上海外国语大学附属大境中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份上海外国语大学附属大境中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，简答题等内容，欢迎下载使用。
（90分钟内完成，总分120分）
一、填空题（本大题共有12小题，1-6小题每题4分，7-12小题每题5分，共54分.）
1. 方程的解___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据对数的定义可得．
【详解】由得，所以．
故答案为：4．
2. 若全集，，则用列举法表示集合______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出并用列举法写出作答.
【详解】全集，，所以.
故答案为：
3. 用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设______.
【答案】或.
【解析】
【分析】利用反证法的概念直接求解.
【详解】用反证法证明命题：“已知，则且”时，
应假设: 或.
故答案为：或.
4. 已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【分析】由命题为真求解即可.
【详解】已知命题“如果，那么”是真命题，
则实数的取值范围是.
故答案为：
5. 设，则满足条件的集合共有________个．
【答案】4
【解析】
【分析】根据并集的定义，列举集合.
【详解】由并集定义可知，集合中有元素3和4，
所以满足条件的集合共4个.
故答案为：4
6. 若恒成立，则的值______．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果.
【详解】因为，即恒成立，
所以，所以.
故答案为：5
【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键.
7. 已知，则“成立”是“成立”的______条件.
【答案】充要
【解析】
【分析】先证充分性，由求出的取值范围，再根据的取值范围化简即可，再证必要性,根据绝对值的性质可知．
【详解】充分性：若，则，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若，则，
，
所以“成立”是“成立”的充要条件.
故答案为：充要
8. 已知，，则 ____
【答案】
【解析】
【分析】将对数式转化为指数式，再通过指数运算公式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：
9. 设、，若关于的不等式的解集为，则__________.
【答案】0
【解析】
【分析】化简不等式，结合一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，列关系式求，即可.
【详解】不等式可化为或，
因为不等式的解集为，所以方程的解为，不等式的解集为，
所以， ，是方程的解，
所以，，所以，所以，
故答案为：0.
10. 已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列顺序是______.
【答案】
【解析】
【分析】不等式可化为，设，，画出函数与函数的图像，利用数形结合法即可求出结果．
【详解】不等式可化为，
设，，
画出函数与函数的图像，如图所示，

由图像可知，，
故答案为：
11. 三个同学对问题“已知，且，求的最小值”提出各自的解题思路：
甲：，可用基本不等式求解；
乙：，可用二次函数配方法求解；
丙：，可用基本不等式求解；
参考上述解题思路，可求得当________时，（，）有最小值.
【答案】
【解析】
【分析】甲的思路应用的条件是分母相加为常数，乙的思路的应用条件是通分后分子应为常数，丙的思路为1的代换，注意基本不等式取等号的条件.
【详解】按照甲的思路：
因为，所以
由基本不等式得，，
当且仅当，，即时等号成立.
按照乙思路：
，发现与设想不一样，故放弃此思路.
按照丙的思路：
因为，所以
由基本不等式得，，
当且仅当，，即时等号成立.
故当时，（，）有最小值.
故答案为：.
12. 已知非空集合A，B满足以下两个条件：
（i），；
（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，
则有序集合对的个数为______.
【答案】10
【解析】
【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论．
【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，，
即，，此时有种，
若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，，
即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种
若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意，
若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，，
即，，此时集合还可以有中的三个数，
即或或或有种，
若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，，
即，，此时有种，
故有序集合对的个数是.
故答案为：10.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题只有一个正确答案）
13. 若则x=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解.
【详解】由，得，即，所以.
故选：A
14. 已知mn，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可得正确选项．
【详解】∵mn，则取m=1，n=0，a=0，b=2，c=0，可排除A，B，D．
对C，∵m＞n，∴-m＜-n，∴成立，故C正确．
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
15. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】由题意，p＝10，S，利用基本不等式，即可得出结论．
【详解】由题意，p＝10，
S8，
∴此三角形面积的最大值为8．
故选C．
【点睛】本题考查三角形的面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
16. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天B. 1.8天
C. 2.5天D. 3.5天
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
三、简答题（本大题共4小题，总分46分，需要写出必要的答题过程.）
17. 已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求集合，应用集合交并运算即可求解；
（2）由题设由，再列不等式组求参数范围．
【小问1详解】
由，则，而，
所以，；
【小问2详解】
由，而，
若，显然不成立，即，
所以，
故的取值范围为．
18. 运货卡车以千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制（单位千米/时），假设汽油价格是每升8元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时46元.
（1）求这次行车总费用（元）关于（千米/时）的表达式；
（2）当为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低总费用（精确到0.01）（参考数据：）
【答案】（1）
（2）千米/时，最低费用为元.
【解析】
【分析】（1）计算本次行车所用时间，然后乘以每小时耗油量以及汽油价格为汽车的费用，再加上司机的费用即为行车总费用；
（2）利用均值不等式求出最小值以及取最小值时的的值．
【小问1详解】
行车所用时间，根据汽油的价格是每升8元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时46元，
可得行车总费用为；
【小问2详解】
，当且仅当即时，等号成立，
所以当千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用为元．
19. （1）已知，，用a、b表示.
（2）设，为方程的两个根，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】（1）根据对数的换底公式和对数的运算性质即可用，表示出；
（2）根据韦达定理得出，然后根据立方差和平方差公式化简分式，并代值求解．
详解】（1）已知，，
则，故
（2）设，为方程的两个根，则，易知，
.
20. 已知函数．
（1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式解集为D，若，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）分和两种情况讨论即可；
（2）由，因式分解得，再从分类讨论即可；
（3）由不等式的解集为，且，可得对任意的，不等式恒成立，分离参数得恒成立，在分离常数结合基本不等式求出的最大值即可.
【小问1详解】
当时，即，则由 ，得，不合题意，
当，即时，由不等式的解集为得
，解得，
所以的取值范围为；
【小问2详解】
因为，所以，即，
当，即时，解得，所以不等式的解集为，
当，即时，，
因为，所以不等式的解集为，
当，即时，，
因为，所以，所以，
所以不等式的解集为，
综上，当，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
【小问3详解】
因为不等式的解集为，且，
所以对任意的，不等式恒成立，
即，
因为，
所以恒成立，
令，则，，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以的取值范围为.
【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：
设
①在上恒成立，则；
②在上恒成立，则；
③在上恒成立，则；
④在上恒成立，则.