河北省石家庄市第二十三中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程判断，根据等号两边含有两个未知数并且含未知数的项的最高次数为1的整式方程叫二元一次方程直接判断即可得到答案
【详解】解：由题意可得，
是二元一次方程，符合题意，
是一元一次方程，不符合题意，
不是整式方程，不符合题意，
是三元一次方程，不符合题意，
故选：A．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式和完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】A、结果是a6，故本选项不符合题意；
B、结果是4x2-1，故本选项不符合题意；
C、结果是a10，故本选项不符合题意；
D、结果是a2-6a+9，故本选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式和完全平方公式等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
3. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，内错角相等，两直线平行，可以得到，不能判定，符合题意；
B、，内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意；
C、，同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意；
D、，内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意；
故选A．
4. 若关于，的二元一次方程组的解为，则“”可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组的定义，分别把代入四个选项中的式子中看计算的结果是否为2，以及根据二元一次方程组的定义进行求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴“”不可以表示为，故此选项不符合题意；
B、不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C、当时，，则“”可以表示为，故此选项符合题意；
D、当时，，则“”不可以表示为，故此选项不符合题意；
故选：C．
5. 下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A. 两钉子固定木条B. 测量跳远成绩C. 木板上弹墨线D. 弯曲河道改直
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段的性质，直线的性质，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
根据直线的性质，线段的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项合题意．
、木板弹出一条墨迹是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意；
故选：．
6. 下列能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据能用平方差计算的整式特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数进行分析即可．
【详解】解：A、不能用平方差公式计算，故此选项错误；
B、能用平方差公式计算，故此选项正确；
C、不能用平方差公式计算，故此选项错误；
D、不能用平方差公式计算，故此选项错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了平方差公式，关键是掌握．
7. 将三角尺与直尺按如图所示摆放，若的度数比的度数的三倍多，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角的概念是解题的关键．
根据角的和差列出方程组即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
答：的度数是，
故选：D．
8. 下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查说明一个命题是假命题．比较简单，只需要条件符合，结论不符即可．
说明是假命题只要举出两个锐角的和不是钝角即可．
【详解】解：A．，则，能说明；
B．，则，不能说明；
C． ，不是锐角，不可以说明；
D．，不是锐角，不能说明；
故选：A．
9. 已知是正整数，若，则的值是（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查幂的乘方与同底数幂乘法．利用幂的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得：．
故选：B．
10. 在同一平面内有条直线，，…，，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是（ ）
A. 垂直B. 平行C. 垂直或平行D. 重合
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
……，
以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，
∵ ，
∴，
故选：B．
11. 用图中所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类、C类卡片的张数分别是（ ）
A. 5、6、2B. 6、7、3C. 6、7、2D. 5、7、3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多项式的乘法的应用．根据长方形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：∵ 长方形长为，宽为，
∴长方形的面积：，
∴需要A类，B类、C类卡片的张数分别是6、7、2张．
故选：C．
12. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案．
【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，
由题意得，，
故选：A．
13. 已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为3cm，则与之间的距离是（ ）
A. 2cmB. 8cmC. 2cm或9cmD. 以上都不对
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．
【详解】解：如图1，直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为，
如图2，直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为，
综上所述，a与c的距离为或，
故选：D．
14. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列代数式，根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可．
【详解】解：A、三个阴影部分的面积分别为、、，所以阴影部分面积为，故该选项符合题意；
B、上半部分阴影面积为：，下半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意；
C、左半部分阴影面积为：，右半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意；
D、大长方形面积：，空白处小长方形面积：，所以阴影部分面积为：，故该选项不符合题意；
故选：A．
15. 如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路图中非阴影部分，小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为（ ）

A. 117米B. 118米C. 119米D. 120米
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可．
【详解】解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为米，
故选：B．
【点睛】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的前提．
16. 观察下列运算
我们发现规律：（n为正整数）：利用这个公式计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题．根据运算规律，代入，，整理后即可求解．
【详解】解：∵，
当，时，，
∴，
故选：D．
二、填空题（每题4分，共16分）
17 （1）计算：________．
（2）计算：________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂以及零指数幂以及幂的乘方等知识，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键．
（1）先计算负整数指数幂以及零指数幂，再进行加减运算即可；
（2）利用幂乘方法则计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18. （1）光速约为米秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为________米．
（2）某种病毒的长度为，这个数据用科学记数法表示为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
（1）用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可；
（2）用科学记数法进行表示即可．
【详解】解：（1）米；
故答案为：；
（2）用科学记数法进行表示为；
故答案为：．
19. 若与的两边分别平行，且比的2倍少，则的度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得或，再根据题意可得，再代入求解即可．
【详解】解：∵与的两边分别平行，
∴或，
∵比的2倍少，
∴，
∴或,
故答案为：或．
20. 甲乙两位同学对问题“若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以通过换元替代的方法来解决”
（1）你认为谁说得对？________（填甲或乙）；
（2）这个题目的解应该是________．
【答案】 ①. 乙 ②.
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解．所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．
【详解】解：（1）我认为乙说得对，
故答案为：乙；
（2），
方程组中两个方程的两边都除以4，得，
∵方程组的解是，
∴，解得，
故答案为：．
三、解答题（本题共6道题，21、25题每题10分，22题6分，23题8分，24题7分，26题11分，共52分）
21. （1）计算：
（2）运用乘法公式计算：
（3）解方程组：
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，单项式乘以单项式，解二元一次方程组．
（1）根据积的乘方、单项式乘以单项式法则计算即可；
（2）将原式变形为，利用平方差公式进行计算即可得解；
（3）利用加减消元法解二元一次方程组即可得．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3），
由得：，
将代入②得：，
解得，
则方程组的解为．
22. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点．由可得，然后再运用整式的混合运算法则化简原式，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
23. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图形，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，利用网格画图．
（1）在网格中平移，使点移动到点，画出平移后的；
（2）过点画的平行线（要求点Q在格点处）．
（3）线段和线段的关系为__________；
（4）面积是__________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）平行 （4）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图——平移变换：
（1）首先确定A、B、C平移后的位置，再连接即可；
（2）结合网格画出过点A画的平行线即可；
（3）利用平移的性质即可解答；
（4）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：线段和线段的关系为；
故答案为：平行；
【小问4详解】
解：的面积是
，
故答案为：．
24. 对于有理数，规定新运算：，其中，是常数，已知：，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，先根据“，”和定义运算列出方程组，然后求解出a、b，继而运用新运算法则计算即可．
【详解】，，
解得
，
．
25. 已知：用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运货17吨；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货18吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货多少吨?
（2）该物流公司有哪几种租车方案?
（3）若型车每辆需租金200元/次；型车每辆需租金250元/次，请选出最省钱租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货3吨、4吨
（2）该物流公司有三种租车方案：型车1辆、型车8辆或型车5辆、型车5辆或型车9辆、型车2辆；
（3）租型车1辆、型车8辆最省钱，最少租车费为2200元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程、有理数的四则混合运算的应用，理解题意是关键．
（1）设1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货x吨，y吨，根据题意列出方程组并正确求解即可；
（2）根据题意，得，根据a、b为正整数求解出a、b值即可；
（3）分别求得（2）中每个方案的租车费用，然后比较大小即可求解．
【小问1详解】
解：设1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货x吨，y吨，
根据题意，得，解得，
答：1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货3吨、4吨；
【小问2详解】
解：由题意，，
∵a、b为正整数，
∴或或，
故该物流公司有三种租车方案：型车1辆、型车8辆或型车5辆、型车5辆或型车9辆、型车2辆；
【小问3详解】
解：当租型车1辆、型车8辆时，租车费用为（元），
当租型车5辆、型车5辆时，租车费用为（元），
当租型车9辆、型车2辆时（元）
∵，
∴租型车1辆、型车8辆最省钱，最少租车费为2200元．
26. （1）如图1，，点在两平行线之间，连接，求证：证明过程如下：如图2
过点作（①）
（②）
（③）
（④）
（⑤）
即：．
请在上面的括号中填上作图或每一步推理的依据
（2）如图3，，点在两平行线之间，连接．求证：．
（3）如图4，，，，直接写出、之间的数量关系．
【答案】（1）已知；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）见解析；（3）．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
（1）过点作，利用平行线的判定和性质推出，即可证明；
（2）过点作，同（1）可证明；
（3）过点作，由（1）的结论结合已知得到，根据平行线的性质求得，进一步计算即可得到．
【详解】（1）证明：如图，过点作（作图）
（两直线平行，内错角相等）
，，
（平行同一直线的两条直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
即：．
故答案为：作图；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；
解：（2）如图，过点作，
，
，
，，
，
，
；
解：（3）．
如图，过点作，
由（1）知，
∵，
∴，即，
，，
，
∴，
∵，
∴，
将代入得，
整理得．