2024年湖北省黄石市黄石港区部分学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 潜水艇所在的海拔高度是米，在它的上方10米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（ ）
A. 米B. 米C. 40米D. 60米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数加法的实际应用．用潜水艇的海拔高度，加上10米即可．
【详解】解：（米）；
故选B．
2. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 蔚来B. 小鹏
C. 小米D. 哪吒
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．据此逐项进行判断即可．
【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
C中图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合要求；
D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：B．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，完全平方公式；根据这些知识逐项分析即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、不是同类项，不能合并，故选项错误；
C、计算正确，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选：C．
4. 成语是中国文化的瑰宝，下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ）
A. 守株待兔B. 水中捞月C. 旭日东升D. 水涨船高
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，解题的关键是熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断．
【详解】解：A、守株待兔是随机事件；
B、水中捞月是不可能事件；
C、旭日东升是必然事件；
D、水涨船高是必然事件；
故选：B．
5. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于会观察各部分在哪个方向能被看到．
6. 如图，在的点阵中，甲、乙、丙、丁四个玻璃球分别从四个点处同时出发，按各自箭头方向作匀速直线运动，运动秒后分别到达、、、处，若按照上述方式继续运动，则第一次发生碰撞的是（ ）
A. 甲和乙B. 甲和丙C. 甲和丁D. 丙和丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化类，先画各个球的运动路径，再根据图示即可求解，找到变化规律是解题的关键．
【详解】解：各个球继续运动如图示，
由图示得，甲和乙不相撞，甲和丙经过秒相撞，甲和丁不相撞，丙和丁不相撞，
故选：．
7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，由，得到，，利用角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图：
由题意得，，
∵
∴，，
∵
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，平面直角坐标系中，四边形菱形，点，点C在x轴正半轴，则B点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，先利用勾股定理求出，然后利用菱形的性质求出，并判断，即可得出B的坐标．
【详解】解：∵点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴B点坐标为，
故选：C．
9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ）
A. 平方尺B. 平方尺C. 平方尺D. 平方尺
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算以及弧长的计算，设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为8尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案．
【详解】解：设圆锥的底面半径为尺，
由米堆底部的弧长为8尺，可得，
解得：，
（平方尺），
这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺，
故选：A．
10. 如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图象上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，代入二次函数解析式得，又由抛物线经过原点得，即可得到，再代入计算即可求解，证明得到，是解题的关键．
【详解】解：作轴，于，于，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵点的坐标分别是，，
∴，
解得，
∴，
∵点在抛物线的图象上，
∴，
∴，
∵抛物线经过原点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 每到春天柳絮漫天飞舞，据测定，柳絮纤维的直径为，该数值用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为的形式，其中为整数，据此判断即可，掌握科学记数法的形式是解题的关键．
【详解】．
故答案为：．
12. 抛物线与直线若有交点，则交点在第______________象限．
【答案】三
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，根据性质分别判断一次函数和二次函数图象经过的象限即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，
∴直线经过第一、三、四象限；
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，与y轴交于正半轴上的点，即经过第一、二、三象限，而在第一象限内不可能有交点．
∴交点在第三象限．
故答案为：三．
13. 湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：令四个景点：黄鹤楼、神农架、长江三峡、恩施大峡谷，分别为、、、，
列表得：
由表格可得：共有种等可能出现的结果，其中刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的情况有种，
他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是，
故答案为：．
14. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题， 其题意为：客人一起分银子，若每人两， 还剩两；若每人两，还差两； 则人数为______ 人；银子共有______两．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，两银子，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设有人，两银子，
由题意可得，，
解得，
∴有人，两银子，
故答案为：，．
15. 解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，那么当时，的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解和二元一次方程的解，先把代入原方程组得到，，则；再把代入方程得到，据此求出，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得是方程组的解，
∴，，
∴；
∵小刚只看错了，解得，
∴是方程的解，
∴，
∴联立①②得，
∴当时，的值为，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．
【详解】解：
．
17. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【答案】赞成小洁的说法，补充证明见解析
【解析】
【分析】先由OB＝OD，证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．
【详解】解：赞成小洁的说法，补充
证明：∵OB＝OD，
四边形是平行四边形，
AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键．
18. 为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对A、B两类科研项目投资研发．已知研发1个A类科研项目比研发1个B类科研项目少投资75万元，且投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同．
（1）研发一个A类科研项目所需的资金是多少万元？
（2）该公司今年计划投资研发A、B两类科研项目共40个，且该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，则该公司投资研发A类科研项目至少是多少个？
【答案】（1）研发一个类科研项目所需资金是300万元
（2）今年研发类科研项目至少24个
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的与一元一次不等式的应用；
（1）设研发一个类科研项目所需资金为万元，则研发一个类科研项目所需资金为万元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解．
（2）设今年研发类科研项目个，则研发类科研项目个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设研发一个类科研项目所需资金为万元，则研发一个类科研项目所需资金为万元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
．
答：研发一个类科研项目所需资金是300万元．
【小问2详解】
解：设今年研发类科研项目个，则研发类科研项目个，
根据题意，得，
解得．
答：今年研发类科研项目至少24个．
19. 年月日是第三十二届“世界水日”，月日至日是第三十七届“中国水周”．某学校积极响应“世界水日•中国水周”，组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活动．小组在甲，乙两个小区各随机抽取户居民，统计其月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理，描述和分析，得到如下信息．
信息一：
信息二：甲，乙两小区月份用水量数据的平均数和中位数如下：
信息三：乙小区月份用水量在第三组的数据为：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）______；
（2）在甲小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较的大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有户居民，乙小区共有户居民，估计两个小区月份用水量不低于的总户数；
（4）因任务安排，需在小组和小组分别随机抽取1名同学加入小组，已知小组有名男生和名女生，小组有名男生和名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】（1）；
（2），理由见解析；
（3）户；
（4）．
【解析】
【分析】（）根据中位数的定义进行计算即可求解；
（）根据题意分别求出月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可求解；
（）用甲、乙小区的用户数分别乘以用水量不低于的占比，再相加即可求解；
（）画树状图，根据树状图即可求解；
本题考查了用树状图法求概率，中位数，频数分布直方图，样本估计总体，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵随机抽取了户居民，故中位数是数据从小到大排列的第个和第个的平均数，
根据频数分布直方图可知：用水量在的有户，用水量在的有户，用水量在的有户，用水量在的有户，用水量在的有户，
故中位数是在第三组中，且是第三组中第个和第个的平均数，
∵乙小区月份用水量在第三组的数据为：，
∴乙小区月份用水量的中位数是，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，理由如下：
在甲小区抽取的用户中，月份用水量的平均数为，低于本小区平均用水量的户数户，
∴在甲小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，
在乙小区抽取的用户中，月份用水量的平均数为，低于本小区平均用水量的户数为户，
∴在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区 平均用水量的户数所占百分比为，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：户，
答：估计两个小区月份用水量不低于的总户数为户；
【小问4详解】
解：画树状图如图：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为．
20. 如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标分别为和．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键．
（1）先通过一次函数求出点B坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）根据图象求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：把代入，
得，
解得：，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：把代入得：，
即点的坐标为：，
把代入，
得，
解得：，
∴，
，
，
，
，
∴，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点坐标为或．
21. 如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，先根据圆周角定理得出，再证明，从而得出，即可得证；
（2）连接，先利用圆心角、弧、弦关系，得出，由圆周角定理得出，证明为等边三角形，再根据图中阴影部分的面积，计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
为的直径，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
为的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
为的中点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
22. 如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为．
（1）当为何值时，的长度等于；
（2）求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？
【答案】（1）当t为0秒或2秒时，的长度等于
（2）P、Q出发秒时，有最大值，这个最大面积为
【解析】
【分析】（1）利用的代数式分别表示出线段，，，利用勾股定理在 中列出关于的方程，解方程即可得出结论；
（2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式即可得到关于的函数解析式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
，
．
在中，
，
，
解得：或，
答：当为0秒或2秒时，的长度等于．
【小问2详解】
由（1）知：，，
当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动，
，
．
，
关于的函数解析式为；
，
，
当秒时，有最大值，最大值为．
、出发秒时，有最大值，这个最大面积为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，勾股定理和一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用的代数式分别表示出线段，，的长度是解题的关键．
23. 如图，正方形边长为4，点在边上（点与点、不重合），过点作，垂足为，与边相交于点．

（1）求证：；
（2）若的面积为，求的长；
（3）在（2）的条件下，取，的中点，，连接，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系．
（1）先证得，很容易证明与全等，由此得出，又由互余可得出，进而可得结论；
（2）根据三角形的面积求得，再根据勾股定理求得，根据（1）中即刻得出结论；
（3）连接并延长交于点，连接，可证明，所以，或1，又是的中位线，求出的长即可．
【小问1详解】
证明：，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，
面积
，
，
解得，，，
或，
或．
【小问3详解】
解：如图，连接并延长交于点，连接，

点是的中点，
，
，
，，
，
，或1，
当时，，
，
，
；
当时，，
，
，
；
综上，的长度为或．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线、是常数经过点，点．点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求此抛物线解析式；
（2）当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；
（3）若此抛物线在点右侧部分包括点的最高点的纵坐标为．
①求 的值
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）①的值为或；②或或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合运用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点；
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的交点横坐标为，再结合函数图象，由此即可得；
（3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得；
②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得．
【小问1详解】
解：根据题意得： ，
解得： ，
∴此抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
令，则 ，
解得：，
根据图象可知，在轴上方时，的取值范围是；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线的顶点坐标是，
①当时，点P在对称轴上或对称轴左侧，最高点坐标为，
∴，解得 ，
当时，点P在对称轴右侧，最高点纵坐标为，
∴- 解得：，
∴的值为或；
②当时，如图① 以或为直角顶点作等腰直角三角形，点不能落在对称轴上，因为直角边或和对称轴平行；以点为直角顶点作等腰直角三角形，点恰好落在抛物线的顶点上，根据对称性可知 ，显然 关于x轴对称点也满足条件， ；
当 时，如图②，通过绘图可知，由点A 或点Q为直角顶点均不存在满足条件的等腰直角三角形，以P为直角顶点可以作出满足条件的等腰直角三角形．
过点P分别作x轴和对称轴的垂线，垂足分别为M、N ，
对称轴与x轴的交点为G．则，
当时 ，，
∴
∴
∴，
∵
∴
又∵
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
综上所述，点的坐标为或或
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
甲小区月份用水量频数分布表
用水量
频数（户）
甲小区
乙小区
平均数
中位数