广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数（，为虚数单位），若为纯虚数，则复数虚部为（ ）
A. 2B. 1C. D.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若直线l: x+3y=0与圆交于两点，则（ ）
A. 1B. 3C. 2D. 23
4.平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数g(x)=ex−a2x2有两个不同极值点，则实数a的取值范围是( ).
A. (0, e)B. (e,+∞)
C. 0,1eD. 1e,+∞
7.某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为20mm，卫生纸厚度约为0.1mm，若未使用时直径为80mm，则这个卷筒卫生纸总长度大约为（ ）（参考数据）
A. 47mB. 51mC. 94mD. 102m
8．已知P为棱长为的正四面体各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记P到面，面，面，面的距离分别为，，，，若，则该试卷源自 每日更新，享更低价下载。的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为：，其中x为原始分，y为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分.则以下说法正确的是（ ）
A. 若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分
B. 若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数
C. 该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分
D.该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同
10.对于数列，定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ）
A. 若数列是递减数列，则为常数列
B. 若数列是递增数列，则有
C. 满足为2，3，3，5，5的所有数列（）的个数为8
D. 若，记为的前n项和，则
11. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（ ）
A. 双曲线的离心率为B.
C. D.
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则__________.
13.已知等差数列的前项和为.若，，则__________.
14.已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数，且．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）讨论函数的单调性．
16．（15分）
如图，为圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，，是底面圆弧的三等分点，，分别为，的中点．
（1）证明：点在平面内．
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）
已知数列{an}，{bn}，满足an=2n−2，b2k−1=ak(k∈N∗)，b2k−1，b2k，b2k+1成等差数列.
(1)证明：{b2k}是等比数列；
(2)数列{cn}满足cn=n+28n(n+1)(b2n−b2n−1)，记数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn.
18．（17分）
已知函数f(x)=csx+12x2−2，g(x)=12x2+sinx−ebx.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若关于x的不等式f(x)≥g(x)在x∈[0,+∞)恒成立，求实数b的取值范围.
19．（17分）
已知椭圆的左右焦点分别为，，其长轴长为6，离心率为e且，点D为E上一动点，的面积的最大值为，过的直线，分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线的垂线，垂足为H.
（1）求椭圆E的方程；
（2）问：平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.