2024广东省华南师大附中高三下学期4月高考适应性练习数学含解析

这是一份2024广东省华南师大附中高三下学期4月高考适应性练习数学含解析，共19页。试卷主要包含了已知集合，则，在等差数列中，若，则，的展开式中的系数为，设，向量，且，则，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

数 学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.在等差数列中，若，则（ ）
A.45 B.6 C.7 D.8
3.的展开式中的系数为（ ）
A.70 B.56 C.28 D.8
4.设，向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在内有两个不同的解，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知正方体的边长为1，现有一个动平面，且平面，当平面截此正方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为，周长为，则（ ）
A.不为定值，为定值 B.为定值，不为定值
C.与均为定值 D.与均不为定值
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图所示，已知三棱锥的外接球的半径为为球心，为的外心，为线段的中点，若，则（ ）
A.线段的长度为2
B.球心到平面的距离为2
C.球心到直线的距离为
D.直线与平面所成角的正弦值为
10.下列命题正确的是（ ）
A.“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B.若为第一象限角，则
C.在中，若，则为锐角三角形
D.已知，且，则
11.已知双曲线为其右焦点，点到渐近线的距离为1，平行四边形的顶点在双曲线上，点在平行四边形的边上，则（ ）
A.
B.
C.若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为
D.四边形的面积
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设复数的共轭复数为，若，则__________.
13.“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过__________天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，）
14.若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，角的对边分别是，且.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长.
16.（15分）
如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点，且是线段的中点.
（1）求证：平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）
已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.
18.（17分）
已知椭圆，右顶点为，上､下顶点分别为是的中点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于点，点，直线分别交直线于点，求证：线段的中点为定点.
19.（17分）
奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有16个国家队被分成4个小组，每个小组4支球队循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜､平､负分别积分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜､平､负的概率都是，每场比赛的结果相互独立.
（1）假设球队参与的前3场取得1胜2负的成绩，具体比赛结果为与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.此时，各积3分，积0分，求球队最终晋级的概率.
（2）假设该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.设小组赛阶段球队的积分之和为，求的分布列及期望.
华南师大附中高考适应性练习（4月）
选择题速查
试题精讲
1.命题角度：本题考查集合间的基本关系，要求考生了解集合的基本概念
考查热度★★★★
参考答案A
解题分析，得，则，所以.
2.命题角度：本题考查等差数列，要求考生能根据等差数列的基本性质进行计算.
考查热度★★★★
参考答案C
解题分析因为，
所以.
3.命题角度：本题考查二项式定理，要求考生会利用二项式的展开式求解简单的系数问题.
考查热度★★★★★
参考答案B
解题分析的展开式的通项公式为，
令，解得，故的展开式中的系数为.
4.命题角度：本题考查向量的坐标运算，要求考生能利用向量垂直的关系进行坐标运算，会求两向量的夹角.
考查热度★★★★★
参考答案D
解题分析因为，
又，所以，得到，
所以，得到，
所以
.
5.命题角度：本题考查抛物线，要求考生使用抛物线的基本性质和平面几何的知识解决相关问题.
考查热度★★★
参考答案B
解题分析设直线与轴交于点，连接图略），
因为焦点，所以抛物线的方程为，准线为，
则，易知是边长为4的等边三角形，
则，则.
因为，所以直线的斜率为，
直线的方程为.
6.命题角度：本题考查三角函数的图象与性质，要求考生会通过函数图象的平移得到函数解析式，并能熟练利用三角函数的性质解决问题.
考查热度★★★★★
参考答案D
解题分析由函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的，
得到函数的图象.
因为，所以，
由，可得，
所以，
所以.
7.命题角度：本题考查函数性质的应用，要求考
生能利用抽象函数的奇偶性､周期性解决相关问题.
参考答案★★★★★
参考答案A
解题分析因为①，
所以函数的图象关于点对称.
因为为偶函数，所以②，
则函数的图象关于直线对称.
由①②得，则，
故的周期为4，所以.
由，令，得，即
已知，由函数的图象关于直线对称，
得.
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，所以④，
联立③④解得，，
故当时，.
由的图象关于点对称，
可得.
8.命题角度：本题考查正方体的截面问题，要求考生能根据几何体的性质，结合直观想象能力求解几何体的动态问题.
参考答案★★★★★
参考答案A
解题分析与平面平行的平面且截面是六边形时满足条件，如图所示，
正方体边长为1，即
设，则
，
同理可得六边形其他相邻两边的和均为，
六边形的周长为定值，
正三角形的面积为.
当均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大，截面面积为，
截面从平移到的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故可得周长为定值，面积不为定值.
9.命题角度：本题考查球体，要求考生能根据三棱锥外接球的结构特征求解相关问题.
参考答案★★★★
参考答案ACD
解题分析易知的外接圆圆心为，连接，
，
由为的中点，知.由点为的外心，知.
在中，，则，A项正确；
由球的半径为3，知，，项错误，项正确；
由平面平面，可得，
则在Rt中，，D项正确.
思路点拨本题的解题关键是根据题设及外接球性质找到线面角位置.
10.命题角度：本题考查三角函数的概念和三角
恒等变换，要求考生熟悉角的定义，熟练使用公式进行三角恒等变换.
参考答案★★★★★
参考答案ACD
解题分析若是第二象限角或第三象限
角，则.
若，取，此时
不是第二象限角或第三象限角，
则是的充分不必要条件，故A项正确；
由于为第一象限角，则，
，
故B项错误，
在中，若
，
故，所以，
故为锐角三角形，故C项正确；
由，
所以，则，
由，知，故D项正确.
11.命题角度：本题考查双曲线，要求考生了解双曲线的性质，能结合双曲线的性质解决相关问题.
参考答案★★★★★
参考答案BCD
解题分析点到渐近线的距离为1，故项错误；
若为双曲线的左焦点，又点在平行四边形上，则根据对称性知点也在
平行四边形上，且，所以，故B项正确；
由双曲线的渐近线方程为，
若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，当其值为，
则平行四边形各对应边所在直线与双曲线不可能有四个交点，故C项正确；
如上图，设直线，
联立双曲线方程得，且，所以，
则，
由对称性知，则点到直线的距离，
所以，令，
则，
又在上单调递减，
故在上单调递增，
所以，故D项正确.
12.命题角度：本题考查复数的运算，要求考生了解复数的概念，了解复数的模的概念.
考查热度★★★★★
参考答案
解题分析设，则.
因为，所以.
易得解得所以，所以.
13.命题角度：本题考查对数函数的应用，要求考生能从实际背景中抽象出函数模型，并能计算简单的函数不等式.
考查热度★★★★★
参考答案31
解题分析依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为米，
经过天后，剩余的长度米，
由，得，
两边同时取对数，得，而，则，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离.
14.命题角度：本题考查导数的综合应用，要求考生能通过构造函数的方法求解不等式恒成立问题.
考查热度★★★★★
参考答案
解题分析，即，
令，则.
设，其中，
则，令，得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，又，
所以存在，使得，
所以若，则或，即0或，
，所以在上，
单调递增，在上，单调递减，
所以，所以只有才能满足要求，
即，又，解得，所以正实数的最大值为.
【规律方法】函数隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数.
第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
15.命题角度：本题考查解三角形，要求考生利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及余弦定理运算求解.
考查热度★★★★★
解题分析（1）因为，
由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，所以.
（2）易知，因为.所以，
由余弦定理，得.
又因为，所以代入得，
所以，
所以.
又因为，所以，
所以的周长为.
16.命题角度：本题考查空间向量在立体几何中的应用，要求考生会利用线面平行的判定定理证明线面平行，会利用空间向量的方法求解平面与平面的夹角问题.
考查热度★★★★★
解题分析（1）取的中点，连接，如图所示，
因为为的中点，所以.
在等腰梯形中，，
所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面..
（2）以直线，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高为.
因为，
则，，
所以.
设平面的法向量为，则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面的夹角为，
则.
17.命题角度：本题考查导数的综合应用，要求考生能求函数的极值，会利用导数求解函数的零点问题.
考查热度★★★★★
解题分析（1）当时，R），所以，
令，则，
所以，
当时，，当时，
，所以的极小值为，无极大值.
（2）函数在上仅有两个零点，
令，则问题等价于在，上仅有两个零点，
易知，因为，所以.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在，上没有零点，不符合题意；
②当时，令，得，所以在上，，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.因为在上有两个零点，所以，所以.
因为，
令，则，
所以在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，
即当时，在上仅有两个零点.
综上，实数的取值范围是.（另解：利用与两函数图象的交点个数进行判断）
【规律总结】求解函数单调区间的步骤：
（1）确定的定义域.（2）计算导数.
（3）求出的根.（4）用的根将的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.，则在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；，则在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
18.命题角度：本题考查椭圆的定点问题，要求考生熟悉椭圆的基本概念与性质，能通过联立方程的方法求解椭圆的定点问题.
考查热度★★★★★
解题分析（1）由题可得，的中点为
故椭圆的方程为.
（2）依题意可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
由消去并化简，
得，
设，
则，
由，得.
依题意可知直线的斜率存在，
直线的方程为，
令，得
，
同理可求得，
，
线段的中点为定点.
【压轴导航】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点的坐标，进而证得线段的中点为定点.
19.命题角度：本题考查概率，要求考生能从实际背景中抽象出数据，通过分类讨论的方法和概率相关知识求解问题，会求解随机变量的分布列及期望.
考查热度★★★★★
解题分析（1）在剩下的三场比赛中：
若与比赛平局，则积分各加1分，
都高于的积分，淘汰；
若与比赛平局，则与比赛的结果无论如何，
都有两队的积分高于淘汰；若与比赛平局，
则同理可得一定会淘汰.综上，若要出线，则剩下的三场比赛不可能出现平局.
若与比赛，胜，与比赛，胜，与比赛，胜，则出线，争夺第二名，出线的概率为.若与比赛，胜，与比赛，胜，与比赛，胜，则出线，争夺第二名，出线的概率为.
其他情况，均淘汰.
故球队最终出线的概率为.
（2）前三场比赛中球队的积分之和为6.
剩下的三场比赛为与比赛，与比赛，与比赛，其中与比赛的结果与球队的积分之和无关.
若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为3，则，其概率为.
若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为1，则，其概率为.
若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为0，则，其概率为.
若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为3，则，其概率为.
若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为1，则，其概率为.
若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为0，则，其概率为.
的分布列为
.
【解题思路】本题关键是根据比赛规则讨论各队得分情况，分类求解；注意各种情况考虑全面，做到不多不漏.题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
B
D
B
D
A
A
ACD
ACD
BCD
-1
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
8
9
10
11
12