2024年福建省厦门市思明区福建省厦门第一中学中考模拟数学试题

这是一份2024年福建省厦门市思明区福建省厦门第一中学中考模拟数学试题，共26页。

考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分．
一．选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1. 目前代表华为手机最强芯片的麒麟990处理器采用0.0000007cm工艺制程，数0.0000007用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形求解即可．
【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两部分，下面一部分是一个长方形，上面一部分左上角有一个小长方形，即看到的图形如下：该试卷源自 每日更新，享更低价下载。，
故选：B．
3. 下列算式，能按照“底数不变，指数相加”计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】题目主要考查同底数幂的乘除法运算，幂的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加依次判断即可．
【详解】解：A、不能合并，不符合题意；
B、，是指数相加，符合题意；
C、，不是指数相加，不符合题意；
D、，不是指数相加，不符合题意．
故选：B．
4. 如图，在中，，，、分别为的中点，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得到，再由三角形中位线定理可得．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵、分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
5. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少13和14岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解．
【详解】解：A：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少13岁和14岁的数据，所以平均数不能求出，故A不符合题意；
B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少13岁和14岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意；
C：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故C符合题意；
D：由于众数是出现次数最多的数，13岁和14岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意；
故选：C．
6. 如图，中，,将绕点C顺时针旋转 得对应，连接，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转变换，掌握旋转的性质是解决本题的关键．
根据旋转得,，再根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转 得对应，
∴,，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7. 如图，四边形内接于，的半径为4，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆内解四边形对角互补及扇形弧长公式，根据得到，从而得到，结合求解即可得到答案；
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
由点，关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，，可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，从而排除选项D．
【详解】由点，在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意；由，，可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，故选项D不符合题意，选项A符合题意；
故选：A．
9. 小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【解析】
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点
故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．
10. 抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
【详解】抛物线解析式变形为：，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有，
当x=m+1时，有，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有，
∴C点坐标为，
当x=m时，有，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时符合题意；
此时由图可知：，
解得，
综上所述：m的取值范围为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．
二．填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 因式分解______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【详解】解：（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12. 二次函数的图象的对称轴是直线________．
【答案】
【解析】
【分析】直接由顶点式可以得到对称轴．
【详解】解：由得，二次函数图象的对称轴为直线，
故答案为：．
【点睛】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，学会通过顶点式得到对称轴是本题的关键，属于基础题型．
13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．
【答案】780
【解析】
【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解．
【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，
该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有（名），
故答案为：780．
14. 某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：s）：
则这10只手表的平均日走时误差是___s．
【答案】1.1
【解析】
【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：1.1．
【点睛】本题考查加权平均数的意义和计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
15. 如图，在△ABC中，，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于________．
【答案】
【解析】
【分析】连接AE，由垂直平分线的性质可得AE=BE，利用勾股定理可得BC=4，设CE的长为x，则BE=4-x，在△ACE中利用勾股定理可得x的长，即得CE的长．
【详解】解：连接AE，
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
由勾股定理得BC=4，
设CE的长为x，则BE=AE=4-x，在Rt△ACE中，
由勾股定理得：x2+32=（4-x）2，
解得：x=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键．
16. 以矩形ABCD两条对角线交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为___．
【答案】3
【解析】
【分析】由双曲线y=（x＞0）经过点D知S△ODF=k=，由矩形性质知S△AOB=2S△ODF=，据此可得OA•BE=3，根据OA=OB可得答案．
【详解】如图，
∵双曲线y=（x＞0）经过点D，
∴S△ODF=k=，
则S△AOB=2S△ODF=，即OA•BE=，
∴OA•BE=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴OB•BE=3，
故答案为3．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质．
三．解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，见详解
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
【详解】解：∵
∴解不等式①得：
解不等式②得：，，
∴不等式组的解集为，
数轴上表示解集，如图所示：
18. 如图，在平行四边形中，E、F分别为边的中点，连接．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．根据平行四边形的性质可以得到，又点E、F是中点，所以，然后利用边角边即可证明两三角形全等．
【详解】证明：在平行四边形中，，
∵E、F分别为的中点，
∴．
在和中，
，
∴．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式
20. 如图，是的直径，平分，交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）过点O作，交于点H，连接，若，，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）连接，则，由等腰三角形的性质和角平分线的性质证明，则，即可证明是的切线；
（2）根据等腰三角形的性质和得到，由是直径，，再勾股定理求，即可求解半径的长．
小问1详解】
证明：如图，连接，

则，
，
平分，
，
，
，
，
，
经过的半径的外端，且，
是的切线．
【小问2详解】
解：∵于点H，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
∴的半径为6．
【点睛】此题考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，由同圆的半径相等和等腰三角形的性质解题．
21. 如图，已知，A，B为射线ON上两点，且．
（1）求作菱形，使得点C在射线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，，当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以B点为圆心，长为半径画圆，交于点C，再分别以C，A为圆心长为半径画，相交于D点，即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【小问1详解】
解：

如图，菱形为所求作的图形．
【小问2详解】
解：

∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，菱形的判定和性质，三角函数的定义，正确地作出图形是解题的关键．
22. 一副扑克牌（大、小王除外）有四种花色，且每种花色皆有13种点数，分别为2、，共52张．某扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来评估尚未发出的牌之点数大小．“牌值”的计算方式为：未发牌时先设“牌值”为0；若发出的牌点数为2至10时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加2；若发出的牌点数为时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减2．例如：从该副扑克牌发出了6张牌，点数依序为，则此时的“牌值”为．
请根据上述信息回答下列问题：
（1）若该副扑克牌发出了1张牌，求此时的“牌值”为的概率；
（2）已知该副扑克牌已发出32张牌，且此时的“牌值”为24．若剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等，求下一张发出的牌是点数大的牌的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
（1）用点数大的牌除以牌的总数即可；
（2）设该副扑克牌已发出的32张牌中点数大的张数为张，根据已发出32张牌，且此时的“牌值”为24列方程求出x的值，得出剩余的20张牌中点数大的张数为6张，然后根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
因为该副扑克牌中，点数大的牌共有16张，且，
所以“牌值”为的概率是．
【小问2详解】
设该副扑克牌已发出的32张牌中点数大的张数为张，
依题意，得，
解得．
已发出的32张牌中点数大的张数为10张，
剩余的20张牌中点数大的张数为6张，
剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等，
下一张发出的牌是点数大的牌的概率是．
23. 小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调．通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调．
小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为和，对收集到的数据检查、整理；④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的与对应关系的散点图．
（1）表1记录了收集到的四组数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______（填写组别代号），不必说明理由；
（表1）
（2）根据散点图，同学们猜想与的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数（精确到个位）作为与的对应关系中的系数．小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出的音．
（表2）
你知道小明剪出的吸管长度是多少（精确到个位）？并说明你的理由．
【答案】（1）D （2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）根据表中数据，可发现与的乘积为定值，从而可得答案；
（2）根据与都是正数，可得这条曲线是反比例函数的一支，根据，可得与的函数解析式，即可得到结论．
【小问1详解】
解：根据表中数据，可发现与的乘积为定值，
所以D组数据是错误的，
故答案为：D．
【小问2详解】
根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，
因此可设．
依据表1中三组数据求得：
，
，
．
，
，
当时，．
答：小明剪出的吸管长度是．
24. 抛物线与轴交于点，与轴交于点、B，平行于轴交抛物线于另一点，点是轴上一动点，连接，过点作交于点（点在线段上，不与点重合），

（1）求A、B、D三点的坐标（D点坐标用含的式子表示）．
（2）若点的坐标为，则线段存在唯一一点，
①求抛物线的解析式
②如图2，连接，点为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，连接，是否存在点使中某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）①，②存在两个点P，点P的横坐标是2或
【解析】
【分析】（1）分别令和可得A，B，C三点的坐标，将抛物线的解析式配方成顶点式可知对称轴是：，根据对称性可得点D的坐标；
（2）①先作辅助线，构建相似三角形，证明，则，列方程，根据，可得a的值，求出抛物线的解析式，
②当中某个角恰好等于的2倍时，存在两种情况：（i）当时，延长交x轴于F，确定点F的坐标，设的解析式为：，联立方程组可得P的横坐标；（ii）当时，作，证明和，表示P的坐标，代入抛物线的解析式中可得结论．
【小问1详解】
解：当时，，
∴，
当时，，
解得：，
∴，，
又
∵轴，
∴，
解得，，
∴；
【小问2详解】
解：①∵点是线段存在唯一一点M，
如图2，过D作轴于E，

设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵只有一个K点，所以方程只有一个解，
∴，
∴，
∴，
②（i）当时，延长交x轴于F，如图3，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
设的解析式为：，
则，解得：，
∴的解析式为：，
联立，
解得：（舍），，
∴点P的横坐标为2；
（ii）当时，如图4，作，

设，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
过Q作x轴的平行线交y轴于G，同时过P作于H，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
代入抛物线的解析式中得：，
解得：（舍），，
∴P的横坐标为，
综上，存在两个点P，点P的横坐标是2或．
【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，一次函数，根的判别式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，利用抛物线的性质来求解．
25. 在中，，点在边上．以为斜边作，使得B、D两点在直线的异侧，且，与交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，判断与的数量关系；
（3）若，过点作，垂足为．求证：．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）根据得，由于，则，由此可得出结论；
（2）取的中点，连接，，证明，得出即可．
（3）作的外接圆，交于，连接，则为的直径，由此得，，由此判定和全等，由全等三角形的性质可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
，
即，
；
【小问2详解】
取的中点，连接，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
作的外接圆，交于，连接，如下图所示：
∵，
∴为的直径，
∴，
即，
∵点都在上，
，
在和中，，
∴，
．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．画法
图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．

日走时误差
0
1
2
3
只数
3
4
2
1
数据组别
吸管的长度
60
80
100
100
空气振动的频率
1.43
1.08
086
0.42
音调

频率
0.26
0.29
0.33
0.35
0.39
0.44
0.49