高中数学学考复习冲A专题3平面向量的综合应用含答案

这是一份高中数学学考复习冲A专题3平面向量的综合应用含答案，共6页。

A.-1B.1
C.13D.-13
2.在△ABC中,AB=2,若CA·CB=-12,则∠A的最大值为( )
A.π6B.π4C.π3D.π2
3.已知平面向量a,b(a≠b)满足|a|=1,且a与b-a的夹角为150°.若c=(1-t)a+tb(t∈R),则|c|的最小值为( )
A.1B.14C.12D.32
4.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节,我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、渲染气氛的目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花,已知图2中正六边形ABCDEF的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点P在正六边形的边上运动,MN为圆O的直径,则PM·PN的取值范围是( )
图1
图2
A.[2,4]B.[2,3]
C.32,4D.32,3
5.在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别是边BC,AC上的动点,且EF=1,则DE·DF的最小值等于( )
A.54B.154
C.174D.174
6.(2023浙江温州十校)已知向量a,b均为单位向量,且a⊥b,向量c满足|c|=2,则(c-a)·(c-b)的最大值为( )
A.32-12B.322
C.32D.4
7.(多选)已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=3,a·b=3,|c|2-2b·c+8=0,则下列说法正确的有( )
A.|c-b|=1
B.若c⊥(c-b),则|c|=22
C.∀t∈R,有|b+ta|≥32恒成立
D.若c=λa+(1-λ)b,则|a-c|=7-1
8.(多选)(2023浙江台金六校)在△OAB中,OA=1,OB=2,∠AOB=120°,P是等边三角形ABC(点O与C在AB的两侧)边上的一动点.若OP=xOA+yOB,则有( )
A.当x=12时,点P必在线段AB的中点处
B.x+y的最大值是92
C.OP·OA的最小值是-1
D.PO·PA的最大值为17
9.在扇形OAB中,∠AOB=60°,C为弧AB上的一个动点.若OC=xOA+yOB,则3x+y的取值范围是 .
10.(2023浙江学军中学)在直角坐标平面内,A(-2,0),B(2,0),若对任意实数t∈R,点P都满足13AP-tAB≥1,则PA·PB的最小值为 .
11.(2023浙江奉化)如图,分别以等边三角形ABC的顶点为圆心,以边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形ABC的边长为1,P为弧AB上的一个动点,则PA·(PB+PC)的最小值为 .
冲A专题三 平面向量的综合应用
1.C 解析 设D是BC中点,由重心的定义可知AG=23AD=23×12(AB+AC)=13(AB+AC),所以GC=AC-AG=AC-13(AB+AC)=-13AB+23AC.所以x+y=-13+23=13.故选C.
2.B 解析 设AB的中点为E,由CA·CB=-12,AB=2,得CA·CB=CE2-14AB2=CE2-1=-12,∴CE2=12,即点C在以E为圆心,22为半径的圆上.当CA与圆相切时,∠A取到最大值π4.故选B.
3.C 解析 如图所示,设AB=a,AC=b,则BC=b-a,可令BD=t(b-a),t∈R,
则AD=AB+BD=a+t(b-a)=(1-t)a+tb=c,点D在BC上.
因为a与b-a的夹角为150°,则∠ABC=30°,
当AD⊥BC时,线段AD最短,此时|c|取最小值,
即|c|min=|AB|sin 30°=12.故选C.
4.B 解析 如图,取AF的中点Q,根据题意,△AOF是边长为2的正三角形,易得|OQ|=3,又PM·PN=(PO+OM)·(PO+ON)=|PO|2+PO·ON+PO·OM+OM·ON=|PO|2+PO·(ON+OM)-1=|PO|2-1.
根据图形可知,当点P位于正六边形各边的中点时|PO|有最小值为3,此时|PO|2-1=2,当点P位于正六边形的顶点时,|PO|有最大值为2,此时|PO|2-1=3,所以2≤PM·PN≤3.故选B.
5.B 解析 DE·DF=(DE+DF)2-(DE-DF)24=DH2-EF24=DH2-14(H为EF中点),又因为CH+DH≥CD,所以DH≥CD-CH=52-12=2.所以DE·DF=DH2-14≥4-14=154.
6.D 解析 (方法1)设OA=a,OB=b,OC=c,则由a⊥b可知△AOB是∠AOB=π2的等腰直角三角形.又由|c|=2知点C在以O为圆心,2为半径的圆上.设AB的中点为E,由极化恒等式得,(c-a)·(c-b)=CA·CB=CE2-14AB2=CE2-12≤2+222-12=4.故选D.
(方法2)因为向量a,b均为单位向量,且a⊥b,可设a=(1,0),b=(0,1).
又因为|c|=2,设c=(2cs θ,2sin θ),θ∈[0,2π),
则c-a=(2cs θ-1,2sin θ),c-b=(2cs θ,2sin θ-1),可得(c-a)·(c-b)=2cs θ(2cs θ-1)+2sin θ(2sin θ-1)=2(cs2θ+sin2θ)-2(sin θ+cs θ)=2-2sinθ+π4.
因为θ∈[0,2π),所以θ+π4∈π4,9π4,
当且仅当θ+π4=3π2,即θ=5π4,c=(-1,-1)时,(c-a)·(c-b)取最大值4.
故选D.
7.ABC 解析 设OA=a,OB=b,OC=c,|c|2-2b·c+8=0可化为(c-b)2=1,∴点C在以B为圆心,1为半径的圆上,故A正确;对于B,|c|2-2b·c+8=0可化为2c·(c-b)-c2+8=0,若c⊥(c-b),则c·(c-b)=0,∴|c|=22,故B正确;对于C,|b+ta|2=b2+2ta·b+t2a2=4t2+6t+9=4t+342+274≥274,∴|b+ta|≥32,故C正确;对于D,c=λa+(1-λ)b,知点C在直线AB上,由|a|=2,|b|=3,a·b=3知在△AOB中,∠AOB=π3,如图,可知|a-c|不是定值,故D错误.故选ABC.
8.BC 解析 对于A,记D为AO的中点,过点D作DP∥OB交BC于点P,如图,
此时存在λ∈R,使得DP=λOB,则OP=OD+DP=12OA+λOB,
显然满足x=12,但点P不在线段AB的中点处,故A错误;
对于B,延长OA,在OA上任取一点E'作E'P'平行于OB,如图,
则OP'=OE'+E'P'=OE'OA·OA+E'P'OB·OB=OE'·OA+E'P'2·OB,即x=OE',y=E'P'2,
易得∠CBO=60°+∠ABO大于∠AOB=120°的外角,则AO与CB的延长线必交于一点,
故E'P'离OB越远,其值越大,同时,OE'的值也越大,
显然,当P'到达P点与C点重合时,OE'与E'P'都取得最大值,此时x+y也取得最大值,此时,在△OAB中,AB2=OA2+OB2-2OA·OBcs∠AOB=1+4-2×2×-12=7,
所以AB=7,则AC=7,cs∠BAO=OA2+AB2-OB22OA·AB=1+7-42×7=27,
易知0°<∠BAO<60°,所以sin∠BAO=37,则cs∠CAO=cs(∠BAO+60°)=cs∠BAOcs 60°-sin∠BAOsin 60°=27×12-37×32=-127.
故在△OAC中,OC2=OA2+AC2-2OA·ACcs∠CAO=1+7-2×7×-127=9,
所以OC=3,cs∠AOC=OA2+OC2-AC22OA·OC=1+9-72×3=12,
又0°<∠AOC<120°,所以∠AOC=60°,
又EC∥OB,∠AOB=120°,所以∠CEO=60°,则△ECO为正三角形,所以EC=EO=OC=3,
所以x+y的最大值为OE+EP2=3+32=92,故B正确;
对于C,因为OP=xOA+yOB,OA·OB=|OA||OB|·cs∠AOB=1×2×-12=-1,
所以OP·OA=(xOA+yOB)·OA=x|OA|2+yOB·OA=x-y=OE'-E'P'2,
由选项B,结合图象易知OE'的增长速率要比E'P'大,
所以要使得OE'-E'P'2取得最小值,OE'要取得最小值,
此时OE'=0,则E'P'=OB=2,即点P与点B重合时OP·OA取得最小值,
此时OE'-E'P'2=0-22=-1,即OP·OA的最小值为-1,故C正确;
对于D,当点P与点C重合时,cs∠CAO=-127<0,∠AOC=60°,
所以∠CAO>90°,∠APO=180°-∠CAO-∠AOC<30°,则cs∠APO>cs 30°=32,
则PO·PA=|PO||PA|cs∠APO>3×7×32=3212>17,故D错误.
故选BC.
9.[1,3] 解析 如图,取点D使得OD=13OA,OC=xOA+yOB=3xOD+yOB,作一系列与BD平行的直线与圆弧相交,构造等高线模型,易知当点C与点A重合时,3x+y取最大值3,点C位于直线BD上时(即点C与点B重合时),3x+y取得最小值1,故3x+y的取值范围是[1,3].
10.5 解析 (方法1)13AP-tAB≥1,
即|AP-3tAB|≥3,
∴点P在直线y=3上或直线y=3上方,在直线y=-3上或直线y=-3下方,
∴PA·PB=PO2-14AB2≥9-14×42=5.
(方法2)设P为(x,y),则AP=(x+2,y),13AP=x+23,y3,AB=(4,0),tAB=(4t,0),
∴13AP-tAB=x+23-4t,y3,13AP-tAB≥1⇒x+23-4t2+y32≥1.(*)
∵对任意实数t∈R,(*)式成立,
∴y32≥1⇒y2≥9.
∵PA=(-2-x,-y),PB=(2-x,-y),
∴PA·PB=x2-4+y2≥0-4+9=5,
当且仅当x=0,y2=9时,等号成立.
11.52-7 解析 设BC的中点为D,AD的中点为E,PA·(PB+PC)=2PA·PD=2PE2-14AD2=2PE2-38≥21-742-38=52-7.