安徽省淮北市“五校联考”2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省淮北市“五校联考”2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴的平方根是，
故选：A．
2. 若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式得解集，先解不等式得到，再根据数轴可知不等式的解集为，则，解之即可得到答案．
【详解】解：
移项得：，
系数化为1得：，
由数轴可知，不等式得解集为，
∴，
∴，该试卷源自 每日更新，享更低价下载。故选：C．
3. 地球是所有生物共同的家园．科学家在冰岛海岸的黄铁矿黏液池中发现了 一种古菌，这种古菌的直径为，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘除法指数是相加减，幂的乘方和积的乘方指数是相乘．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 化简结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：B．
6. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 3和B. 和C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，求一个数的算术平方根，立方根和化简绝对值以及化简多重符号，只有符号不同的两个数互为相反数，据此分别求出每个选项中的两个数，然后判断即可得到答案．
【详解】解：A、3和不互为相反数，不符合题意；
B、和不互为相反数，不符合题意；
C、和不互为相反数，不符合题意；
D、和互为相反数，符合题意；
故选：D．
7. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故选C．
8. 某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果和价格为每千克b元的乙种糖果，若该商店以每千克元的价格将两种糖果全部卖完，为保证盈利，a与b应满足的关系是（ ）
A. a>bB. a【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的应用，根据题目要求列出不等式是求解的关键．要保证盈利，即售价必须大于进价，进价为，售价为，列出不等式，求解即可．
【详解】解：根据题意有：
，
，
，
，
故选：A．
9. 如图，两个正方形边长分别为、，如果，，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据“阴影部分的面积=的面积+正方形的面积-的面积”列出式子，化成含和形式的式子求值即可.
【详解】观察图形可知：
阴影部分的面积=的面积+正方形的面积-的面积
∴
故选B.
【点睛】本题主要考查列代数式、整式混合运算的应用，弄清题意列出阴影部分的面积是解本题的关键.
10. 已知关于的不等式组的整数解只有三个，则的取值范围是（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出不等式的解集，根据不等式组有解得到，再根据不等式组有三个整数解得到，求解即可.
【详解】解：，
解不等式①得x<2a-4，
解不等式②得，
∵不等式组有解，
∴，
∵不等式组的整数解只有三个，
∴，
解得，
故选：C.
【点睛】此题考查不等式组的整数解的情况求参数，正确理解不等式组的整数解只有三个得到关于参数的不等式是解题的关键.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20 分）
11. 一个实数在数轴上对应的点在负半轴上，且到原点距离等于，则这个数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用数轴的特点得出到原点距离等于的数字．
【详解】解：∵一个实数在数轴上对应的点在负半轴上，且到原点距离等于，
∴这个数为：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴特点是解题关键．
12. 已知关于的不等式的解是．则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知解集得到，即可确定出的范围．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
13. 分解因式：___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15
依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝___；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝___．
【答案】 ①. （1）105； ②. （2）315．
【解析】
【分析】（1）根据图形中的规律即可求出（1+x）15的展开式中第三项的系数为前14个数的和；
（2）根据x的特殊值代入要解答，即把x=1代入时，得到结论．
【详解】（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，
（a+b）2第三项的系数为：1，
（a+b）3的第三项的系数为：3＝1+2，
（a+b）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，
…
∴发现（1+x）3的第三项系数为：3＝1+2；
（1+x）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（1+x）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴s＝1，则a2＝1+2+3+…+14＝105．
故答案为105；
（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．
当x＝1时，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，
故答案为315．
【点睛】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别根据立方根，算术平方根，负整数指数幂以及零指数幂的运算法则化简各项后，再进行加减运算即可得到答案
【详解】解：
16. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
【详解】解：
∵解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集是：．
四、解答题
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再根据单项式除以多项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
18. 已知的立方根是3，b是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，求一个数的立方根，无理数的估算，先根据立方根的定义得到，则，再由无理数的估算方法得到，则，据此求出的值，进而求出其平方根即可．
【详解】解：∵的立方根是3，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的整数部分为，即，
∴，
∴的平方根为．
19. 在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．
（1）试求出式子中，的值；
（2）请你计算出这道整式乘法正确结果．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出与的值是解题的关键．
（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于、的二元一次方程，再求出与的值；
（2）把与的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可．
【小问1详解】
解：由题意得
，
，
所以，①
②
由②得，代入①得，
所以
所以
所以
【小问2详解】
解：当时，由得
20. 观察下列关于自然数的等式：
；
；
；
；
…
根据上述等式的规律，解答下列问题．
（1）若等式（a，b是自然数）满足以上规律，则______，______；
（2）写出第n个等式（用含n的代数式表示），并证明其正确性．
【答案】（1）7，39
（2）第n个等式为：，证明见解析
【解析】
【分析】（1）等式左边第一个因数比幂的底数大1、第二个因数比幂的底数大3，而等式右边的数是等式左边第一个因数的4倍，据此求解即可；
（2）根据（1）的规律得到第n个等式，并验证即可；
小问1详解】
解：∵，
∴，；
∴，
故答案为：7，39；
【小问2详解】
解：由（1）得第n个等式为：；
∵左边
右边，
∴等式成立．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，整式的混合计算，正确理解题意找到规律是解题的关键．
21. 学校准备为“中国古诗词”朗诵比赛购买奖品．已知在中央商场购买3个甲种奖品和2个乙种奖品共需120元；购买5个甲种奖品和4个乙种奖品共需210元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）学校计划购买甲、乙两种奖品共80个，且此次购买奖品的费用不超过1500元．正逢中央商场促销，所有商品一律八折销售，求学校在中央商场最多能购买多少个甲种奖品？
【答案】（1）30,15；（2）45．
【解析】
【分析】（1）根据购买不同数量的甲乙两种奖品所需费用，列出二元一次方程组，计算即可；
（2）根据两种奖品的购买数量，及所花费的费用，列出一元一次不等式，计算即可．
【详解】解：（1）设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元
根据题意，得
解得
答：甲种奖品的单价为30元，乙种奖品的单价15元
（2）设学校购买个甲种奖品，则购买个乙种奖品
根据题意，得
解得
∴学校最多能购买45个甲种奖品．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式在实际问题中的应用，快速的找到等量关系并完成列式，是解题的关键．
22. 如图，把一张边长为厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒．
（1）①用含的式子表示纸片（阴影部分）的面积；
②当时，利用分解因式法计算阴影部分的面积．
（2）当时，求出纸盒的底面积．
【答案】（1）①；②
（2）纸盒的底面积为
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，因式分解；
（1）①根据纸片（阴影部分）的面积等于边长为a的大正方形面积减去4个边长为b的小正方形面积列式即可；
②先利用平方差公式进行因式分解，再代入求值；
（2）根据纸盒的底面是边长为的正方形进行列式，然后利用完全平方公式变形，再整体代入计算．
【小问1详解】
解：①由图得：纸片（阴影部分）的面积为；
②∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴纸盒的底面积为．
23. 已知为关于的多项式，若，并且满足下表各组所含的规律，则称是关于的“等因式”.
（1）探究上表各组中与的共同特征(写出探究过程)；
（2）若，请求出关于的“等因式”；
（3）已知，，若是关于的“等因式”, 求的值．
【答案】（1）所得结果的二次项系数的差为，一次项系数的差为，常数项的差为
（2）
（3）当时，，当时，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则，得出题目中的规律是解此题的关键．
（1）由表格中的式子分析即可得出答案；
（2），从而可得的二次项系数为：，一次项系数为，常数项为，即可得出答案；
（3）由题意得出，从而可得，，求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：由表格可得：
当，时，，，，
当，时，，，，
上表各组中与的共同特征为：所得结果的二次项系数的差为，一次项系数的差为，常数项的差为；
【小问2详解】
解：，
由（1）可得：所得结果的二次项系数的差为，一次项系数的差为，常数项的差为，
的二次项系数为：，一次项系数为，常数项为，
；
【小问3详解】
解：，
是关于的“等因式”
，
，
，，
解得：或，
当时，，当时，．组别
第一组
第二组
第三组


第四组