2024年重庆市忠县后乡片区十校联考中考一模数学试卷

这是一份2024年重庆市忠县后乡片区十校联考中考一模数学试卷，共38页。
A．2019B．C．D．
2．（4分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是
A．B．C．D．
3．（4分）直尺和三角板如图摆放，，则的度数为
A．B．C．D．
4．（4分）如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长是3，则的周长是
A．15B．12C．9D．6
5．（4分）一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有2个爱心，第②个图形有5个爱心，第③个图形有8个爱心，，按此规律排列下去，则第⑧个图形的爱心的个数是
A．26B．25C．24D．23
6．（4分）估计的值应在
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
7．（4分）为了解脱贫攻坚成果，宣传乡村振兴发展之路，某电视台记者乘汽车赴外的新农村进行采访，路程的第一部分为高速公路，第二部分为省道，第三部分为乡道．若汽车在高速公路、省道、乡道上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：与时间（单位：之间的关系如图所示，则下列结论正确的是
A．汽车在高速公路上的行驶速度为
B．省道总长为，乡道总长为
C．该记者在出发后到达采访地
D．汽车在省道上的行驶速度为
8．（4分）已知中半径，，则弦的长度为
A．3B．C．D．
9．（4分）如图，在正方形中，点，分别在，上，满足，连接，，点，分别是，的中点，连接．若．则可以用表示为
A．B．C．D．
10．（4分）对于三个代数式、、，、、中至少有一个含有字母）任意取两个式子的绝对值，再将这两个绝对值求和并使它等于第三个式子，这样形成的等式称为“双绝对值方程”．例如，、、、、至少有一个含有字母）三个式子的所有“双绝对值方程”为：，，．
①若，2，组成了“双绝对值方程”，则所有方程的整数解共有3个．
②若，，1组成了“双绝对值方程”，则不存在任何一个方程，使其有整数解．
③若，，组成了“双绝对值方程”，则至少存在一个方程，其解有无数个．
④若，，组成了“双绝对值方程”，则所有方程的解只有一个，并且解为．
以上说法正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）华为非凡大师配备了令人惊艳的6.82英寸显示屏，能够呈现出541800万种色彩，无论是视觉效果还是操作流畅度都达到了业界领先水平，则541800万用科学记数法表示为 ．
12．（4分）计算： ．
13．（4分）一个不透明的盒子里装有1个红球、2个白球、1个黑球，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．将剩下的球先摇匀再随机摸出一个球，则两次都摸出白球的概率是 ．
14．（4分）如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图象分别与，交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为8，则的值为 ．
16．（4分）若关于的不等式组有解且至多有2个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
17．（4分）如图，在四边形中，、交于点，，，，，则 ．
18．（4分）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数的差再除以99所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，，且，且，，，均为整数）．若能被7整除，则的值为 ；在此条件下，若，其中为整数，则此与乘积的最大值为 ．
三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）如图，已知，平分．
（1）使用尺规完成基本作图：作的角平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：四边形是菱形，（请补全下面的证明过程）
证明：平分，
① ．
又，
② ，
，
，
同理可得：③ ，
．
又④ ，
四边形为⑤ ．
，
四边形是菱形．
21．（10分）为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，重庆市忠县拔山中学校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校七、八年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：；；；．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩是：86，75，80，66，82，77，89，96，89，100，
八年级10名学生的成绩在组中的数据是：83，85，88，88，
八年级抽取的学生成绩扇形统计图和七、八年级抽取的学生成绩统计表如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七年级、八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有900人、八年级有950人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有多少人．
22．（10分）“母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过16800元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共1000束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束20元、12元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的1.5倍，若消费者用3000元购买百合的数量比用2200元购买康乃馨的数量少10束．
（1）求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；
（2）花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低2元，康乃馨的售价每束降低1元．求花店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？（假设购进的两种鲜花全部销售完）
23．（10分）如图，四边形中，，，，，点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动的路程为，连接、，记的面积为，请解答下列问题：
（1）直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围 ；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质 ；
（3）已知图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出时的取值范围 ．
24．（10分）如图，海上有一座小岛，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为80海里小时，船在处测得小岛在北偏东方向，1小时后渔船到达处，测得小岛在北偏东方向．（参考数据：，，
（1）求的距离；（结果保留整数）
（2）渔船在处改变航行线路，沿北偏东方向继续航行，此航行路线记为，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到上与小岛最近的处时，立即沿方向前往小岛加油，加油时间为18分钟，在小岛加油后，再沿南偏东方向航行至上的点处．若小船在处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达处？请说明理由（结果精确到．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求线段的长度；
（2）点为直线下方抛物线上的一动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，为射线上的动点，过点作轴交新抛物线的对称轴于点，点为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
26．（10分）如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，延长到点使，分别连接，，交于点．求证：．
（3）如图3，若，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，点是边上一点，，是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数．
2024年重庆市忠县后乡片区十校联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）的相反数是
A．2019B．C．D．
【解答】解：因为的相反数是，
所以的相反数是2019．
故选：．
2．（4分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是
A．B．C．D．
【解答】解：、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．
故选：．
3．（4分）直尺和三角板如图摆放，，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
由题意得：，
，
，
，
．
故选：．
4．（4分）如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长是3，则的周长是
A．15B．12C．9D．6
【解答】解：与位似，
，
与的相似比为，
与的周长比为，
的周长是3，
的周长为：，
故选：．
5．（4分）一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有2个爱心，第②个图形有5个爱心，第③个图形有8个爱心，，按此规律排列下去，则第⑧个图形的爱心的个数是
A．26B．25C．24D．23
【解答】解：由图可得，
第①个图形中一共有个爱心，
第②个图形中一共有：个爱心，
第③个图形中一共有：个爱心，
第④个图形中一共有：个爱心，
，
则第⑧个图形中的爱心的个数为：，
故选：．
6．（4分）估计的值应在
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
【解答】解：
，
，
，
故选：．
7．（4分）为了解脱贫攻坚成果，宣传乡村振兴发展之路，某电视台记者乘汽车赴外的新农村进行采访，路程的第一部分为高速公路，第二部分为省道，第三部分为乡道．若汽车在高速公路、省道、乡道上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：与时间（单位：之间的关系如图所示，则下列结论正确的是
A．汽车在高速公路上的行驶速度为
B．省道总长为，乡道总长为
C．该记者在出发后到达采访地
D．汽车在省道上的行驶速度为
【解答】解：．汽车在高速公路上的行驶速度为，故本选项不符合题意；
．省道总长为：，乡道总长为：，故本选项不符合题意；
．（小时），即该记者在出发后到达采访地，故本选项不符合题意；
．汽车在省道上的行驶速度为：，故本选项符合题意．
故选：．
8．（4分）已知中半径，，则弦的长度为
A．3B．C．D．
【解答】解：连接，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
．
故选：．
9．（4分）如图，在正方形中，点，分别在，上，满足，连接，，点，分别是，的中点，连接．若．则可以用表示为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，如图：
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
点，分别是，的中点，
，，
，
，，
，，
，
，
故选：．
10．（4分）对于三个代数式、、，、、中至少有一个含有字母）任意取两个式子的绝对值，再将这两个绝对值求和并使它等于第三个式子，这样形成的等式称为“双绝对值方程”．例如，、、、、至少有一个含有字母）三个式子的所有“双绝对值方程”为：，，．
①若，2，组成了“双绝对值方程”，则所有方程的整数解共有3个．
②若，，1组成了“双绝对值方程”，则不存在任何一个方程，使其有整数解．
③若，，组成了“双绝对值方程”，则至少存在一个方程，其解有无数个．
④若，，组成了“双绝对值方程”，则所有方程的解只有一个，并且解为．
以上说法正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①根据题意得：，
，
，无解，
，无解，
方程的整数解有1个，故①错误；
②，，1组成了“双绝对值方程”，
，
当时，有，
解得：，
当时，有，无解，
当时，有，
解得：，
，
当时，有，
解得：，
当时，有，无解，
，
当时，有，无解，
不存在任何一个方程，使其有整数解，故②正确；
③，，组成了“双绝对值方程”，
，
当时，有，
解得：，
当时，有，
解得：，
，
当时，有，
解得：，
当时，有，
解得：，
，
当时，有，
解得：，
当时，有，，
解得：，
当时，有，
解得：，
不存在一个方程，使其解有无数个，故③错误；
④，，组成了“双绝对值方程”，
，
，
，
此时有，，
解得：（舍去），
，
，
，
当时，有，
解得：（舍去），
当时，有，
解得：（舍去），
此时无解，
，
当时，有，
解得：，
当时，有，无解，
当时，有，
解得：，
方程的解为或，故④错误．
故选：．
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）华为非凡大师配备了令人惊艳的6.82英寸显示屏，能够呈现出541800万种色彩，无论是视觉效果还是操作流畅度都达到了业界领先水平，则541800万用科学记数法表示为 ．
【解答】解：541800万．
故答案为：．
12．（4分）计算： 8 ．
【解答】解：原式
．
故答案为：8．
13．（4分）一个不透明的盒子里装有1个红球、2个白球、1个黑球，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．将剩下的球先摇匀再随机摸出一个球，则两次都摸出白球的概率是 ．
【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有2种，
两次都摸出白球的概率为．
故答案为：．
14．（4分）如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接，过作于，
在矩形中，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图象分别与，交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为8，则的值为 ．
【解答】解：作轴，垂足为，连接，
，
，
，
设，
根据反比例函数值几何意义可知：
，
，
，
．
故答案为：．
16．（4分）若关于的不等式组有解且至多有2个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 13 ．
【解答】解：，
由①得：，
，
，
由②得：，
，
，
不等式组的解为：，
不等式组有解且至多有2个偶数解，
，
，
，
，
，
，
，
，
分式方程解为非负整数，
且，
解得：且，
或1或4或10，
所有满足条件的整数的值之和为：，
故答案为：13．
17．（4分）如图，在四边形中，、交于点，，，，，则 ．
【解答】解：作于点，于点，则，，
，
，
，，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，
，
故答案为：．
18．（4分）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数的差再除以99所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，，且，且，，，均为整数）．若能被7整除，则的值为 7 ；在此条件下，若，其中为整数，则此与乘积的最大值为 ．
【解答】解：，
，
能被5整除，，
；
，
，
，
，
，
，
，
为整数，
或，
，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，，
的值为：94或83，
的最大值为：，
故答案为：7；9016．
三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．（10分）如图，已知，平分．
（1）使用尺规完成基本作图：作的角平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：四边形是菱形，（请补全下面的证明过程）
证明：平分，
① ．
又，
② ，
，
，
同理可得：③ ，
．
又④ ，
四边形为⑤ ．
，
四边形是菱形．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：平分，
①，
又，
②，
，
，
同理可得：③，
．
又④，
四边形为⑤平行四边形．
，
四边形是菱形．
故答案为：，，，，平行四边形．
21．（10分）为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，重庆市忠县拔山中学校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校七、八年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：；；；．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩是：86，75，80，66，82，77，89，96，89，100，
八年级10名学生的成绩在组中的数据是：83，85，88，88，
八年级抽取的学生成绩扇形统计图和七、八年级抽取的学生成绩统计表如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： 30 ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七年级、八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有900人、八年级有950人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有多少人．
【解答】解：（1）八年级组所占百分比为：，
八年级组所占百分比为：，
；
八年级成绩组有2个数据，组有1个数据，组有4个数据，组有3个数据，
中位数是组的第2、第3个数据的平均数，即（分，
即；
七年级成绩中89出现2次，是出现次数最多的，
，
故答案为：30，86.5，89；
（2）我认为八年级学生掌握安全知识较好．
理由：因为七八年级学生成绩的平均数相等，但八年级学生成绩的中位数86.5大于七年级学生成绩的中位数84；
（3）（人，
答：估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有465人．
22．（10分）“母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过16800元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共1000束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束20元、12元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的1.5倍，若消费者用3000元购买百合的数量比用2200元购买康乃馨的数量少10束．
（1）求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；
（2）花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低2元，康乃馨的售价每束降低1元．求花店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？（假设购进的两种鲜花全部销售完）
【解答】解：（1）由题意，设康乃馨鲜花每束的售价为元，由题意得：
．
解得：．
经检验：是原方程的解且符合题意．
．
答：百合和康乃馨每束的售价分别为30元和20元．
（2）由题意，设购进百合束，获得利润元，由题意得：
，
解得：．
，
随的增大而增大．
当时，有最大值为：（元．
（束．
答：花店应购进百合600束，康乃馨400束才能获得最大的利润，最大利润为7600元．
23．（10分）如图，四边形中，，，，，点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动的路程为，连接、，记的面积为，请解答下列问题：
（1）直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围 ；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质 ；
（3）已知图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出时的取值范围 ．
【解答】解：（1）过点作于点，
，
设，则，，则，
则，则，则．
过点作交于点，交的延长线于点，则，
，则，则，
由题意得，，则，
当点在上运动时，即，
则；
当点在上运动时，即，
则；
故答案为：；
（2）当时，，当时，，当时，，
画出函数图象如下：
该函数性质是：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一），
故答案为：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；
（3）联立和得：，
解得：；
联立和得：，
解得：，
观察函数图象知，时的取值范围是：或，
故答案为：或．
24．（10分）如图，海上有一座小岛，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为80海里小时，船在处测得小岛在北偏东方向，1小时后渔船到达处，测得小岛在北偏东方向．（参考数据：，，
（1）求的距离；（结果保留整数）
（2）渔船在处改变航行线路，沿北偏东方向继续航行，此航行路线记为，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到上与小岛最近的处时，立即沿方向前往小岛加油，加油时间为18分钟，在小岛加油后，再沿南偏东方向航行至上的点处．若小船在处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达处？请说明理由（结果精确到．
【解答】解：如图，作于点，于点，
（1）由已知得海里，，，
设，则，，
，
，
，
（海里），
的距离约为218海里；
（2）由已知得，
，
，
，
，
从到用的时间为，
渔船不能在下午5点之前到达处．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求线段的长度；
（2）点为直线下方抛物线上的一动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，为射线上的动点，过点作轴交新抛物线的对称轴于点，点为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【解答】解：（1）对于，当时，，
令，则或2，
则点、的坐标分别为、，
则；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
而，
则，
当时，的最大值为12，
此时点；
（3）将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于将抛物线向左平移6个单位向上平移3个单位，
则新抛物线的表达式为：，
设点，则点，设点，
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点，；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：（舍去）或或，
即点，或，，
综上，点的坐标为：，或，或，．
26．（10分）如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，延长到点使，分别连接，，交于点．求证：．
（3）如图3，若，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，点是边上一点，，是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数．
【解答】（1）解：，，
．
设，则，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
的面积；
（2）证明：延长到，使，连接，，如图2，
，，
．
，，
垂直平分，
，
，
．
，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
；
（3）解：的度数为．理由如下：
过点作，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，，，，如图，
，，
，
．
将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，
，，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
．
点在过点且垂直于的直线上运动．
点关于的对称点，
，．
．
，
当，，在一条直线上时，，此时的值最小．
如图，，，在一条直线上，
，，
．
．
，，
，
，关于对称，
，
，
．
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
．
年级
七年级
八年级
平均数
84
84
中位数
84
众数
88
方差
92.8
77.2
红
白
白
黑
红
（红，白）
（红，白）
（红，黑）
白
（白，红）
（白，白）
（白，黑）
白
（白，红）
（白，白）
（白，黑）
黑
（黑，红）
（黑，白）
（黑，白）
年级
七年级
八年级
平均数
84
84
中位数
84
众数
88
方差
92.8
77.2