2024年浙江省杭州市富阳区九年级中考数学一模试卷

这是一份2024年浙江省杭州市富阳区九年级中考数学一模试卷，共20页。试卷主要包含了下列各数中，最小的是，如图，四边形OABC为菱形，若点A等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分120分，考试时间120分钟。
答题前，在答题纸上写名字和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上名字和座位号。
必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明。
如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。
考试结束后，试卷和答题纸一并上交。
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中，最小的是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．3
【答案】A．
【解析】
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，即可解答．
【详解】解：∵﹣1＜0＜1＜3，
∴最小的数是﹣1，
故选：A．
2．下列立体图形的主视图为三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
【详解】解：A．球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
B．圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
C．圆柱的主视图的矩形，故本选项不符合题意；
D．三棱柱的主视图的矩形（矩形内部有一条纵向的虚线），故本选项不符合题意．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。故选：B．
3．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则tan∠CAB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】利用直角三角形的边角间关系得结论．
【详解】解：由题图知，△ABC为直角三角形，
BC＝3，AC＝4．
∴tan∠CAB＝＝．
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a6÷a3＝a2
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的除法法则分别计算判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项符合题意；
D、a6÷a3＝a3，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，将一块含有60°的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝40°，则∠2为（ ）
（第5题图）
A．60°B．40°C．30°D．20°
【答案】D
【解析】
【分析】延长FG交CD于点E，利用猪脚模型进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：延长FG交CD于点E，
∵∠FGH是△EGH的一个外角，
∴∠FGH＝∠2+∠3＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2+∠1＝60°，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝60°﹣40°＝20°，
故选：D．
6．如图，四边形OABC为菱形．若OA＝2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为（ ）
（第6题图）
A．B．C．D．（﹣2﹣，）
【答案】D
【解析】
【分析】作BE⊥x轴于点E，由菱形的性质得CB＝OC＝OA＝2，CB∥OA，则∠BCE＝∠AOC＝45°，所以∠CBE＝∠BCE＝45°，则BE＝CE，由CB＝CE＝2，求得BE＝CE＝，则OE＝2+，所以B（﹣2﹣，），于是得到问题的答案．
【详解】解：作BE⊥x轴于点E，则∠BEC＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴CB＝OC＝OA＝2，CB∥OA，
∴∠BCE＝∠AOC＝45°，
∴∠CBE＝∠BCE＝45°，
∴BE＝CE，
∵CB＝＝＝CE＝2，
∴BE＝CE＝，
∴OE＝OC+CE＝2+，
∴B（﹣2﹣，），
故选：D．
7．在正数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（ ）
A．x＝B．x＝1
C．x＝﹣或x＝1D．x＝或x＝﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】分析题意，按新定义的运算对方程变形可得3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1；对以上方程整理，先化为一般形式，再因式分解，可得（5x+4）（x﹣1）＝0；接下来用一元一次方程的解法求出方程的两个解即可．
【详解】解：∵a※b＝3（a+b）﹣5ab，
∴方程x※（x+1）＝﹣1变形为3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1，
定义新运算
∴5x2﹣x﹣4＝0，
∴（5x+4）（x﹣1）＝0，
∴5x+4＝0，x﹣1＝0，
∴x＝﹣（舍去）或x＝1．
故选：B．
8．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，连接OD，AD，则图中阴影部分面积为（ ）
（第8题图）
A．16π﹣32B．8π﹣16C．4π﹣8D．4π﹣4
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理可求出BC的长，由△ABC是等腰直角三角形可得∠ABC＝45°，根据直径所对的圆周角是直角可得AD⊥BC，由此可得△ABD是等腰直角三角形，由OA＝OB可得OD⊥AB，然后用扇形OAD的面积减去△OAD的面积即可求出阴影部分面积．
【详解】解：∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝，∠ABC＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝＝，
∵OA＝OB＝，
∴OD⊥AB，即∠AOD＝90°，
∴图中阴影部分面积为：
﹣
＝4π﹣
＝4π﹣8．
故选：C．
9．若点A（﹣4，a），B（1，b），C（3，c）都在反比例为实数）的图象上，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a
【答案】B
【解析】
【分析】因为k2+1＞0＞0时，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．根据这个判定则可．
【详解】解：∵k2+1＞0，
∴反比例为实数）的图象在一、三，在每个象限y随着x的增大而减小，
∵点A（﹣4，a），B（1，b），C（3，c）都在反比例为实数）的图象上，
∴点A（﹣4，a）在第三象限，B（1，b），C（3，c）在第一象限，
∵﹣4＜0＜1＜3，
∴a＜0，b＞c＞0，
∴a＜c＜b．
故选：B．
10．如图，有一批直角三角形形状且大小相同的不锈钢片，∠C＝90°，AB＝5米，BC＝3米，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，则面积最大的正方形不锈钢片的边长为（ ）
（第10题图）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况：①过点C作CH⊥AB于H，根据等面积法求出CH的长，设FG＝GE＝x，CG＝y，再根据相似三角形的性质得出＝①，②，联立①②即可得出结果．②根据△AED∽△ABC，得出方程求解即可，再比较两种结果的大小即可得出选项．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵S，
∴CH＝，
∵四边形FDEG是正方形，
∴FG∥DE，FD∥EG，GF＝GE，
设FG＝GE＝x，CG＝y，
∴＝①，
∵GE∥CH，
∴，
∴②，
联立①②可得，x＝，
如图，设DE＝DC＝x，则AD＝4﹣x，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴，
解得x＝，
∵，
即面积最大的正方形不锈钢片的边长为，
故选：C．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。
11．因式分解：x2﹣4＝ ．
【答案】（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．从袋中随机取出一个球是黄球的概率为0.4，若袋中有12个白球，则布袋中黄球可能有 个．
【答案】8
【解析】
【分析】布袋中黄球可能有x个，根据概率公式列出算式，再进行求解，即可得出答案．
【详解】解：布袋中黄球可能有x个，根据题意得：
＝0.4，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，
答：布袋中黄球可能有8个．
故答案为：8．
13．如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，弦CD与直径AB之间的距离为3，则AB＝ ．
（第13题图）
【答案】10
【解析】
【分析】过O作OH⊥CD于H，由垂径定理得到CH＝CD＝4，由AB∥CD，得到OH⊥AB，因此OH＝3，由勾股定理求出OC＝＝5，即可得到AB＝2OC＝10．
【详解】解：过O作OH⊥CD于H，
∴CH＝CD＝×8＝4，
∵AB∥CD，
∴OH⊥AB，
∴OH＝3，
∴OC＝＝5，
∴AB＝2OC＝10．
故答案为：10．
小健原有存款50元，小康原有存款80元：从这个月开始，小健每个月存18元零花钱，小康每个月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康．可列不等式为 ．
【答案】50+18x＞80+12x
【解析】
【分析】利用小健原来存款数+18×月数x＞小康原来存款数+12×月数x，此题得解．
【详解】解：由题意可得：50+18x＞80+12x．
故答案为：50+18x＞80+12x．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B1.若点B1刚好落在边AC上，且∠CB1E＝30°，CE＝m，则BC的长为 .（用含m的代数式表示）
（第15题图）
【分析】根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质，得出B1E＝BE＝2CE，即可求解．
【详解】解：∵在Rt△CEB1中，∠C＝90°，∠CB1E＝30°，
∴B1E＝2CE＝2m，
又∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B1，点B1刚好落在边AC上，
∴BE＝B1E＝2m，
则BC＝CE+BE＝m+2m＝3m．
故答案为：3m．
16.已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 ．
【答案】﹣1＜n＜2
【解析】
【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
不等式组无解；
若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：，
解得：﹣1＜n＜2，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜2．
故答案为：﹣1＜n＜2．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本题满分6分)计算：
（1）；
（2）（x+2）2﹣x（x+4）．
【答案】
【解析】
【分析】（1）利用绝对值的性质，负整数指数幂计算即可；
（2）利用完全平方公式，单项式乘多项式法则计算即可．
【详解】解：（1）原式＝﹣＝0；
（2）原式＝x2+4x+4﹣x2﹣4x＝4．
18．(本题满分6分)先阅读下列解题过程，再回答问题．
解方程：
解：两边同乘x2﹣4得：3﹣（x+2）＝﹣6（x﹣2）①
去括号得：3﹣x﹣2＝﹣6x+12②
移项得：﹣x+6x＝12﹣3+2③
解得：④
（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是 ① ．
（2）请给出正确的解答过程．
【答案】
【解析】
【分析】（1）根据等式的性质判断即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】解：（1）以上解答有错误，错误步骤的序号是①，
故答案为：①；
（2），
两边同乘x2﹣4得：3+（x+2）＝﹣6（x﹣2），
去括号得：3+x+2＝﹣6x+12，
移项得：x+6x＝12﹣3﹣2③
合并同类项得：7x＝7，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x2﹣4≠0，
所以分式方程的解是x＝1．
19．(本题满分8分)某学校随机抽取部分学生，调查每个月的零花钱消费额，数据整理成如下的统计表和如图①②所示的两幅不完整的统计图，已知图①中A，E两组对应的小长方形的高度之比为2：1．请结合相关数据解答以下问题：月消费额分组统计表
（1）本次调查样本的容量是 100 ；
（2）补全频数分布直方图，并标明各组的频数；
（3）若该学校有2500名学生，请估计月消费零花钱不少于300元的学生的数量．
【答案】
【解析】
【分析】（1）由C组人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先求出B组人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以对应部分人数所占比例即可得．
【详解】解：（1）本次调查样本的容量是40÷40%＝100，
故答案为：100；
（2）如图所示
（3）估计月消费零花钱不少于300元的学生数为2500×＝750（人）．
20．(本题满分8分)如图，已知AE＝CF，AE∥CF，BE＝DF．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）连结AB，CD，那么AB，CD相等吗？请说明理由．

（第20题图）
【答案】
【解析】
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）证明四边形ABCD是平行四边形，可得结论．
【详解】1）证明：∵BE＝DF，
∴DE＝BF，∵AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AED＝∠CFB，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）解：结论：AB＝CD．
理由：连接AB，CD．
∵△AED≌△CFB，
∴AD＝CB，∠ADB＝∠CBF，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
21．(本题满分10分)食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示，
（1）求a的值．
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
（第21题图）
【答案】
【解析】
【分析】（1）a分钟新增40a人，由图象可得400+40a﹣15×4a＝320，据此可得答案；
（2）运用待定系数法求直线BC的解析式，再把x＝7代入计算即可；
（3）根据题意列不等式求解．
【详解】解：（1）根据“等候购餐的人数＝开餐时排队人数+前a分钟新增排队人数﹣购餐后离开的人数”，得400+40a﹣15×4a＝320，
解得a＝4，
∴a的值是4．
（2）当4≤x≤10时，设排队等候购餐的人数y与开餐时间x的关系为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标B（4，320）和C（10，0）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y＝﹣x+（4≤x≤10）．
当x＝7时，y＝﹣×7+＝160，
∴开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人；
（3）设同时开放x个窗口，则7×15x≥400+7×40，解得x≥6，
所以至少需同时开放7个售票窗口．
22．(本题满分10分)已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣3）图象过点（4，m），（p，n）．
（1）若m＝1，求a的值．
（2）若m＞n＞0，求p的取值范围．
（3）求证：am+an＞0．
【答案】
【解析】
【分析】（1）将（4，1）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）m＝a（4﹣1）（4﹣3）＝3a，n＝a（p2﹣4p+3），若m＞n＞0，即3a＞a（p2﹣4p+3）＞0，即可求解；
（3）由am+an＝a（3a+ap2﹣4ap+3a）＝a2（p﹣2）2+2a2＞0，即可求解．
【详解】（1）解：当m＝1时，点（4，m）为（4，1），
将（4，1）代入抛物线表达式得：1＝a（4﹣1）（4﹣3），
解得：a＝；
（2）解：由题意得：m＝a（4﹣1）（4﹣3）＝3a，
同理可得：n＝a（p2﹣4p+3），
若m＞n＞0，即3a＞a（p2﹣4p+3）＞0，
当a＞0时，
即3＞（p2﹣4p+3）＞0，
解得：0＜p＜1或3＜p＜4；
当a＜0时，
则3＜（p2﹣4p+3）＜0，
不等式无解；
故0＜p＜1或3＜p＜4；
（3）证明：由（2）得：am+an＝a（3a+ap2﹣4ap+3a）＝a2（p﹣2）2+2a2＞0．
23．(本题满分12分)综合与实践
【问题情境】如图，在四边形ABCD中，点P是线段BC上一点，∠APD＝90°，AP＝PD．
【性质初探】如图1，当．∠B＝∠C＝90°时，猜想AB，CD，BC三条线段存在的数量关系并证明．
【类比再探】如图2，延长BA，CD交于点E，当AB⊥CD，∠B＝30°时，求的值．
【问题解决】如图2，延长BA，CD交于点E，当AB⊥CD，∠B＝α时，用含α的代数式表示的值．

（第23题图）
【答案】
【解析】
【分析】【性质初探】利用直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可得出结论；
【类比再探】过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G，利用【性质初探】的方法得到：△AFP≌△PGD，则AF＝PG，PF＝DG；利用含30°角的直角三角形的性质，利用AB，CD表示出线段BF，FP，FG，GC，将它们代入中化简运算即可；
【问题解决】过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G，利用【性质初探】的方法得到：△AFP≌△PGD，则AF＝PG，PF＝DG；利用直接拒收下的边角关系定理，利用AB，CD表示出线段BF，FP，FG，GC，将它们代入中化简运算即可．
【详解】【性质初探】AB，CD，BC三条线段存在的数量关系为：BC＝AB+CD．
证明：∵∠APD＝90°，
∴∠APB+∠DPC＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC．
在△ABP和△PCD中，
，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴AB＝PC，BP＝CD．
∵BC＝BP+PC，
∴BC＝AB+CD．
【类比再探】解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G，如图，
∵AB⊥CD，
∴∠E＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠C＝60°，
∴∠GDC＝30°．
∵AF⊥BC，DG⊥BC，∠APD＝90°，AP＝PD，
∴由【性质初探】可知：△AFP≌△PGD，
∴AF＝PG，PF＝DG．
在Rt△ABF中，
∵∠B＝30°，
∴AF＝AB，BF＝AB．
在Rt△DGC中，
∵∠GDC＝30°，
∴CG＝CD，DG＝CD．
∴PF＝DG＝CD，PG＝AF＝AB．
∴BC＝BF+FP+PG+GC＝AB+CD+AB+CD＝（）（AB+CD），
∴＝＝1．
【问题解决】解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G，如图，
∵AB⊥CD，
∴∠E＝90°，
∵∠B＝α，
∴∠C＝90°﹣α，
∴∠GDC＝α．
∵AF⊥BC，DG⊥BC，∠APD＝90°，AP＝PD，
∴由【性质初探】可知：△AFP≌△PGD，
∴AF＝PG，PF＝DG．
在Rt△ABF中，
∵∠B＝α，
∴AF＝ABsinα，BF＝ABcsα，
在Rt△DGC中，
∵∠GDC＝α，
∴CG＝CDsinα，DG＝CDcsα．
∴PF＝DG＝CDcsα，PG＝AF＝ABsinα．
∴BC＝BF+FP+PG+GC＝ABcsα+CDcsα+ABsinα+CDsiα＝（csα+sinα）（AB+CD），
∴＝＝．
24．(本题满分10分)如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．
（2）求∠AMB的度数．
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．
【答案】
【解析】
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而AB＝10，AC＝6，则BC＝＝8；
（2）因为点M是△ABC的内心，所以∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，则∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，即可根据三角形内角和定理求得∠AMB＝135°；
（3）连结AD、BD，则∠ADB＝90°，因为CM平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，则＝，所以AD＝BD，由勾股定理得AB＝AD，由∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，得∠DAM＝∠DMA，则DM＝AD，所以AB＝DM，即可证明DM＝AB．
【详解】1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴BC的长为8．
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点M是△ABC的内心，
∴AM平分∠CAB，BM平分∠CBA，
∴∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，
∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°，
∴∠AMB的度数为135°．
（3）证明：连结AD、BD，则∠ADB＝90°，
∵点M是△ABC的内心，∠ACB＝90°，
∴CM平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴AB＝＝＝AD，
∵∠DAB＝∠ACD＝45°，∠MAB＝∠MAC，
∴∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，
∵∠DAM＝∠DAB+∠MAB，∠DMA＝∠ACD+∠MAC，
∴∠DAM＝∠DMA，
∴DM＝AD，
∴AB＝DM，
∴DM＝AB．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/30 17:24:26；用户：MrL；邮箱：rFmNt57xJfKD3e4uAbTy1zPjGK@；学号：25880306组别
月零花钱消费额/元
A
10≤x＜100
B
100≤x＜200
C
200≤x＜300
D
300≤x＜400
E
x≥400