广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年高二下学期期中教学质量监测数学试题

这是一份广西壮族自治区钦州市浦北县2023-2024学年高二下学期期中教学质量监测数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.随机变量的分布列如表格所示，其中，则等于（ ）
A.B.C.D.
2.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知，则（ ）
A.12B.9C.6D.4
4.对于数据组（），如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差.某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：
经这位同学的研究，发现第天幼苗的高度的经验回归方程为，据此计算样本点处的残差为（ ）
A.0.1B.C.0.9D.
5.如图，有4种不同的颜色供选择，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
该试卷源自 每日更新，享更低价下载。A.48B.56C.72D.256
6.一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件：“这3个球的颜色各不相同”，事件：“这3个球中至少有1个黑球”，则（ ）
A.B.C.D.
7.从0、1、2、3、4、5、6这七个数字中，取三个不同的数组成一个十位数字大于个位数和百位数的三位数，这样的三位数的个数为（ ）
A.40B.48C.55D.70
8.已知，若，则（ ）
A.240B.C.280D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（ ）
A.为7B.所有项的二项式系数和为32
C.二项式系数最大的项为第4项D.没有常数项
10.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.随机变量服从超几何分布D.随机变量服从二项分布
11.已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A.与互斥B.与相互独立
C.D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）
12.在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个.若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为______.
13.从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆个数为______.
14.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.3，0.5，0.6.飞机被一人击中而落地的概率为0.2，被两人击中而落地的概率为0.8，若三人都击中，飞机必定被击落.则飞机被击落的概率为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（13分）已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为.
（1）求的值；
（2）求二项式的展开式中的常数项.
16.（15分）某产品的广告费用支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）的数据如下表.
（1）在给出的坐标系中画出散点图；
（2）建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；
（3）利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少.
（参考公式：线性回归方程中的系数，）
17.（15分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望.
18.（17分）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门.
（1）若按照“”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信.
附：，，.
19.（17分）某商场举办摸球赢购物券活动.现有完全相同的甲、乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球.参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球，第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球，若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券.用X表示一位参加活动者所得购物券的金额.
（1）在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率.
（2）①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量X的数学期望的最大值.
2024年春季期中教学监测（高二数学）参考答案
1. A
【详解】由题知，，得，即.
2. A
【详解】由随机变量服从正态分布，
因为，可得，
所以.
3. D
【详解】因为，则，所以.
4. B
【详解】，，
因为经验回归方程过样本中心点，所以，解得，
所以经验回归方程为.当时，.
所以样本点处的残差为.
5. A
【详解】将四个区域标记为，，，，如下图所示：
第一步涂：4种涂法，第二步涂：3种涂法，第三步涂：2种涂法，第四步涂：2种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法.
6. D
【详解】由题意知，，，
所以.
7. C
【详解】由题意知，分两种情况讨论：①若选出的数字中含有0，则0必须在个位上，此时只需在其它6个数中选出2个，大的放在十位，小的放在百位，共有个三位数；
②若选出的数字中不含有0，此时只需在0以外得其它6个数中选出3个，最大的放在十位，其他两个放在百位和个位，共有个三位数，
综上，满足题意得三位数共有55个.
8. C
【详解】令，则有，
即，故，
即有，
对，有，
令，则有，即.
9. CD
【详解】因为二项式的展开式中共有项，所以，解得，故A错误；
二项式所有项的二项式系数和为，故B错误；
因为二项式展开式中共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故C正确；
二项式展开式的通项为（，），
令，解得（舍去），所以展开式中没有常数项，故D正确.
10. BC
【详解】由题意知随机变量服从超几何分布；的取值分别为0，1，2，3，4，
则，，
，，
11. BCD
【详解】由题意可知，，，
所以，相互独立，
由相互独立本件的性质可知与相互独立，且与相互独立，即A错误，B正确；
所以，，即C正确，D正确.
12.
【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为，
填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为，
由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为.
13. 72
【详解】由题设，，所以，且，
在1、2、3、4、…、8中任取两个作为、，共有种方法；
可在9、10中取一个作为，在1、2、…、8中取一个作为，共有种方法，
由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：.
14. 0.46
【详解】解析：设事件，事件，，
由题意可得，，，，
，
，
由全概率公式得，
所以飞机被击落的概率为0.46.
15.【详解】（1）解：首先将甲排在中间位置，再排乙，乙排在甲左右两个位置中的一个位置，再排其余3人，
则所有不同的排法种数.
（2）解：由（1）知，，
∴的展开式的通项公式为，
令，解得，
∴展开式中的常数项为.
16.【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：，
，
则，
，
所以，
则，
所以销售额关于广告费用支出的一元线性回归为；
（3）解：由（2）得，当时，，
所以当广告费用支出为12万元时，销售额为107万元.
17.【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，，，
所以甲学校获得冠军的概率为
（2）依题可知，的可能取值为0，10，20，30，
所以，，
，
，
即的分布列为
期望.
18.【详解】（1）甲、乙两名学生必选语文、数学、外语.
若另一门相同的为物理、历史中的一门，有种，
在生物、化学、思想政治、地理4门中，甲、乙选择不同的2门，
则有种，共种；
若另一门相同的为生物、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有种.
所以甲、乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为.
（2）①设此次网络测试的成绩记为，则.
由题知，，，，
则，
所以.
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人.
②不可信.
，
则；
4000名学生中成绩大于410分的约有人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分.
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信.
19.【详解】（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件，“取到乙盒”为事件，
“第一次摸出黑球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，，
所以，
所以选中的盒子为甲盒的概率为
（2）①，
所以方案一中取到黑球的概率为：
，
方案二中取到黑球的概率为：
因为，所以方案二中取到黑球的概率更大.
②随机变量的值为300，200，100，
依据以上分析，若采用方案一：
，
，
，
，
若采用方案二：
，
，
，
，
所以随机变量的数学期望的最大值282.0
1
第天
1
2
3
4
5
6
高度
1
4
7
9
11
13
广告费用支出
3
5
6
7
9
销售额
20
40
60
50
80
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06