甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算和复数的概念求解即可.
【详解】因为，所以，所以复数的虚部为1．
故选：A．
2. 已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接由公式求出与共线的单位向量：，比对各选项选出答案即可.
【详解】，，
与共线的单位向量是．
故选：A．
3. 在中，若，，，则（ ）
A 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用余弦定理运算求解.
【详解】由余弦定理可得，
即，解得或（舍去）．
故选：D．
4. 某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为（ ）
A. 20B. 30C. 50D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可.
【详解】某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为，则A被抽的抽样比为，所以抽出100件产品中A型号产品的件数为，
故选：A
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过平方求出，判断范围，再结合求值，最后联立方程求出，结合二倍角公式即可求解.
【详解】由①得，即，
因为，所以，，
则，即②，
联立①②可得：，则.
故选：C
6. 某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. B组打分的极差小于A组打分的极差B. B组打分的中位数为75
C. A组的意见相对一致D. A组打分的众数为50
【答案】C
【解析】
【分析】对于A：根据折线图结合极差的定义分析判断；对于B：将数据按升序排列，结合中位数分析判断；对于C：根据方差的性质分析判断；对于D：根据题中数据结合众数的定义分析判断.
【详解】对于A：观察折线图可知，小组B的极差大于小组A的极差，故选项A错误；
对于B：小组B打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
所以中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；
对于C：小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
对于D：小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47，
所以小组A打分的分值的众数为47，故选项D错误．
故选：C．
7. 已知、为实数，是关于的方程的一个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知关于的方程的两个虚根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，即可得解.
【详解】因为、为实数，是关于的方程的一个根，
所以，关于的方程的两个虚根分别为、，
由韦达定理可得，可得，
，解得，故.
故选：B.
8. 已知是定义在R上的单调减函数，则能使成立的一个区间是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再利用辅助角公式及正弦函数的性质求出不等式的解集，最后根据集合的包含关系判断即可.
【详解】解：因为是定义在R上的单调减函数，
则不等式等价于，
所以，
令，解得，
所以不等式的解集为，，
因为，故时满足.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下表是某校高三（1）班三名同学在高三学年度的六次数学测试中的分数及班级平均分表．下列叙述中正确的是（ ）
A. 甲同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平
B. 乙同学的数学学习成绩不稳定，总在班级平均水平上下波动
C. 丙同学的数学学习成绩始终低于班级平均水平
D. 通过与班级平均分的对比，可发现丙同学的数学成绩在稳步提高
【答案】ABD
【解析】
【分析】将每位同学的成绩与班级平均分比较，判断正误.
【详解】甲同学每次成绩都高于平均分，故A正确；
乙同学3次成绩高于平均分，3次成绩低于平均分，故B正确；
丙同学第6次成绩高于平均分，故C正确；
丙同学成绩逐渐提升，且第6次成绩高于平均分，故D正确.
故选：ABD.
10. 若函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数图象关于对称
D. 函数的图象关于点对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简的解析式，然后根据三角函数的周期性、单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
详解】

所以最小正周期为，A错误；
当，则，故在上递增，B正确；
由，故是的一条对称轴，C正确；
由，故是的一个对称点，D正确.
故选：BCD
11. 下列说法中错误的有（ ）
A. 若，，则
B. 已知向量，，则不能作为平面向量的一个基底
C. 已知，，若，则实数m的值为1
D. 是所在平面内一点，且满足，则是的内心
【答案】AC
【解析】
【分析】举出反例说明A选项错误；由，说明，则不能作为平面向量的一个基底，故B选项正确；由两个向量垂直所适合的公式，求出，故故C选项错误；由题意证明出是的内心，故D选项正确．挑选错误选项即可.
【详解】对A选项，若，则不共线的，也有，，故A选项错误；
对B选项，，则，则不能作为平面向量的一个基底，
故B选项正确；
对C选项，，，若，则，得，
故C选项错误；
对D选项，因为，
由可知，垂直于的外角平分线，
所以点在的平分线上，
同理点在的平分线上，点在的平分线上，
所以是的内心．故D选项正确．故选AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角、、的对边分别为，，，若，，则=_______.
【答案】.
【解析】
【分析】
由可以求出，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
因为，由正弦定理得：，
因为，所以.
故答案为：.
13. 若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】因为，所以
.
故答案为：
【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.
14. 已知向量，满足，，则最大值________，最小值为________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】利用整体法得到，再利用向量数量积的运算法则，结合三角函数的值域即可得解.
【详解】，，设和的夹角为，，
又，
，
当时，取得最大值，即取最大值；
当时，取得最大值，即取最小值.
故答案为：；．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）实数；
（2）纯虚数；
（3）在复平面内表示的点位于第四象限．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）若为实数，可知虚部为0，列式求解即可；
（2）若为纯虚数，可知虚部不为0，实部为0，列式求解即可；
（3）由题意可知虚部小于0，实部大于0，列式求解即可.
【小问1详解】
若为实数，则，解得或．
【小问2详解】
若为纯虚数，则，解得．
小问3详解】
若复数在复平面内对应的点位于第四象限，
则，解得．
16. 已知函数.
（1）将函数化为的形式，其中，，，并求的值域；
（2）若，，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式化简可得，根据三角函数的值域可得答案；
（2）由求出，由的范围求出，由展开代入可得答案.
【小问1详解】
，
∵，∴；
【小问2详解】
由，可知，
∵，∴，∴，
∴.
17. 上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50 名学生的成绩作为样本进行统计（若该校全体学生的成绩均在分），按照，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取8人，则抽得分数在的人数为3人．
（1）求频率分布直方图中的，的值；并估计本次考试成绩的平均数（以每一组的中间值为估算值）；
（2）该高三数学组准备选取数学成绩在前的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？
【答案】（1），；平均数为分
（2）小明能被选取
【解析】
【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图即可求得，然后代入公式即可求得平均数；
（2）根据题意，由条件列出方程，即可得到结果.
【小问1详解】
设由分层抽样可得分数在的人数与分数在的人数之比为，
所以，则，
，
又由频率分布直方图可知分数在的频率为0.04，分数在的频率为0.06，
分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.2，分数在的频率为0.3，
分数在的频率为0.14，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.06．
则平均数为
分.
【小问2详解】
由题意可知分数在的频率为6%，所以前5%在该组，不妨设第5%名的分数为，则可得等式为
，
∴，
∵，故小明能被选取.
18. 如图，在中，，边上的两条中线，相交于点，且，，．
（1）求的大小；
（2）求的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，边上的两条中线相交于点,可得，得到；
（2）表示出，求解，，即可求解的余弦值.
【小问1详解】
为的中点，
，
．
，，，
，
．
又，．
【小问2详解】
为的中点，
，
，
，
，
又与向量，的夹角相等，
故的余弦值为．
19. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，．
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，利用三角恒等变换分析可得，即可得结果；
（2）根据题意利用余弦定理可得，，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得，即可得结果.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，
又因为，
代入整理得，
且，则，
可得，整理得，
由可知，则，解得，
可知，所以．
小问2详解】
因为，即，
由余弦定理可得，即，
所以，
由正弦定理可得，
则，，
则，
可得
，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，可得，
则，可知，
所以．学生
测试序号
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲同学
138
127
131
132
128
135
乙同学
130
116
128
115
126
120
丙同学
108
105
113
112
115
123
班级平均分
128.2
118.3
125.4
120.3
115.7
122.1