江西省赣州市南康区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份江西省赣州市南康区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 化简的结果是（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，正确熟练掌握基本知识是解决问题的关键．
表示a的正平方根，又叫算术平方根．
【详解】解：根据算术平方根的定义得：，
故选：B．
2. 下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A. 由，不能得到，此选项不符合题意；
B. 由，得到，不能得出，此选项不符合题意；
C. 由，不能得到，此选项不符合题意；
D. 由，能得到，此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
3. 将两把相同的直尺如图放置．若，则的度数等于（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】互补关系求出，互余关系求出，再用互补关系即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查余角和补角的计算．正确的识图，确定角度之间的和差关系，是解题的关键．
4. 下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②不带根号的数一定是有理数；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④内错角相等．真命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了真假命题的判定，熟练掌握有理数和无理数、平行公理、内错角等知识是解题关键．根据平行公理、有理数和无理数、内错角的定义和性质分析判断即可．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题；
②不带根号的数不一定是有理数，如，故原命题是假命题；
③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题是假命题；
④两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题．
所以，真命题的个数是1个．
故选：A．
5. 如图，每个小正方形的边长为2，剪一剪，并拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算、算术平方根的实际应用以及无理数估算大小，正确理解面积不变规律是解题的关键．由面积不变求出拼成的正方形的面积，再利用公式计算边长，估算其大小即可．
【详解】解：拼成的正方形的面积为，
∴这个正方形的边长是，
∵，
∴，即这个大正方形的边长在4和5之间．
故选：C．
6. 如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（ ）
A. （1012，1012）B. （2011，2011）C. （2012，2012）D. （1011，1011）
【答案】A
【解析】
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 写出一个比2大且比3小的无理数：______．
【答案】答案不唯一：如只要即可．
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义有，这样就可得到满足条件的无理数．
【详解】解：∵，
∵一个比2大且比3小的无理数，
∴只要满足即可；
∴如；
故答案为：
【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
8. 如图，现要在马路l上设立一个健康检测点为方便该村庄的居民参加体检，检测点最好设在C处，理由是______________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短即可进行判断．
【详解】解：垂线段最短，
检测点最好设在C处，理由是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题关键．
9. 在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a值是 ______．
【答案】1
【解析】
【详解】根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
【解答】解：因为点在y轴上，
所以，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键.
10. 利用计算器，得，按此规律，可得的值约为_____________
【答案】22.36
【解析】
【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.
【详解】解：观察，
不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，
因此得到第三个数的估值扩大10倍得到第五个数的估值，即.
故答案为22.36.
【点睛】本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.
11. 一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．过B作，则．根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：过B作，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12. 如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．

【答案】4或5或6
【解析】
【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可．
【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时，
∴；

当平移到如图2所示的位置时，则此时，
∴；

当平移到如图3所示的位置时，则此时，
∴；

综上所述，的值为4或5或6，
故答案为：4或5或6．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）求下列式中值：．
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算、利用平方根解方程等知识，熟练掌握相关运算法则和平方根的性质是解题关键．
（1）首先计算算术平方根、立方根、化简绝对值，然后相加减即可；
（2）根据平方根性质求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
，
∴，
∴或．
14. 已知一个正数的两个平方根分别是和，的相反数为．
（1）求a，b的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义，
（1）根据平方根的性质和相反数的定义即可求得答案；
（2）将，的值代入中计算后根据立方方根的定义即可求得答案．
【小问1详解】
解：一个正数的两个平方根分别是和，的相反数为，
，，
解得：，；
【小问2详解】
，，
，，
的立方方根为．
15. 完成下面的证明：
已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D、F，∠1＝∠2．
求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知），
∴∠BDC＝∠BFG＝90°（垂直的定义），
∴CD∥ （ ）
∴∠2＝∠3（ ）
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（ ），
∴DE∥ （ ）．
【答案】GF，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；BC，内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】运用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【详解】证明：∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知），
∴∠BDC＝∠BFG＝90°（垂直的定义），
∴CD∥GF（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：GF，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；BC，内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
16. 如图，在网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点；，，均为格点；请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．

（1）在图1中，作（在下方），且为格点；
（2）在图2中找一格点（在上方），画出三角形，使得．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图应用，掌握平行线的性质和割补法求面积是解题的关键．
（1）利用平移的性质作图即可；
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【小问1详解】
解：如下图所示，即为所求．
【小问2详解】
如下图所示，三角形即为所求．

．
17. 已知点，解答下列各题．
（1）点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）
（2）2025
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形性质，
（1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可；
（2）根据在第二象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可．
【小问1详解】
点的坐标为，直线轴，
，
解得：，
，
点的坐标为；
【小问2详解】
点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
，
解得：，
．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，．
（1）请对说明理由；
（2）若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，及邻补角求角度：
（1）根据对顶角相等得到，即可推出；
（2）利用平行线的性质及邻补角求出，根据角平分线求出，再利用内错角相等得到的度数．
【小问1详解】
理由如下：∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵与底座都平行于地面，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
19. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．
（1）点的“长距”为______；
（2）若点是“完美点”，求的值；
（3）若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”．
【答案】（1）5 （2）1或3
（3）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得点到轴的距离为5，到轴的距离为3，
∴点的“长距”为5．
故答案：5；
【小问2详解】
∵点是“完美点”，
∴，
∴或，
解得或；
【小问3详解】
解：∵点的长距为4，且点在第二象限内，
∴，解得，
∴，
∴点的坐标为，
∴点到轴、轴的距离都是5，
∴点是“完美点”．
20. 某市在招商引资期间，把土地出租给外地某投资商，该投资商为更好地利用土地，将土地的一部分从原来的正方形改建成的长方形，且其长、宽的比为．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
【答案】（1）28
（2）够用，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用、实数比较大小等知识，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
（1）先求出原正方形场地的边长，进而求出其周长即可；
（2）设新长方形场地的长和宽分别为，，根据长方形面积公式得到方程，解方程得到新长方形场地的长和宽，则新长方形场地的周长为，再证明，即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵原来正方形场地的面积为，
∴原来正方形场地的边长为，
∴原来正方形场地的周长为；
【小问2详解】
解：这些铁栅栏够用，理由如下：
设新长方形场地的长和宽分别为，，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴新长方形场地的长和宽分别为，，
∴新长方形场地的周长为，
∵，
∴，
∴这些铁栅栏够用．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 有一个数值转换器．原理如图．
（1）当输入的为25时，输出的______；
（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；
（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？请说明理由；
（4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的3个不同的值．
【答案】（1）
（2）0和1 （3）输入的数据可能是负数，理由见详解
（4）3，9，81
【解析】
【分析】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键．
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0和1的算术平方根即可判断；
（3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解；
（4）找到使得输出值为的两个数即可．
【小问1详解】
解：当时，，是无理数，
∴输出的．
故答案为：；
【小问2详解】
当或1时，始终输不出值，
因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
所以，始终输不出值；
【小问3详解】
∵负数没有算术平方根，
∴输入的数据可能是负数；
【小问4详解】
81的算术平方根是9，9的算术平方根是3，3的算术平方根是，
故输入的值不唯一，例如3，9，81．
22. 【学科融合】
射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
【应用探究】
有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线．
（1）如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证．（补充：三角形内角和为）
（2）如图3，光线与相交于点，若，求的度数．
【深入思考】
（3）如图4，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与所在的直线相交于点，，与之间满足的等量关系是______．（直接写出结果）
【答案】（1）见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．
（1）根据平面镜反射光线的规律得，，再利用，可得，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据平面镜反射光线的规律得，，再结合平角的定义得出，然后根据三角形内角和定理即可得出答案；
（3）结合三角形外角的性质可得，，结合，可得，整理可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）∵，
，
，
∴，
∴．
六、（本大题共12分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）点的坐标为__________，和位置关系是__________；
（2）当分别是线段上时，连接，使，求出点的坐标；
（3）在的运动过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查动点问题，涉及点的坐标，非负数的性质、坐标与图形、平行线的判定与性质，三角形的面积．
（1）由可得的值，进而能得出；
（2）过点作于，由，及可得的值即可求得的坐标；
（3）分情况讨论：当点在点的上方时和当点在点的下方时两种情况，具体见详解．
【小问1详解】
解：
故答案为：；
【小问2详解】
过点作于，
设时间经过秒，，则，，
∴
∵
∴,
∵
∴
解得，
∴
∴
∴点的坐标为；
【小问3详解】
解：或，
理由如下：①当点在点的上方时，过点作，如图2所示，
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即；
②当点在点的下方时；过点作，如图3所示，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即．
综上所述，或．