2024年浙江省宁波市海曙区中考数学一模试卷附解析

这是一份2024年浙江省宁波市海曙区中考数学一模试卷附解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在﹣3，﹣1，π，这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．πD．
2．（3分）下列算式中，计算结果为a3的是（ ）
A．﹣a•（﹣a）2B．（﹣a）2•aC．（﹣a）2+aD．（﹣a）2÷a
3．（3分）据国家移民管理局消息，截止2023年12月31日，试行单方面免签政策的6国约有120000人次免签入境中国，将数据“120000”用科学记数法表示为a×10n形式，则（ ）
A．a＝1.2，n＝3B．a＝1.2，n＝5
C．a＝1.2，n＝6D．a＝0.12，n＝6
4．（3分）某无盖分类垃圾桶如图所示，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（ ）
A．5sin10°厘米B．5cs10°厘米
C．5tan10°厘米D．厘米
6．（3分）已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数和中位数是（ ）
A．a，B．a，
C．a，D．a，
7．（3分）一个三位数，百位上的数字a与个位上的数字c的和恰好等于十位上的数字b，且a≠c，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．两个相等的实数根
B．两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定有没有实数根
8．（3分）把含30°的直角三角尺和一把直尺摆放成如图所示的图形，能使∠1与∠2互余的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC＝1：2：3，若S2＝6，则S1+S3＝（ ）
A．10B．12C．15D．16
10．（3分）如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE，EF，若AC2+DE2＝AE2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：2x2﹣12x+18＝ ．
12．（4分）在0，1，2，3四个实数中随机选择一个作为x的值，结果使分式的值为0的概率为 ．
13．（4分）已知二元一次方程组，则2x﹣y的值为 ．
14．（4分）如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为 ．
15．（4分）如图，直线y＝kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，矩形ABCD位于第一象限，若矩形ABCD的面积为20，则直线CD必经过一点，这个点的坐标为 ．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝4，∠A＝60°，点E，F分别为边CD，AB上异于端点的动点，且DE＝BF，连结EF，将四边形CEFB沿着EF折叠得到四边形HEFG．当点G落在平行四边形ABCD的边上时，BG的长为 ．
三、解答题（第17、18、19题每题8分，第20、21、22题每题10分，第23题12分，共66分）
17．（8分）如图，在下列4×4的正方形网格中，按要求作图．
（1）在图①②③中，分别画一条线段，使各网格为轴对称图形（要求所画图形互不相同）；
（2）在图④中，画一条线段，使整个网格为中心对称图形．
18．（8分）有一道题：“如图，数轴上点A，B位于原点O的左侧，分别表示实数x与（x﹣2），且满足，求x的取值范围．”小宁和小波解决此问题的过程分别如下：
（1）不考虑其他，这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是 ；（填写序号）
（2）请写出正确的解答过程．
19．（8分）“百节年为首，四季春为先”，春节是我们中华民族最为隆重的传统节日．某日小宁在微博APP上通过网络投票对“过年计划做的事情”展开调查，当天调查数据如下：
（1）请直接写出条形统计图中m＝ ；
（2）请直接写出该组数据的众数所在组别，并求出B组所对应的扇形圆心角的度数；
（3）经10天的调查，共收到2400份调查结果，根据上述数据估计属于A组大约有多少人？
20．（10分）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为10N和5N．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示．
（1）图乙中，点A对应状态 ，点B对应状态 ，（“状态”后填写图形序号）a＝ ，b＝ ；
（2）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为8N，求圆柱体浸入水中的高度．
21．（10分）若二次函数y＝x2+2mx+c与x轴只有一个交点，且经过A（a，b）和B（a+2，b）．
（1）用含a的代数式表示m；
（2）若点C（2a+2，32﹣c）也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式．
22．（10分）（1）如图1，BP平分∠ABC，M，N分别在射线BA，BC上，若BM＝BN，求证：PM＝PN；
（2）如图2，在△ABC中，CP⊥CB交边AB于点P，PH⊥AC于点H．已知∠ACP＝∠B，CH＝2，AB＝5，求△ABC的面积；
（3）如图3，在等边△ABC中，点D在边AB上，P为BA延长线上一点，E为边AC上一点，已知CA平分∠PCD，∠ADE＝∠CPD，AE＝2，AD＝3，求PA的长．
23．（12分）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过O，C两点的⊙P切线段AD于点T，分别交线段OD，CD，BC于点F，E，M，连结FM，已知AB＝5．（1）求证：BM＝FM；
（2）若M为BC的中点，求⊙P的半径；
（3）若⊙P的半径为3，求tan∠OCE的值．
2024年浙江省宁波市海曙区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．（3分）在﹣3，﹣1，π，这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．πD．
【答案】A
【分析】先求出2＜3，则﹣3＜π，即可得出结果．
【解答】解：∵，
∴2＜3，
∴﹣3＜π，
故选：A．
2．（3分）下列算式中，计算结果为a3的是（ ）
A．﹣a•（﹣a）2B．（﹣a）2•aC．（﹣a）2+aD．（﹣a）2÷a
【答案】B
【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可；
B．先算乘方，再根据同底数幂相乘法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可；
C．先算乘方，再判断是否是同类项，能否合并，然后进行判断即可；
D．先算乘方，再根据同底数幂相除法则进行计算即可．
【解答】解：A．∵﹣a•（﹣a）2＝（﹣a）3＝﹣a3，∴计算结果不是a3，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣a）2•a＝a2•a＝a3，∴计算结果是a3，故此选项符合题意；
C．∵（﹣a）2+a＝a2+a，∴计算结果不是a3，故此选项不符合题意；
D．∵（﹣a）2÷a＝a2÷a＝a，∴计算结果不是a3，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）据国家移民管理局消息，截止2023年12月31日，试行单方面免签政策的6国约有120000人次免签入境中国，将数据“120000”用科学记数法表示为a×10n形式，则（ ）
A．a＝1.2，n＝3B．a＝1.2，n＝5
C．a＝1.2，n＝6D．a＝0.12，n＝6
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：120000＝1.2×105．
∴a＝1.2，b＝5．
故选：B．
4．（3分）某无盖分类垃圾桶如图所示，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可做出判断．
【解答】解：从上向下看，是两个同心圆．
故选：B．
5．（3分）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（ ）
A．5sin10°厘米B．5cs10°厘米
C．5tan10°厘米D．厘米
【答案】C
【分析】根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】解：由题意可知：在Rt△PNB中，∠B＝10°，BN＝5厘米，
∵tanB＝，
∴PN＝BN•tanB＝5tanB10°（厘米），
故选：C．
6．（3分）已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数和中位数是（ ）
A．a，B．a，
C．a，D．a，
【答案】C
【分析】对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可．
【解答】解：由平均数定义可知：（a1+a2+a3+0+a4+a5）＝×5a＝a；
将这组数据按从小到大排列为0，a5，a4，a3，a2，a1；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数．
∴其中位数为．
故选：C．
7．（3分）一个三位数，百位上的数字a与个位上的数字c的和恰好等于十位上的数字b，且a≠c，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（ ）
A．两个相等的实数根
B．两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定有没有实数根
【答案】B
【分析】先根据题意得b＝a+c，再计算根的判别式的值得到Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣c）2，然后利用Δ＞0可判断方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：根据题意得b＝a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2，
∵a≠c，
∴（a﹣c）2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
8．（3分）把含30°的直角三角尺和一把直尺摆放成如图所示的图形，能使∠1与∠2互余的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，余角和补角，三角形的外角性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：如图：
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵∠EFG＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°；
如图：延长EF交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠FHM，
∵∠EFG是△FHM的一个外角，
∴∠EFG＝∠2+∠FHM＝90°，
∴∠2+∠1＝90°；
如图：
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵∠EFG＝90°，
∴∠3+∠2＝180°﹣∠EFG＝90°，
∴∠2+∠1＝90°；
如图：过点F作FH∥AD，
∴∠1＝∠DFH，
∵AD∥BC，
∴FH∥BC，
∴∠2＝∠HFG，
∵∠EFG＝90°，
∴∠DFH+∠HFG＝90°，
∴∠1+∠2＝90°；
所以，能使∠1与∠2互余的图形有4个，
故选：D．
9．（3分）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC＝1：2：3，若S2＝6，则S1+S3＝（ ）
A．10B．12C．15D．16
【答案】C
【分析】图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA：AB：BC＝1：2：3，若S2＝6，则S1+S3＝（ ）
由OA：AB：BC＝1：2：3，得S1＝，S4＝k＝，S1+S4＝，所以S2＝S4＝6，S5＝S1＝，根据，解得k＝18，即得S5＝3，进而即可求得S1+S3＝k﹣S5＝18﹣3＝15．
【解答】解：∵OA：AB：BC＝1：2：3，S2＝6，
∴S1＝，S4＝k＝，S1+S4＝，
∴S2+S5＝，
∴S2＝S4＝6，S5＝S1＝，
∴，
∴k＝18，
∴S5＝S1＝3，
∵S1+S5+S3＝k，
∴S1+S3＝k﹣S5＝18﹣3＝15．
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE，EF，若AC2+DE2＝AE2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5
【答案】A
【分析】作DM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N，设AD＝a，DC＝b，CE＝c．易得△DCM∽△ECN，可得所求的三角形的高的比，进而根据平行线分线段成比例定理可得所求三角形的底边的比．根据AC2+DE2＝AE2，可得b和ac之间的关系，进而可得所求的两三角形的面积的比．
【解答】解：作DM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N.
∴∠DMC＝∠ENC＝90°．
设AD＝a，DC＝b，CE＝c．
∵∠DCM＝∠ECN，
∴△DCM∽△ECN．
∴＝＝．
∵DF∥AB，
∴＝＝．
∵AC2+DE2＝AE2，
∴（a+b）2+（b+c）2＝（a+b+c）2．
∴b2＝2ac．
∴＝＝＝．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：2x2﹣12x+18＝ 2（x﹣3）2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2x2﹣12x+18，
＝2（x2﹣6x+9），
＝2（x﹣3）2．
故答案为：2（x﹣3）2．
12．（4分）在0，1，2，3四个实数中随机选择一个作为x的值，结果使分式的值为0的概率为 ．
【答案】．
【分析】确定使得分式为0的x的值，然后利用概率公式求得答案即可．
【解答】解：在0，1，2，3四个实数中使分式的值为0的x的值为2或3，共2个，
所以结果使分式的值为0的概率为＝，
故答案为：．
13．（4分）已知二元一次方程组，则2x﹣y的值为 4 ．
【答案】4．
【分析】对于方程组，将①+②即可得出2x﹣y的值．
【解答】解：对于方程组，
①+②得：2x﹣y＝4．
故答案为：4．
14．（4分）如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为 5 ．
【答案】5．
【分析】根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可．
【解答】解：根据题意得2πr＝，
解得r＝5．
故答案为：5．
15．（4分）如图，直线y＝kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，矩形ABCD位于第一象限，若矩形ABCD的面积为20，则直线CD必经过一点，这个点的坐标为 （5，4） ．
【答案】（5，4）．
【分析】过A作AM∥x轴交CD于点M，连结BM，作BH⊥AM于点H，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标，进而可得出BH的长度，由矩形ABCD的面积，可求出三角形ABM的面积，利用三角形的面积公式，可求出AM的长度，再结合BH的长，即可得出点M的坐标．
【解答】解：过A作AM∥x轴交CD于点M，连结BM，作BH⊥AM于点H，如图所示.
当x＝0时，y＝k×0+4＝4，
∴点A的坐标为（0，4），
∴BH＝4．
∵矩形ABCD的面积为20，
∴S△ABM＝S矩形ABCD＝×20＝10＝AM•BH，
∴AM＝5，
∴点M的坐标为（5，4），
∴直线CD必经过一点（5，4）．
故答案为：（5，4）．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝4，∠A＝60°，点E，F分别为边CD，AB上异于端点的动点，且DE＝BF，连结EF，将四边形CEFB沿着EF折叠得到四边形HEFG．当点G落在平行四边形ABCD的边上时，BG的长为 4或3或2 ．
【答案】4或3或2．
【分析】连接BE，DF，BD，交EF于点O，延长EF交BG于点P，推导出动点G的轨迹是以O为圆心，OB长为半径的圆弧．然后分三种情况：当点G落在AB边上时；当点G落在AD边上时；当点G与点D重合时，分别解得BG的长即可．
【解答】解：如图1，连接BE，DF，BD，交EF于点O，延长EF交BG于点P，
∵DE∥BF，DE＝BF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵BD、EF是对角线，
∴BD与EF互相平分，点O为BD的中点，
∵四边形CEFB沿着EF折叠得到四边形HEFG，
∴EP垂直平分BG，
∴动点G的轨迹是以O为圆心，OB长为半径的圆弧．
①当点G落在AB边上时，如图2，
∵DE＝BF＝GF，DE∥GF，EF⊥GF，
∴四边形DEFG是矩形，
∴∠AGD＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ADG＝30°，
∴AG＝AD＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝4；
②当点G落在AD边上时，
∵BD为直径，
∴∠BGD＝90°，
∴∠ABG＝30°，
∴AG＝AB＝3，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：BG＝＝＝3；
③当点G与点D重合时，
作DM⊥AB，
则∠ADM＝30°，
∴AM＝2，DM＝＝2，BM＝6﹣2＝4，
∴BD＝BG＝＝2，
综上，BG的长为4或3或2．
三、解答题（第17、18、19题每题8分，第20、21、22题每题10分，第23题12分，共66分）
17．（8分）如图，在下列4×4的正方形网格中，按要求作图．
（1）在图①②③中，分别画一条线段，使各网格为轴对称图形（要求所画图形互不相同）；
（2）在图④中，画一条线段，使整个网格为中心对称图形．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据轴对称图形的定义画图即可．
（2）根据中心对称图形的定义画图即可．
【解答】解：（1）如图①②③所示．
（2）如图④所示．
18．（8分）有一道题：“如图，数轴上点A，B位于原点O的左侧，分别表示实数x与（x﹣2），且满足，求x的取值范围．”小宁和小波解决此问题的过程分别如下：
（1）不考虑其他，这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是 ①③④ ；（填写序号）
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①③④；
（2）．
【分析】（1）根据不等式的基本性质以及去括号的法则判断即可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、系数化为1可得，注意x的取值要符合题意．
【解答】解：（1）不考虑其他，这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是①③④；
故答案为：①③④；
（2），
﹣3x﹣2+x≤3，
﹣2x≤5，
，
∵点A在原点左侧，
∴x＜0，
∴．
19．（8分）“百节年为首，四季春为先”，春节是我们中华民族最为隆重的传统节日．某日小宁在微博APP上通过网络投票对“过年计划做的事情”展开调查，当天调查数据如下：
（1）请直接写出条形统计图中m＝ 60 ；
（2）请直接写出该组数据的众数所在组别，并求出B组所对应的扇形圆心角的度数；
（3）经10天的调查，共收到2400份调查结果，根据上述数据估计属于A组大约有多少人？
【答案】（1）60；
（2）众数在C组，60°；
（3）200人．
【分析】（1）根据C组别占比50%，可知C组的人数等于其余三项之和，据此即可解答；
（2）根据众数的概念，即可求解出该组数据的众数所在组别；
想求出B组所对应的扇形圆心角的度数，要先求出B组的人数占比，再根据各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可求解．
（3）先求出A组的占比，再乘总数，即可求解．
【解答】解：（1）10+20+30＝60（人），
故答案为：60．
（2）根据众数的概念可知，这组数据中C组的数据最多，所以众数在C组，
60÷50%＝120（人），
，
答：众数在C组，B组所对应的扇形圆心角的度数为60°．
（3） （人），
答：估计属于A组大约有200人．
20．（10分）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为10N和5N．整个过程中，弹簧测力计读数F与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示．
（1）图乙中，点A对应状态 ② ，点B对应状态 ④ ，（“状态”后填写图形序号）a＝ 10 ，b＝ 5 ；
（2）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为8N，求圆柱体浸入水中的高度．
【答案】（1）②，④，10，5；
（2）2.4cm．
【分析】（1）当圆柱体刚要浸入水中时，弹簧测力计的读数由10N开始减小；当圆柱体刚刚完全浸入水中时，弹簧测力计的读数减小至5N并保持不变，据此作答即可；
（2）利用待定系数法求出当4≤h≤10时F与h的函数关系式，将F＝8代入关系式求出对应h的值，从而求出圆柱体浸入水中的高度．
【解答】解：（1）如图②，当圆柱体刚要浸入水中时，弹簧测力计的读数由10N开始减小；
如图④，当圆柱体刚刚完全浸入水中时，弹簧测力计的读数减小至5N并保持不变．
故答案为：②，④，10，5．
（2）当4≤h≤10时，设F＝kh+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标A（4，10）和B（10，5）代入F＝kh+b，
得，
解得，
∴F＝﹣h+（4≤h≤10）．
当F＝8时，得﹣h+＝8，
解得h＝6.4，
6.4﹣4＝2.4（cm），
∴圆柱体浸入水中的高度是2.4cm．
21．（10分）若二次函数y＝x2+2mx+c与x轴只有一个交点，且经过A（a，b）和B（a+2，b）．
（1）用含a的代数式表示m；
（2）若点C（2a+2，32﹣c）也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式．
【答案】（1）m＝﹣a﹣1；（2）y＝x2+8x+16 或 y＝x2﹣8x+16．
【分析】（1）依据题意，由抛物线过 A（a，b），B（a+2，b），从而可得对称轴为直线 ，故对称轴直线x＝．，进而可以判断得解；
（2）依据题意，当x＝0时，y＝c，又由对称轴直线 x＝a+1 可知，（0，c） 与C（2a+2，32﹣c） 关于对称轴对称，从而c＝32﹣c，则c＝16，又二次函数与x轴只有一个交点，故（2m）2﹣4×16＝0，从而可得m＝±4，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线过 A（a，b），B（a+2，b），
∴对称轴为直线 ．
∴．．
∴m＝﹣a﹣1．
（2）当x＝0时，y＝c．
又由对称轴直线 x＝a+1 可知，（0，c） 与C（2a+2，32﹣c） 关于对称轴对称．
∴c＝32﹣c．
∴c＝16．
∵二次函数与x轴只有一个交点，
∴（2m）2﹣4×16＝0．
∴m＝±4．
∴二次函数的解析式为：y＝x2+8x+16 或 y＝x2﹣8x+16．
22．（10分）（1）如图1，BP平分∠ABC，M，N分别在射线BA，BC上，若BM＝BN，求证：PM＝PN；
（2）如图2，在△ABC中，CP⊥CB交边AB于点P，PH⊥AC于点H．已知∠ACP＝∠B，CH＝2，AB＝5，求△ABC的面积；
（3）如图3，在等边△ABC中，点D在边AB上，P为BA延长线上一点，E为边AC上一点，已知CA平分∠PCD，∠ADE＝∠CPD，AE＝2，AD＝3，求PA的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）5；
（3）．
【分析】（1）证明△BMP≌△BNP（SAS），即可解决问题；
（2）过C作CD⊥AB于点D，证明△PCH≌△PCD（AAS），得CH＝CD＝2，利用三角形面积公式即可解决问题；
（3）在线段CP上取一点F，使CD＝CF，并连结AF，证明△CAF≌△CAD（SAS），得AF＝AD＝3，∠CAF＝∠CAD＝60°，再证明△PAF∽△DAE，得，代入值即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵BP＝BP，BM＝BN，
∴△BMP≌△BNP（SAS），
∴PM＝PN；
（2）解：过C作CD⊥AB于点D，
∵CP⊥CB，CD⊥AB，
∴∠PCD＝∠B，
∵∠ACP＝∠B，
∴∠ACP＝∠PCD，
∵PH⊥AC，
∴∠PHC＝∠PDC＝90°，
∵PC＝PC，
∴△PCH≌△PCD（AAS），
∴CH＝CD＝2，
∴△ABC的面积＝AB•CD＝5×2＝5；
（3）解：在线段CP上取一点F，使CD＝CF，并连结AF，
∵CA平分∠PCD，
∴∠FAC＝∠ACD，
∵CD＝CF，AC＝AC，
∴△CAF≌△CAD（SAS），
∴AF＝AD＝3，∠CAF＝∠CAD＝60°，
∴∠PAF＝60°，
∵∠PAF＝∠EAD＝60°，∠ADE＝∠CPD，
∴△PAF∽△DAE，
∴，
∵AE＝2，AD＝3，
∴＝，
∴．
23．（12分）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过O，C两点的⊙P切线段AD于点T，分别交线段OD，CD，BC于点F，E，M，连结FM，已知AB＝5．（1）求证：BM＝FM；
（2）若M为BC的中点，求⊙P的半径；
（3）若⊙P的半径为3，求tan∠OCE的值．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD，从而得到∠OBC＝∠OCB，进而得到∠OBC＝∠OFM，即可证明；
（2）连结OM、OE，连结TP交BC于点H，作PG⊥CD于点G．则CG＝EG＝CE，证明四边形PGDT是矩形，即可求解；
（3）连结EF，EM，根据题意可得CM＝2CH＝2，再由矩形的性质可得DE＝1，根据圆内接四边形的性质可得∠DFE＝∠OCD，从而得到∠ODC＝∠DFE，进而得到EF＝DE＝1，然后根据勾股定理可得FM＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠OBC＝∠OCB，
又∵∠OFM＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠OFM，
∴BM＝FM；
（2）解：连结OM、OE，连结TP交BC于点H，作PG⊥CD于点G．则CG＝EG＝CE，
∵OB＝OC，M为BC的中点，
∴OM⊥BC，
∴∠OEC＝90°，
∴CE＝DE＝CD＝，四边形PGDT是矩形，
∴EG＝CE＝，
∴PT＝DG＝，
（3）解：连结EF，EM，
∵⊙P的半径为3，
∴TP＝CP＝3，ME＝6，
∴PH＝2，
∴CH＝，
∴CM＝2CH＝2，
∵四边形PGCH是矩形，
∴CG＝PH＝2，
∴CE＝2CG＝4，
∴DE＝1，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵四边形OFEC内接于⊙P，
∴∠EFO+∠OCD＝180°，
∵∠EFO+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝∠OCD，
∴∠ODC＝∠DFE，
∴EF＝DE＝1，
∵∠MCE＝90°，
∴∠MFE＝90°，
∴FM2+EF2＝EM2＝36，
∴FM＝，
∴BC＝，
∴tan∠OCE＝tan∠BAC＝．
小宁：
解：
3x﹣x﹣2≤3①
2x≤5
②
∵点A在原点左侧
∴x＜0
∴x＜0
小波：
解：
﹣3x﹣（2﹣x）≤1③
﹣3x﹣2+x≤
1﹣2x≤3
④
过年计划做的事情：
a．回家和父母家人一起过年
b．观看央视春晚
c．准备年夜饭
d．拜年，走亲访友
e．外出旅游
根据“过年计划做的事情”的数量分为四个组，其中n为计划做的事情的数量
A.0≤n≤2
B．n＝3
C．n＝4
D．n＝5
小宁：
解：
3x﹣x﹣2≤3①
2x≤5
②
∵点A在原点左侧
∴x＜0
∴x＜0
小波：
解：
﹣3x﹣（2﹣x）≤1③
﹣3x﹣2+x≤
1﹣2x≤3
④
过年计划做的事情：
a．回家和父母家人一起过年
b．观看央视春晚
c．准备年夜饭
d．拜年，走亲访友
e．外出旅游
根据“过年计划做的事情”的数量分为四个组，其中n为计划做的事情的数量
A.0≤n≤2
B．n＝3
C．n＝4
D．n＝5