款式的花灯．若购买A款花灯10盏和B款花灯20盏，则需900元；若购买A款花灯15盏和B款花灯10盏，则需810元．
（1）求每盏A款花灯和每盏B款花灯的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种款式的花灯共200盏（两种款式的花灯均需购买），且购买B款花灯数量不超过购买A款花灯数量的，为使购买花灯的总费用最低，应购买A款花灯和B款花灯各多少盏？
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣1，1），B（2，4）两点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）若直线l：y＝kx+t（k、t是常数，k≠0）与抛物线有且只有一个公共点C（1，c），求直线l所对应的函数表达式；
（3）将（2）中的直线l向下平移2个单位得到直线l′，过点A的直线m：y＝（r﹣1）x+r与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线n：y＝（s+2）x﹣2s与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线l′上时，试探究直线DE是否过定点？若是，求出该定点的坐标：若不是，请说明理由．
26．（12分）【初步感知】
（1）如图1，在△ABC中，点D为AB边上一点，点E为AC边上一点，过点C作CF∥AB交射线DE于F，且DE＝EF，求AE与CE之间的数量关系；
【深入探究】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，点D为AC边上一点，射线BD绕点B逆时针旋转60°得到射线BE，射线BE与CA延长线交于E，点F为AB边上一点，线段CF与BD交于点M，若＝n，求CE，BC和BF之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当AE＝AC，F为AB中点时，将线段CF绕点C旋转得到线段CF′，线段CF′与射线BD交于点M′；若点F′到线段AC的距离为AC的长度，求的值．
2024年四川省成都市青白江区中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）下列各数是无理数的是（ ）
A．﹣2B．1C．πD．
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：﹣2，1，﹣是有理数；
π是无理数．
故选：C．
2．（4分）近年来，青白江加快打造国际供应链经济重要承载区，目前全区共有白酒存储园区12个，体量高达329万件，货值达140亿元．将数据“329万”用科学记数法表示为（ ）
A．0.329×107B．3.29×106C．32.9×105D．3.29×105
【分析】根据科学记数法的书写规则即可．
【解答】解：329万＝3290000＝3.29×106．
故选：B．
3．（4分）下列运算中正确的是（ ）
A．x2y+2yx2＝3x2yB．3y2+4y3＝7y5
C．a+a＝a2D．2x﹣x＝2
【分析】直接利用合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、x2y+2yx2＝3x2y，故此选项正确；
B、3y2+4y3无法计算，故此选项错误；
C、a+a＝2a，故此选项错误；
D、2x﹣x＝x，故此选项错误；
故选：A．
4．（4分）从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在反比例函数图象上的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图可得所有mn的积的等可能结果，由点（m，n）在反比例函数图象上可得mn＝6，进而求解．
【解答】解：画树状图如下，
2×3＝6，3×2＝6，
∵共有6种等可能的结果，点P在反比例函数y＝的图象上的有2种情况，
∴点（m，n）在反比例函数图象上的概率为＝，
故选：B．
5．（4分）某公司统计了今年3月销售部10名员工的销售某种商品的业绩如表：
则这10名销售人员在该月销售量的中位数和众数分别为（ ）
A．250，230B．250，210C．210，230D．210，210
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：这10名销售人员在该月销售量的中位数是＝210，众数为210，
故选：D．
6．（4分）如图，点D、E分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，添加一个条件，可得△ADE∽△ABC．不正确的是（ ）
A．∠AED＝∠CB．∠ADE＝∠BC．D．
【分析】由相似三角形的判定，即可判断．
【解答】解：A、B中的条件，又∠DAE＝∠BAC，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定△ADE∽△ABC，故A、B不符合题意；
C、＝，又∠DAE＝∠BAC，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ADE∽△ABC，故C不符合题意；
D、＝，两边对应成比例，但夹角∠AED和∠C不一定相等，不能判定△ADE∽△ABC，故D符合题意．
故选：D．
7．（4分）中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够．问有几个人，羊的价格是多少？”设有x人，羊的价格为y元，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“每人出五元，还差九十元；每人出五十元，刚好够”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵每人出五元，还差九十元，
∴5x﹣y＝﹣90；
∵每人出五十元，刚好够，
∴50x﹣y＝0．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
8．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，交x轴于（3，0），下列说法正确的是（ ）
A．b＜0B．b2＜4acC．a+c＝bD．2a﹣b＝0
【分析】依据题意，由抛物线开口向下，则a＜0，又对称轴是直线x＝﹣＝1，从而b＝﹣2a＞0，故可判断A；又抛物线与x轴交于两点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，故可判断B；又对称轴是直线x＝1，且抛物线过（3，0），从而抛物线必过点（﹣1，0），即有y＝a﹣b+c＝0，故可判断C；由b＝﹣2a，进而可得2a﹣b＝2a+2a＝4a＜0，故可判断D．
【解答】解：如图，∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
又对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，故A错误．
又抛物线与x轴交于两点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac，故B错误．
∵对称轴是直线x＝1，且抛物线过（3，0），
∴抛物线必过点（﹣1，0）．
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0．
∴a+c＝b，故C正确．
∵b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝2a+2a＝4a＜0，故D错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）分解因式：4x2y﹣12xy＝ 4xy（x﹣3） ．
【分析】直接提取公因式4xy进行分解因式即可．
【解答】解：4x2y﹣12xy＝4xy（x﹣3），
故答案为：4xy（x﹣3）．
10．（4分）反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，那么k的取值范围是 k＞﹣3 ．
【分析】先根据函数的增减性得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，
∴k+3＞0，
解得k＞﹣3．
故答案为：k＞﹣3．
11．（4分）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放．若将含45°角的纸板固定不动，将含30°角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当AC∥DE时，如图2所示，旋转角∠DBC＝ 45 °．
【分析】根据所给旋转方式，利用平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：令BD与AC的交点为M，
∵AC∥DE，
∴∠AMB＝∠D＝90°，
又∵∠C＝45°，
∴∠DBC＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45．
12．（4分）在平面直角坐标系中，若点A（3，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是 ﹣3 ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点（3，2）与点（m，﹣2）关于原点对称，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E，若AE＝5，BE＝1，则CE的长度为 ．
【分析】利用基本作图得到CE⊥AB于E点，所以∠AEC＝90°，由于AC＝AB＝6，则在Rt△ACE中利用勾股定理可计算出CE．
【解答】解：由作法得CE⊥AB于E点，
∴∠AEC＝90°，
∵AE＝5，BE＝1，
∴AC＝AB＝5+1＝6，
在Rt△ACE中，CE＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的乘法法则进行计算，进而合并得出答案；
（2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3﹣6×+1﹣3
＝3﹣3﹣2
＝﹣2；
（2）解①得：x＞3；
解②得：x≤7，
故不等式组的解集为：3＜x≤7．
15．（8分）“促进儿童心理健康，共同守护美好未来”．加强学生的心理健康教育上升为国家战略．国家卫生健康委举行新闻发布会，介绍我国如何从制度、服务、宣传等层面，守护儿童心理健康．为促进学生健康成长，某校开展了心理健康教育讲座．讲座前从该校七、八、九年级中随机抽取了部分学生，对学生关于心理健康知识的了解情况进行了问卷调查，根据收集到的数据信息进行统计．绘制了如下两幅不完整的统计图表．
某校学生心理健康知识了解情况统计表
根据图表中提供的信息，解答下列问题．
（1）直接写出答案：a＝ 30 ，b＝ 10 ，m＝ 20 ；
（2）D组扇形所对的圆心角的度数是多少？
（3）从D组的甲、乙、丙、丁4位同学中，随机抽取两位同学进行心理健康知识宣讲，请用列表法或画树状图法求出丁同学未被抽中的概率．
【分析】（1）先用C组的份数除以C组所占的百分比求出抽取学生总数，然后乘以B组所占百分比即可求得a，进而求出b；再求出A组的份数，最后利用百分比即可求得m；
（2）用360°乘以D组所占的百分比即可；
（3）先画出树状图求得一共有12种等可能的结果，丁同学未被抽中的结果一共有6种，然后运用概率公式即可解答．
【解答】解：（1）抽取学生总数为：40÷40%＝100人，
B组的份数：a＝100×30%＝30份，
D组的份数为：b＝100﹣40﹣30＝30份，
A组所占的百分比为：
故答案为：30；10；20
（2）D组扇形所对的圆心角的度数为；
（3）画树状图如下：
由图可知，一共有12种等可能的结果，丁同学未被抽中的结果一共有6种，
∴丁同学未被抽中的概率为．
16．（8分）如图1，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．
如图2是某种型号飞机的机翼形状，图中，MC∥ND∥BE，AB∥CE，∠BEC＝90°，请你根据图中的数据计算AB的长度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留小数点后一位）
【分析】求出CF＝AF＝6m，DE＝2，得出CE的长，即可得出答案．
【解答】解：∵MC∥ND∥BE，AB∥CE，∠BEC＝90°，
∴∠ECM＝∠EBA＝∠NDE＝90°，∠DBE＝∠NDB＝30°，
过点A作AF⊥CE于F，如图所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AF＝BE＝6，AB＝EF，
∵∠MCA＝45°，
∴∠ACF＝90°﹣45°＝45°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴CF＝AF＝BE＝6，
∵∠DBE＝30°，
∴DE＝BE＝2，
∴CE＝CD+DE＝3.8+2，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝3.8+2﹣6≈1，3（m）
答：AB的长度约为1.3米．
17．（10分）在菱形ABCD中，以边AD为直径作半圆O交边CD于点E，交对角线AC于点F．
（1）证明：AF＝CF；
（2）当菱形的边长为5，，求AC和DE的长．
【分析】（1）连接DF，由圆周角定理推出DF⊥AC，由菱形的性质得到CD＝AD，由等腰三角形的性质即可证明AF＝CF．
（2）连接AE，由锐角的正弦定义求出CF＝3，得到AC＝2CF＝6，由圆周角定理得到∠AED＝90°，求出CEA＝90°，得到∠CEA＝∠CFD，而∠DCF＝∠ACE，判定△CEA∽△CFD，得到CE：CF＝AC：CD，即可求出CE的长．
【解答】（1）证明：连接DF，
∵AD是半圆直径，
∴∠AFD＝90°，
∴DF⊥AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD，
∴AF＝CF．
（2）解：连接AE，
∵∠AFD＝90°，
∴∠DFC＝180°﹣∠AFD＝90°，
∵菱形ABCD的边长是5，
∴AD＝5，∠BAC＝∠DAF，
∴cs∠BAC＝cs∠DAF＝＝，
∴AF＝3．，
由（1）知，AC＝2AF，AF＝CF＝3，
∴AC＝6，
∵AD是半圆直径，
∴∠AED＝90°，
∴CEA＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CEA＝∠CFD，
∵∠DCF＝∠ACE，
∴△CEA∽△CFD，
∴CE：CF＝AC：CD，
∴CE：3＝6：5，
∴CE＝，
∴DE＝CD﹣CE＝．
18．（10分）如图，函数y＝（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（，2n﹣3）两点．
（1）求n和k的值；
（2）点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S△AOC＝6，求C点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过C点作CD∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得n、k的值；
（2）设点，过点C做CG⊥x轴于点G，交OA于点H，以CH为底，由△AOC的面积解出点C坐标；
（3）先用待定系数法求得进而求出直线DE的解析式，再分两种情况进行讨论：①以DE为直角边，D为直角顶点；②以DE为直角边，E为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．
【解答】解：（1）∵函数y＝的图象过点A（n，2）和和B（，2n﹣3）两点，代入得：
，
解得，
故n和k的值分别为4，8；
（2）∵n＝4，k＝8，
∴点A（4，2）和B（，5），
设直线OA的解析式为：y＝mx，
把A（4，2）代入y＝mx，得2＝4m，
解得m＝，
∴直线OA的解析式为：y＝x，
过点C作CG⊥x轴于点G，交直线OA于点H，如图1，
设C（m，）（m＞0），
∴H（m，），
∴S△AOC＝•xA＝6，
∴（﹣）×4＝6，
∴m＝2或m＝8（不符合题意舍去），
∴C（2，4），
（3）第二象限内存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形，理由如下：
∵DE∥OA，直线OA的解析式为：y＝x，
∴设直线DE的解析式为：y＝，
∵点C（2，4）在直线DE上，
∴4＝，即b＝3，
∴直线DE的解析式为：y＝x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴E（0，3），OE＝3
当y＝0时，x＝﹣6，
∴D（﹣6，0），OD＝6，
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以DE为直角边，D为直角顶点；
如图2，过F1做F1K⊥x轴于点K，可知：∠F1KD＝∠DOE＝90°，
∵∠F1DE＝90°，
∴∠F1DK+∠EDO＝90°，
又∵∠DEO+∠EDO＝90°，
∴∠F1DK＝∠DEO，
又∵DF1＝DE，
∴△F1KD≌△DOE（AAS），
∴F1K＝DO＝6，KD＝OE＝3，
故点D到点F1的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点F1坐标，
∵D（﹣6，0），且F在第二象限，
∴F1（﹣6﹣3，0+6）即F1（﹣9，6）；
②以DE为直角边，E为直角顶点；同①理得，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得F2（﹣3，9）．
综上所述：点F（﹣9，6）或（﹣3，9）．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）若实数x满足x2﹣4x+y＝0，则的值为 ．
【分析】先化简所求式子，再根据x2﹣4x+y＝0，可以得到y＝4x﹣x2，再整体代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
∵x2﹣4x+y＝0，
∴y＝4x﹣x2，
∴原式＝＝，
故答案为：．
20．（4分）如图是一个正方体的展开图，如果相对面上的两个式子表示的数相等，则x+y的值为 5 ．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x﹣a”与面“1”相对，面“4”与面“y+a”相对，面“2”与面“2”相对．
x﹣a＝1，4＝y+a，得x+y＝5
故答案为：5．
21．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为（0，2），点C为⊙D上的一点，已知∠OCA＝30°．现假设可以随意在⊙D中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
【分析】连接AB，根据∠AOB＝90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA＝∠C＝30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影＝S半圆﹣S△ABO即可得出阴影部分的面积，而后利用概率的公式作答．
【解答】解：连接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，
∵OB＝2，
∴OA＝OB•tan∠ABO＝OBtan30°＝2×＝2，AB＝AO÷sin30°＝4，即圆的半径为2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO＝﹣×2×2＝2π﹣2，圆的面积＝4π．
∴这个点取在阴影部分的概率是：．
故答案为：．
22．（4分）在边长为10的正方形ABCD中，点E为CD上一点，连接BE，将△BCE沿着BE折叠得到△BC'E，连接AC'、DC'．若∠CDC'＝∠DAC'，且，则CE＝ ．
【分析】过点C'作C'F⊥CD，由正方形的性质可得∠ADC＝90°，AD＝CD＝10，利用∠CDC'＝∠DAC'，，可得∠AC'D＝90°，AC'＝2DC'，由勾股定理可得 ，C'F＝2，可知DF＝4，CF＝6，由折叠可知，CE＝C'E＝x，则EF＝6﹣x，由勾股定理可得：C'E2＝C'F2+EF2，即：x2＝（6﹣x）2+22，解出方程求出x，即可得．
【解答】解：过C'作C'F⊥CD于F，
，
∵正方形ABCD边长为10，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝10，
∵∠CDC'＝∠DAC'，∠CDC'+∠ADC'＝∠ADC＝90°
∴∠DAC'+∠ADC'＝90°，即：∠AC'D＝90°，
∵，即AC'＝2DC'，
由勾股定理可得：DC'2＝AD2﹣AC'2，
∴DC′＝，
解得DC′＝2或﹣2（舍），
，即：DF＝2C'F，
同理可得：C'F＝2，则DF＝4，
∴CF＝CD﹣DF＝6，
由折叠可知，CE＝C'E＝x，则EF＝CF﹣CE＝6﹣x，
由勾股定理可得：C'E2＝C'F2+EF2，即：x2＝（6﹣x）2+22，
解得：，即：，
故答案为：．
23．（4分）现给出以下两个定义：
定义①：任意一个正整数n都可以进行这样的因数分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这样分解中，如果p，q这两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，记为：F（n）＝．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．
定义②：如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．
根据以上两个新定义，可求得F（15）＝ ；在所有的“吉祥数”中，F（t）的最大值为 ．
【分析】15＝1×15＝3×5，由已知可求F（15）＝；根据“吉祥数”的定义，交换后的数减去交换前的数的差为：10y+x﹣10x﹣y＝9（y﹣x）＝54，则y﹣x＝4，可求t为59，48，37，26，15，再求F（t）即可确定F（t）的最大值．
【解答】解：（1）15＝1×15＝3×5，
∵15﹣1＞5﹣3，
∴F（15）＝；
（2）∵t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），
交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去交换前的数的差为：
10y+x﹣10x﹣y＝9（y﹣x）＝36，
∴y﹣x＝4，
∵1≤x≤y≤9，
∴y＝9，x＝5或y＝8，x＝4或y＝7，x＝3，或y＝6，x＝2或y＝5，x＝1，
∴t为59，48，37，26，15；
∵59＝1×59，
∴F（59）＝；
∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，
∴F（48）＝；
∵37＝1×37，
∴F（37）＝，
∵26＝1×26＝2×13，
∴F（26）＝，
∵15＝1×15＝3×5，
∴F（15）＝，
∴F（t）的最大值．
故答案为：；．
二、解答题（本大题共三个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．（8分）某景区元宵节举办灯会，需要购买A、B两种款式的花灯．若购买A款花灯10盏和B款花灯20盏，则需900元；若购买A款花灯15盏和B款花灯10盏，则需810元．
（1）求每盏A款花灯和每盏B款花灯的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种款式的花灯共200盏（两种款式的花灯均需购买），且购买B款花灯数量不超过购买A款花灯数量的，为使购买花灯的总费用最低，应购买A款花灯和B款花灯各多少盏？
【分析】（1）设每盏A款花灯x元，每盏B款花灯y元，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设应购买A款花灯m盏，则应购买B款花灯（200﹣m）盏，根据题意，列出不等式求出m的取值范围，设购买花灯的总费用为w元，求出w与m的一次函数，根据一次函数的性质即可求解；
【解答】解：（1）设每盏A款花灯x元，每盏B款花灯y元，
由题意可得，
解得，
答：设每盏A款花灯36元，每盏B款花灯27元；
（2）解：设应购买A款花灯m盏，则应购买B款花灯（200﹣m）盏，
由题意可得，，
解得m≥150，
设购买花灯的总费用为w元，
则w＝36m+27（200﹣m）＝9m+5400（元），
∵w是m的一次函数，k＝9＞0，
∴当m＝150时，总费用w的值最小，
∴200﹣m＝200﹣150＝50（盏），
答：为使购买花灯的总费用最低，应购买A款花灯150盏，则应购买B款花灯50盏．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣1，1），B（2，4）两点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）若直线l：y＝kx+t（k、t是常数，k≠0）与抛物线有且只有一个公共点C（1，c），求直线l所对应的函数表达式；
（3）将（2）中的直线l向下平移2个单位得到直线l′，过点A的直线m：y＝（r﹣1）x+r与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线n：y＝（s+2）x﹣2s与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线l′上时，试探究直线DE是否过定点？若是，求出该定点的坐标：若不是，请说明理由．
【分析】（1）依据题意，由待定系数法即可求解；
（2）依据题意，直线l与抛物线有且只有一个公共点，则Δ＝k2﹣4k+4＝0，即可求解；
（3）依据题意，求出点P的坐标为：（，+r），得到sr+s+r＝3，设直线DE的表达式为：y＝ax+b，得到a+b＝3，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2．
（2）由题意，当x＝1时，y＝x2＝1，即点C（1，1），
则直线l的表达式为：y＝k（x﹣1）+1＝kx﹣k+1，
∵直线l与抛物线有且只有一个公共点，
则联立上述两个函数表达式得：x2＝kx﹣k+1，
则Δ＝k2﹣4k+4＝0，
解得：k＝2，
则直线l的表达式为：y＝2x﹣1．
（3）由题意，直线DE是否过定点（1，3），理由：
直线l向下平移2个单位得到直线l′，则直线l′为：y＝2x﹣3，
联立直线m：y＝（r﹣1）x+r与抛物线的表达式得：（r﹣1）x+r＝x2，
即x2﹣（r﹣1）x﹣r＝0，
而x1x2＝﹣r，xA＝﹣1＝x1，
则x2＝r＝xD，
即点D（r，r2），
同理可得，点S（s，s2）．
联立直线m、n的表达式得：（r﹣1）x+r＝（s+2）x﹣2s，
解得：xP＝，
则点P的坐标为：（，+r）．
∵点P在直线y＝2x﹣3上，
则+r＝2×﹣3，
整理得：sr+s+r＝3，
设直线DE的表达式为：y＝ax+b，
则，解得：，
∴a+b＝3．
则直线DE的表达式y＝ax+b＝a（x﹣1）+3．
∴当x＝1时，y＝3．
即直线DE过顶点（1，3）．
26．（12分）【初步感知】
（1）如图1，在△ABC中，点D为AB边上一点，点E为AC边上一点，过点C作CF∥AB交射线DE于F，且DE＝EF，求AE与CE之间的数量关系；
【深入探究】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，点D为AC边上一点，射线BD绕点B逆时针旋转60°得到射线BE，射线BE与CA延长线交于E，点F为AB边上一点，线段CF与BD交于点M，若＝n，求CE，BC和BF之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当AE＝AC，F为AB中点时，将线段CF绕点C旋转得到线段CF′，线段CF′与射线BD交于点M′；若点F′到线段AC的距离为AC的长度，求的值．
【分析】（1）证明△ADE≌△CFE（AAS），从而得出结论；
（2）作CG∥AB交BD的延长线于G，证明△CMG∽△EMB，可得出CG＝BF，可证明△ABE≌△CBG，AE＝CG＝BF，进一步得出结果；
（3）作CG∥AB交BD的延长线于点G，作F′H⊥AC于H，作M′R⊥AC于R，连接BH，不妨设AB＝AC＝4，AE＝1，则CF′＝CF＝，由（2）知：CG＝AE＝1，根据得出CD＝，依次计算得出F′H，CH，DH的值，进而得出tan∠M′DR＝tan∠ADH＝＝，进而得出，设M′R＝5k，DR＝3k，进而表示出CR＝，根据CR+DR＝CD得，从而求得k值，进而得出M′R，CM′的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）AE＝CE，理由如下，
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，
∵∠ADE＝∠F，
∴DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE＝CE；
（2）如图1，作CG//AB交BD的延长线于G，
∴△CMG∽△FMB，
∠ACG＝∠BAC，
∴，
∴CG＝BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠ACG＝60°，∠BAE＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴∠BCG＝∠ACB+∠ACG＝120°．
∴∠BCG＝∠BAE，
∵∠EBD＝60°，
∴∠EBD＝∠ABC，
∴∠EBD﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠ABD，
∴∠ABE＝∠CBG，
∴△ABE≌△CBG（ASA），
∴AE＝CG＝BF，
∵CE＝AE+AC，
∴CE＝BF+BC；
（3）如图2，
作CG∥AB交BD的延长线于点G，作F′H⊥AC于H，作M′R⊥AC于R，连接BH，
不妨设AB＝AC＝4，AE＝1，则CF′＝CF＝，
由（2）知：CG＝AE＝1，
∴，
∴CD＝，
∵F′H＝AC＝2，
∴CH＝＝＝2，
∴CH＝AC，DH＝CH﹣CD＝2﹣＝，
∴BH⊥AC，
∴tan∠M′DR＝tan∠ADH＝＝，
∴，
设M′R＝5k，DR＝3k，
∵tan∠ACM′＝，
∴，
∴CR＝，
由CR+DR＝CD得，
，
∴k＝，
∴M′R＝5＝，
∵sin∠ACF′＝，
∴CM′＝＝，
∴＝，
∴＝．
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