2024年广东省江门市台山市新宁中学教育集团中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2的倒数是（ ）
A. 2B. C. D. -2
2. 一组数据：98、97、99、99、96，那么这组数据的众数为（ ）
A. 98B. 96C. 97D. 99
3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x≠3
5. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
6. 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
7. 将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
8. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D. 无解
9. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1
10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则．其中正确的是（ ）

A. ①③④B. ①②④C. ①②③D. ②③④
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分．
11. 分解因式：_____．
12. 已知关于一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___________．
13 若实数a，b满足：，则___________．
14. 已知的值为9，则代数式的值为_____．
15. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l=______．
16. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为_____．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为_____．

三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，，，．，与交于点．

（1）求证：；
（2）求的度数．
20. 如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
21. 为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查的学生人数是_____人；
（2）图2中α是______度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
22. 2020年1月份，为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同．
（1）求每种甲种、乙种口罩的进价分别是多少元？
（2）该药店计划购进甲、乙两种口罩共480袋，其中甲种口罩的袋数不大于乙种口罩袋数的，药店决定此次进货的总资金不超过元，求商场进货用的资金最少方案？
23. 如图，为直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b经过点A(﹣2，0)，与y轴交于点B，与反比例函数y(x＞0)交于点C(m，6)，过B作BD⊥y轴，交反比例函数y(x＞0)于点D，连接AD，CD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ACD的面积；
（3）设E为直线AB上一点，过点E作EF∥x轴，交反比例函数y(x＞0)于点F，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．

25. 如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上一动点，连接OD交线段AC于点E．

（1）求这条抛物线解析式，并写出顶点坐标；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．