2024年广东省汕头市潮南区陈店镇中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1、本卷满分120分；
2、考试时间120分钟；
3、答案请写在答题卷上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的值为（ ）
A. B. C. 0D. 0.14
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了绝对值的定义．首先判断的正负情况，然后利用绝对值的定义即可求解|．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂乘法、积的乘方运算法则，掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则逐项分析判断即可．
【详解】A．，故该选项不正确，不符合题意，
B．，故该选项不正确，不符合题意，
C、，故该选项不正确，不符合题意，
D．，故该选项正确，符合题意，
故选：D．
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 一个角的补角一定大于这个角B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 等边三角形是中心对称图形D. 旋转改变图形的形状和大小
【答案】B
【解析】
【分析】由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；
B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、旋转不改变图形的形状和大小，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断．
4. 实数a在数轴上对应的点如图所示，则a、－a、1的大小关系正确的是（ ）
A. －a＜a＜1B. a＜－a＜1
C. 1＜－a＜aD. a＜1＜－a
【答案】D
【解析】
【详解】解：由数轴上a的位置可知a＜0，|a|＞1；
∴-a>1，
∴a＜1＜-a，
故选：D．
5. 如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（ ）
A. 70°B. 90°C. 40°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=70°，
故选：A．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．
6. 已知一组数据2，l，，7，3，5，3，2众数是2，则这组数据的中位数是( )．
A. 2B. 2．5C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】数据2，1，x，7，3，5，3，2的众数是2，说明2出现的次数最多，所以当x=2时，2出现3次，次数最多，是众数；再把这组数据从小到大排列：1，2，2，2，3，3，5，7，处于中间位置的数是2和3，所以中位数是：（2+3）÷2=2.5．
故选B.
7. 若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．
【详解】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，
∴,
∴一次函数表达式为，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．
8. 是某三角形三边的长，则等于（ ）
A. B. C. 10D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
9. 如图，在直角坐标系中，四边形为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边为弦的与x轴相切，若点A的坐标为，则圆心M的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、垂经定理、切线的性质以及勾股定理等知识． 过点M作于D，连接，设的半径为R，利用切线的性质、垂径定理等求出， ，，然后在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点M作于D，连接，设的半径为R，

∵四边形为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边为弦的与x轴相切，点A的坐标为，
∴，，，，
又∵是直角三角形，根据勾股定理可得，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
10. 如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（ ）
A. 8B. 9.5C. 10D. 11.5
【答案】A
【解析】
【分析】在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．
【详解】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DC，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴AD＝FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD＝DF＝9；
∵AB＝BE＝6，
∴CF＝3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得：AG＝2，
又BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
【点睛】
本题考查勾股定理、平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求出△ABE的周长是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 据统计，今年元宵节，汕头市小公园开埠区核心街区客流量就将近178000人次，178000用科学记数法表示应为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论：①当时，原函数为，根据一次函数的性质可知此时其图象与x轴有一个交点，符合题意；②当时，原函数为二次函数，根据二次函数的图象与x轴有交点，即为其相关一元二次方程有实数解，最后结合一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：分类讨论：①当时，，
直线与x轴有一个交点，符合题意；
②当时，
∵函数的图象与x轴有交点，
∴方程有实数根，
∴，
解得：．
综上可知当时，函数的图象与x轴有交点．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的图象与x轴的交点问题，二次函数的图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式．能分类求出每种情况的k是解此题的关键．
13. 不等式组的正整数解是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．分别求出两个不等式的解，然后求其解集，最后找出整数解即可．
详解】解：，
解不等式得：，
解不等式，
∴
∴，
∴不等式组的解集为：，
则正整数解为1．
故答案为：1
14. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=6，利用外角和求得∠GAB=360°÷6=60°，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=6，
∴∠GAB=360°÷6=60°，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴S扇形FAB=，
故答案为：12π．
【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键．
15. 观察下列的“蜂窝图”则第20个图案中的“”的个数是______.
【答案】61.
【解析】
【分析】根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13个图案，由此可得出规律．
【详解】由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”，
∴第n个图案中共有“”为：4＋3（n−1）＝3n＋1
故第20个图案中的“”的个数是3×20+1=61，
故答案为：61.
【点睛】本题考查学生的观察能力，解题的关键是熟练正确找出图中的规律，本题属于基础题型．
三、解答题（一）（每小题6分，共24分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式，计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
17. 设a，b为整数，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质应用．将已知利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质列式求得a，b的值，再代入求解即可．
【详解】解：，
，
，
，，
．
18. 如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求此时海监船与岛屿P之间的距离．
【答案】此时海监船与岛屿P之间的距离是海里．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，在中，得到，进而推出，得到，再根据，求解即可。
【详解】解：由题意，得：，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此时海监船与岛屿P之间的距离是海里．
19. 已知：．
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．
【答案】（1）作图见详解
（2）9.1
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；
（2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积．
【小问1详解】
解：如下图所示，O为所求作点，
【小问2详解】
解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵内切圆的半径为1.3，
∴OD=OF=OE=1.3，
∵三角形ABC的周长为14，
∴AB+BC+AC=14，
则
故三角形ABC的面积为9.1．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20. 某校一课外活动小组为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机抽查本校九年级的200名学生，调查的结果如图所示．请根据该扇形统计图解答以下问题：
（1）求图中的x的值；
（2）求最喜欢乒乓球运动的学生人数；
（3）若由3名最喜欢篮球运动的学生，1名最喜欢乒乓球运动的学生，1名最喜欢足球运动的学生组队外出参加一次联谊活动．欲从中选出2人担任组长（不分正副），列出所有可能情况，并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率．
【答案】（1）x=35．（2）最喜欢乒乓球运动的学生人数为90人．（3）选出2人都最喜欢篮球运动的学生的概率为．
【解析】
【分析】（1）考查了扇形图的性质，注意所有小扇形的百分数和为1．
（2）根据扇形图求解，解题的关键是找到对应量：最喜欢乒乓球运动的学生人数对应的百分比为x%．
（3）此题可以采用列举法，注意要做到不重不漏．
【详解】解：（1）由题得：x%+5%+15%+45%=1，解得：x=35．
（2）最喜欢乒乓球运动学生人数为200×45%=90（人）．
（3）用A1，A2，A3表示3名最喜欢篮球运动的学生，B表示1名最喜欢乒乓球运动的学生，C表示1名喜欢足球运动的学生，则从5人中选出2人的情况有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A1，C），（A2，A3），（A2，B），（A2，C），（A3，B），（A3，C），（B，C），共计10种，
选出的2人都是最喜欢篮球运动的学生的有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）共计3种，
∴选出2人都最喜欢篮球运动的学生的概率为．
21. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
【答案】（1）详见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，
即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
22. 如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明得到，即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）点A作，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵D是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）∵AECF是菱形，
∴，
∴，
∴，
过点A作，
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、解直角三角形等内容，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
五、解答题（三）（每小题10分，共30分）
23. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球多30元已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）问篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球的售价为150元，足球的售价为110元，商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场共有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？
（3）商场按获利最大的方案购进100个篮球和足球．这时，某学校准备举行百人球操表演，现购买商场购进的这100个篮球和足球，商场知晓后决定从中拿出28个球赠送给这所学校，这样，某学校相当于七折购买这批球．求出商场赠送的28个球中篮球和足球的个数．
【答案】（1）足球的单价为90元，则篮球的单价为120元
（2）商场共有6种进货方案，购进篮球45个，足球55个，商场获利最大；
（3）商场赠送的28个球中篮球和足球的个数分别为19、9个
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组解实际问题的应用，一次函数的解析式的性质的应用．
（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等”列分式方程求解即可；
（2）设购买篮球y个，则购买足球个，根据“用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个”列不等式组求得y的范围，再设商场获利w元，求得w关于y的一次函数，利用一次函数的性质求解即可；
（3）设商场赠送的28个球中篮球有m个，足球有个，根据题意列一元一次方程求解即可．
【小问1详解】
解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，依题意得：
解得：
经检验是原分式方程的解
则
答：足球的单价为90元，则篮球的单价为120元；
【小问2详解】
解：设购买篮球y个，则购买足球个，依题意得：
，
解得：，
篮球不少于40个，
，又y为整数，
y可取40，41，42，43，44，45，
有6种方案．
设商场获利w元，依题意得：，
，
w随y的增大而增大，
时，w有最大值：，
这时足球个数：，
购进篮球45个，足球55个，商场获利最大；
答：商场共有6种进货方案，购进篮球45个，足球55个，商场获利最大；
【小问3详解】
解：设商场赠送的28个球中篮球有m个，足球有个，依题意得：
，
解得：，
，
答：商场赠送的28个球中篮球和足球的个数分别为19、9个．
24. 如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图像与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）．
（2）点B的坐标为：（4，4）．
（3）存在；理由见解析
【解析】
【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．
【详解】解：（1）∵函数的图像与x轴相交于O，∴．
∴这个二次函数的解析式为．
（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，
令，解得：x=0或3．∴AO=3．
∵△AOB的面积等于6，∴ ．
∵点B在函数的图像上，
∴，解得：x=4或x=﹣1（舍去）．
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点．
∴点B的坐标为：（4，4）．
（3）存在．
∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，．
若∠POB=90°，则∠POD=45°．
设P点坐标为．
∴．
若，解得x=4 或x=0（舍去）．此时不存在点P（与点B重合）．
若，解得x=2 或x=0（舍去）．
当x=2时，．
∴点P 的坐标为（2，﹣2）．
∴．
∵∠POB=90°，
∴△POB的面积为：PO•BO=××=8．
故抛物线上是存在点P（2，﹣2），使∠POB=90°， 的面积为8.
25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC 是⊙O的切线；
（2）设AB=x，AF=y，用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE=8，sinB=，求DG的长．
【答案】（1）见解析 （2）AD=
（3）DG=．
【解析】
【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；
（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；
（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出DG的长即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
【小问2详解】
解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，
∴∠FDC=∠DAF，
∴∠CDA=∠CFD，
∴∠AFD=∠ADB，
∵∠BAD=∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，即AD2=AB•AF=xy，
则AD=；
【小问3详解】
解：连接EF，在Rt△BOD 中，sinB=．
设圆的半径为r，
∴，解得r=5，
∴AE=10，AB=18．
∵∠AFE=∠C=90°，
∴AF=AE·sin∠AFE=，
∵AF∥OD，
∴，
∴DG=AD
∵AD=，
∴DG=．
【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．