河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了答题前，考生务必将自己的姓名，本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4、本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册至第八章8.5。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则的虚部为
A．2B．4C．-2D．
2．若向量，则的取值集合为
A．B．C．D．
3．如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线AD是异面直线的是
A．FGB．EHC．EFD．BC
4．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为
A．B．C．6D．
5．向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A．B．C．D．
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
7．已知正方形ABCD的边长为，则的值为
A．-6B．-5C．-4D．-3
8．财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点B，C与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则财富汇大厦的高度
A．200米B．202米C．204米D．206米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的行6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是
A．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与直线平行
B．若直线与平面相交，则平面内没有直线与直线平行
C．已知两条相交直线m，n，若平面，则平面
D．已知直线m，n，平面，若，则
10．若，则
A．B．C．D．
11．已知圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，SA，SB是两条母线，是SB的中点，则
A．圆锥SO的体积为B．面积的最大值为
C．当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为
D．圆锥SO的内切球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．若，则______.
13．如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为______．
14．若均为单位向量，且的取值范围是，则的取值范围是______.
四、解答颗：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知，其中．
（1）若为纯虚数，求的共轭复数；
（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
16．（15分）
已知向量a，b满足．
（1）若向量a，b的夹角为，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求向量a，b的夹角.
17.（15分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）若，求外接圆的半径，
（2）若的面积为，求的大小及的周长．
18．（17分）
如图，在长方体中，E，F分别为的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面．
（3）已知，以为直径的球的表面积为，设三点确定平面，在答题卡的图中作出平面截四棱柱所得的截面（写出作法），并求截面的周长．
19．（17分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
2023—2024学年第二学期九校联盟期中考试
数学参考答案
1．A因为，所以的虚部为2．
2．C因为，所以，解得或0．
3．C由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线AD是异面直线的是EF．
4．D因为是的直观图，直角边长为，所以的面积是．因为平面图形与直观图的面积之比为，所以原平面图形的面积是．
5．D如图，设，则．
6．A由正弦定理得，即，又A，B为的内角，所以．
7．A方法一：如图所示，建立以为原点的平面直角坐标系，得，则，故．
方法二：，
故．
8．C设米，因为在点处测得点的仰角为，所以，则米．因为在点处测得点的仰角为，所以米．由余弦定理得，即，解得．
9．已知两条相交直线m，n，若平面，则与平面的位置关系不确定，错误．已知直线m，n，平面，若，则与平行或异面，错误．
10．由题意可得，
所以解得
11．ACD因为圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，
所以扇形的弧长为，即圆锥的底面周长为．
设圆锥的底面半径为，母线长为，则，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积，故A正确．
当为轴截面时，因为，所以此时为钝角，
所以当时，的面积最大，且最大值为2，故错误．
当为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，，
由余弦定理可得，故C正确．
当为轴截面时，的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径．
设的内切圆半径为，则，
所以，所以，故D正确．
12．2由题意可得，则，解得．
该青铜器的容积约为．
14．不妨设，则．因为的取值范围是，所以的取值范围是．当时，；当时，．综上，的取值范围是．
15.解：（1）由题意可得………………………………………………………………2分
解得，……………………………………………………………………………………………………4分
，………………………………………………………………………………………………………5分
所以的共轭复数为-32．……………………………………………………………………………………6分
（2）由题意可得………………………………………………………………………9分
即…………………………………………………………………………………………11分
解得，即的取值范围是．………………………………………………………………13分
16．解：（1）．…………………………………………………3分
（2）由，得，……………………………………………………5分
所以．………………………………………………8分
故．……………………………………………………………………………………………9分
（3）由题意得，即，…………………………………………………………10分
得，…………………………………………………………………………………………11分
所以．………………………………………………………………13分
因为，所以，即向量的夹角为．……………………………………15分
17．解：（1）因为，所以，…………………………………………………2分
即，……………………………………………………………………………………………………3分
又，所以．………………………………………………………………………………………4分
因为，……………………………………………………………………………………6分
所以．………………………………………………………………………………………………7分
（2）的面积，……………………………………………………8分
则，………………………………………………………………………………………………9分
因为，所以或．………………………………………………………………………10分
当时，，……………………………………………………11分
得的周长为．………………………………………………………………………12分
当时，，…………………………………………………13分
得的周长为．………………………………………………………………………14分
综上，的周长为或．………………………………………………………………15分
18．（1）证明：在长方体中，，………………………………1分
所以四边形为平行四边形，所以．……………………………………………………2分
又平面平面，
所以平面．………………………………………………………………………………………4分
（2）证明：取BC的中点，连接FG，EG．
因为E，F分别为的中点，所以，…………………………………………6分
又，所以.…………………………………………………………………………7分
因为，所以平面平面，…………………………………………………8分
又平面EFG，所以平面．………………………………………………………………9分
（3）解：取的中点，连接，……………………………………………………………11分
则要求作的截面为四边形．…………………………………………………………………………12分
在矩形中，，……………………………………………………13分
所以，解得，……………………………………………………………15分
所以截面的周长为．…………………………………………………………17分
19．解：（1）因为，
所以．……………………………………………………………2分
由正弦定理得，…………………………………………………………………………3分
则．………………………………………………………………………………5分
因为，所以．………………………………………………………………………………6分
（2）延长AF交BC于，延长BF交AC于．
根据题意可得．因为，所以…………………7分
设，且，则………………9分
同理可得，…………………………………………………………………………10分
则．……………………………………………………………………………………13分
因为，所以．……………………………………………………………14分
又，……………………………15分
所以，所以的取值范围是………………17分