广东省梅州市大埔县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（说明：本试卷共4页，共25题，满分120分．考试时间120分钟．）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，即可得出答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了中心对称图形，解本题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．
2. 把不等式的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的意义判断选择即可．
【详解】∵，
故选B．
【点睛】本题考查了不等式解集的数轴表示，正确理解不等式解集的数轴表示方法是解题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点的平移规则：左减右加纵不变，上加下减横不变，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：平移后点的坐标是，
即：点的坐标为：．
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与平移．熟练掌握点的平移规则，是解题的关键．
4. 已知，下列不等式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、当时，，故选项A错误；
B、，故选项B正确；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误；
故选B
【点睛】本题考查不等式的性质．熟记不等式的性质，是解题的关键．
5. 如图，在中，，将沿边所在的直线向下平移得到，与交于，下列结论中不一定正确的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵沿直线边所在的直线向下平移得到，
∴，，
∴，，
∴，
观察四个选项，不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
6. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A. 10B. 7C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面积等于，
故选：C．
7. 直线的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可确定时，图象所在位置，进而可得答案．
【详解】解：当时，．
∴函数图象与x轴交于点，
一次函数，当时，图象在x轴上方，
∴不等式的解集为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，掌握函数值即为直线在x轴上方是解题的关键．
8. 如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的周长为（ ）
A. 10B. 6C. 4D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线性质、平行线的性质，利用等腰三角形的判定与性质得到，从而由三角形的周长定义，数形结合表示出来，代值求解即可得到答案．
【详解】解：和的平分线交于点，
，，
，
，，
，，即、均为等腰三角形，
，
，，
的周长为，
故选：A．
【点睛】本题考查求三角形周长，涉及角平分线性质、平行线性质、等腰三角形判定与性质、三角形周长定义等知识，数形结合，准确表达出相关线段的关系是解决问题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系第二象限点的坐标特征可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为：；
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
10. 如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（ ）
A. 24B. 27C. 32D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分线的性质得到△ACD与△ABD的高相等，进一步求解即可．
【详解】解：∵AD=DE，S△BDE=96，
∴S△ABD=S△BDE=96，
过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DG=DF，
∴△ACD与△ABD的高相等，
又∵AB=3AC，
∴S△ACD=S△ABD=．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是__．
【答案】120°##120度
【解析】
【详解】解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．
故答案为120°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质．
12. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】（-2，-3）
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点（2，3）关于原点对称的点的 坐标是（-2，-3），
故答案为：（-2，-3）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
13. 已知直线过和，则关于的不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可以求得k和b的值，代入不等式即可得到正确答案 ．
【详解】解：由题意可得：
∴ k=2，b=-2，
∴原不等式即为2x-2<0，
解之可得：x<1，
故答案为x<1 ．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，利用直线与坐标轴的交点求出不等式的系数是解题关键．
14. 已知不等式组的解集是，则a的值是_________．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据不等式的解法先求得不等式的解，再求其公共解集，结合已知不等式组解集，即可列出关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，则，
∵不等式组解集是，
∴，解得．
故答案为：0．
15. 如图，在中，，，垂直平分，交于点，，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的判定和性质，勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵垂直平分，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理，三角形外角的性质等知识点．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16. 如图，在等腰三角形中，，，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧两弧交于点，，作直线分别交，于点，，则线段与线段的数量关系是___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，如图所示，由尺规作图得到是线段的中垂线，结合中垂线性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理得到是直角三角形，再由含直角三角形性质求解即可得到线段与线段的数量关系．
【详解】解：连接，如图所示：
由题意可知，是线段的中垂线，
，则，
在等腰三角形中，，，
，
，则，
在中，，，则，
线段与线段的数量关系是，
故答案为：．
【点睛】本题考查求线段长，涉及尺规作图-垂直平分线、中垂线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、含直角三角形性质等知识，数形结合，理解题中尺规作图是中垂线是解决问题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 解不等式：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，先移项、再系数化为1即可得到答案，熟记一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
【详解】解：，
移项得，
系数化为1得．
18. 解下列不等式组，并写出它的最大整数解．
【答案】不等式组的解集为：；不等式组的最大整数解为
【解析】
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，进而求出不等式组的最大整数解即可．
【详解】解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
∴不等式组的最大整数解为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的最大整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19. 如图，在中，．
（1）在边上找一点，使；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为．
【解析】
【分析】（1）作边的垂直平分线交于点D，点D即为所求；
（2）计算的长度，设，表示，在中，使用勾股定理可得结果．
小问1详解】
解：如图，点D为所作：
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
由作图知，
设，则，
在中，由，
∴，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，及使用勾股定理求线段长度，熟知垂直平分线的作法，及勾股定理是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
20. 已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE=CF．

（1）求证：DE=BF；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由AE=CF易得AF=CE，由DE⊥AC，BF⊥AC可得∠AFB=∠CED=90°，结合AB=CD，由“HL”可证得：△ABF≌△CDE，由此可得DE=BF，
（2）根据△ABF≌△CDE，由此可得DE=BF，∠A=∠C，最后可得AB∥CD．
【小问1详解】
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中：，
∴Rt△ABF≌ Rt△CDE，
∴DE=BF．
【小问2详解】
∵Rt△ABF≌ Rt△CDE，
∴∠A=∠C，
∴AB∥CD．
21. 如图：在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．

（1）画出向下平移4个单位的图形；
（2）画出将绕点O逆时针方向旋转180°后的图形，并写出此时、、的坐标．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据平移规则，确定的位置，再进行连线即可得到；
（2）根据成中心对称的性质，画出，进而写出、、的坐标即可．
小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，，即为所求；
由图可知：．
【点睛】本题考查坐标与平移，坐标与旋转．熟练掌握平移的性质，成中心对称的性质，是解题的关键．
22. 如图，直线 的解析式为，直线 与 轴交于点，直线与 轴交于点，且经过点，直线 ，交于点 ．
（1）求的值；
（2）求直线的解析式；
（3）根据图象，直接写出的解集．
【答案】（1）；
（2）直线的解析式为；
（3）解集为．
【解析】
【分析】本题考查的知识点是求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是熟练掌握一次函数的相关知识点．
把点的坐标代入直线的解析式即可求出的值；
根据、的坐标，利用待定系数法列出二元一次方程组即可求解；
根据图象解答即可．
【小问1详解】
解：直线经过点，
，
解得．
【小问2详解】
解：由得，，
直线经过，，
，
解得：，
直线的解析式为．
【小问3详解】
解：由图得：即的解集为．
五、解答题（三）（本大题3小题，第23题8分，第24题10分，第25题12分，共30分）
23. 如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点．
（1）求证：是的垂直平分线．
（2）若，请你探究，之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
（1）先根据是的平分线上一点，，得出，可得出，，，可得出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出是的垂直平分线；
（2）先根据是的平分线上一点，可得出，由直角三角形的性质可得出，同理可得出即可得出结论．
【小问1详解】
是的平分线上一点，，，
，，
，
，
是等腰三角形，
是的平分线，
是的垂直平分线；
【小问2详解】
是的平分线上一点，，
，
，，
，，
，
，
．
24. 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示：
设租用型车辆，
（1）请用代数式表示出总租金是多少
（2）保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆型车？
【答案】（1）元
（2）花费最少的方案一租用了辆型车
【解析】
【分析】本题考查不等式组解应用题，涉及列代数式、解一元一次方程组等，设租用型车辆，则租用种车辆辆，按照题意列代数式，列不等式组求解即可得到答案，读懂题意，按要求列式是解决问题的关键．
（1）设租用型车辆，则租用种车辆辆，由表中信息列代数式即可得到答案；
（2）设租用型车辆，则租用种车辆辆，由题意列不等式组求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设租用型车辆，则租用种车辆辆，
总租金是元；
【小问2详解】
解：设租用型车辆，则租用种车辆辆，
，解得，
为正整数，
可取或，
即有两种方案：
方案一：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元；
方案二：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元；
花费最少的方案一租用了辆型车．
25 观察猜想：
（1）如图1，在直角中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为__________，数量关系为__________；
数学思考：
（2）如图2，在中，，，、为上两点，且，求证：．（提示：参考（1）将绕点逆时针旋转到，或将绕点顺时针时针旋转到，可证）
拓展延伸：
（3）如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长．（参考（2）解题思路）
【答案】（1）；；（2）证明见解析；(3)
【解析】
【分析】（1）根据，，，运用证明，根据全等三角形性质即可得出结论；
（2）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据定理可得，可得，再在中，利用勾股定理即可得；
（3）将绕点A顺时针旋转得到，先根据定理可得，从而可得，再以是直角三角形分两种情况：①和②，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：与位置关系是，数量关系是．
理由：在中，，，
，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，即，
又，
∴，
∴，，
∴，即 ，
故答案为：．
（2）证明：如图，把绕点A顺时针旋转得到，连接，

则．
∴，，．
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴．
∴，
又∵，
∴，
．
（3）解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，

∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵以、、为边的三角形是直角三角形，
∴以、、为边的三角形是直角三角形，
∴直角三角形，若
，且，
，
，
，
，
综上，的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
载客量（人/辆）
50
35
租金（元/辆）
450
300