广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(无答案)

这是一份广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(无答案)，共5页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
3．如图1，在四边形中，若，则必有（ ）
A．B．C．D．
4．如图2，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）
A．与互相平行；
B．与是异面直线；
C．与相交，其交点在直线上；
D．与相交，且交点在直线上．
5．已知，且与互相垂直．则与的夹角为（、（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．函数的部分图象如图3所示，则函数该试卷源自 每日更新，享更低价下载。的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
8．如图4，坐标系中的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线）。曲线显示的震动时间间隔是相同的，而且每过相同的间隔振幅就变化一次。曲线过点，曲线上所有点的坐标满足（这里，为不超过的最大整数，）．若曲线上的点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图5，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）满足函数式），其中球从最高点出发，经过2秒后，第一次回到最高点，则（ ）
A．
B．
C．秒与秒时的相对于平衡位置的高度之比为
D．秒与秒时的相对于平衡位置的高度之比为
10．下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，则的夹角的范围是
C．若是等边三角形，则
D．已知，则
11．如图6，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积为；
B．直三棱柱外接球的表面积为；
C．若分别是棱的中点，则直线；
D．当取得最小值时，有
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分
12．在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．
13．已知不共线的三个单位向量和实数，满足与的夹角为，则实数______．
14．先将函数（且）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标保持不变），再将所得图形向左平移个单位长度后，得到了一个奇函数图象，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（1）将向量运算式化简为最简形式．
（2）已知，且复数，求实数的值．
16．（15分）如图7，正六棱锥的底面周长为24．是的中点，为底面中心，，求：
（1）正六棱锥的高；
（2）正六棱锥的斜高；
（3）正六棱锥的侧棱长．
17．（15分）（1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．
（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩．当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起．热气球可用于测量．如图8，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．
18．（17分）如图9，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．
（1）求旋转体的表面积；
（2）求旋转体的体积；
（3）求图中所示圆锥的内切球体积．
19．（17分）如图10，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．
（1）记，点为三角形的重心，
试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）
（2）若的面积为，求的面积的最小值．
（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．