2024宜宾高三下学期三模试题数学（理）含答案

这是一份2024宜宾高三下学期三模试题数学（理）含答案，共11页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，在的展开式中，含x项的系数是，若，则，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 全卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1．已知集合，，若，则（ ）
A．0B．0或―2C．0或2D．2或―2
2．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
A．a的值为0.005B．估计这组数据的众数为75分
C．估计成绩低于60分的有250人D．估计这组数据的中位数为分
3．下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知虚数z满足，且是z的共轭复数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A．―2B．1C．―1D．e
6．在的展开式中，含x项的系数是（ ）
A．―180B．―90C．90D．180
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正四棱锥的所有棱长均为4，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6门课，分别为篮球、足球、排球、网球、羽毛球、乒乓球，甲、乙两名学生准备从中各选择2门课学习，则甲、乙选修的课中至少有1门相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切于点A，B，则面积的最小值是（ ）
A．6B．9C．12D．18
11．定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．已知E，F分别是棱长为2的正四面体ABCD的对棱AD，BC的中点.过EF的平面与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形，则正确的选项是（ ）
①截面多边形可能是三角形或四边形．
②截面多边形周长的取值范围是．
③截面多边形面积的取值范围是．
④当截面多边形是一个面积为的四边形时，四边形的对角线互相垂直．
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则的最小值为______．
14．已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足，，成等比数列，则数列前6项的和为______．
15．已知，为双曲线C：（，）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为．若有最大值，则双曲线C的离心率的取值范围是______．
16．已知点O，A，B在同一平面内且A为定点，，，C，D分别是点B轨迹上的点且，则的最大值与最小值之和是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必做题：共60分．
17．（12分）
某地为调查年龄在35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35―50岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：
（1）根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35―50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？
（2）用样本估计总体，从该地年龄在35―50岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超过2小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：，．
18.（12分）
已知数列满足，，（）．
（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，若对于任意恒成立，求实数m的取值范围．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上．
（1）若，求证：；
（2）若F是AB上靠近点B的三等分点，求平面DEF与平面DPA所成的锐二面角的余弦值．
20．（12分）
已知椭圆E：的左右焦点分别为，，P是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点．
（1）求的值；
（2）是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（，，，分别为直线OA，OB，OC，OD的斜率）
21．（12分）
已知函数，．
（1）求过原点的切线方程；
（2）求证：存在，使得在区间内恒成立，且在内有解．
（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（10分）［选修4-4：坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系中，过点的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（）．直线l与曲线C相交于M，N两点．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若，，成等比数列，求实数a的值．
23．（10分）［选修4-5：不等式选讲］
已知函数．
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
理科数学参考答案
13．514．―2415．16．12
16．解析：根据，，可得
∴，∴B点轨迹是以A为圆心，半径为2的圆．
取BC的中点E，连接BD，CD，AE，DEOD，
则，
又，
所以，，
即，
所以，．
故的最大值与最小值之和是12．
17．解：（1）由．
知：有99%把握认为该地35-50岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关．
（2）由已知得，，
，，
，，
所以随机变量X的分布列为：
所以
18．解：（1）由题可知：，且，
故是首项为2，公比为2的等比数列，，
（2），，
，且当n趋于时，趋近于1，
所以由恒成立，可知，解得
19．（1）证明：在正方形ABCD中，，又，∴
在中，点E为线段PC的中点，，DE平分，
在中，，
过E作交CD于H，连接FH，则，
在正方形ABCD中，，∴四边形AFHD是矩形，
∴，又，
∴平面EFH，又平面EFH，∴．
（2）∵，，∴，
在正方形ABCD中，，而，平面PCD，
又平面ABCD，∴平面平面PCD，
过D作交PC于点G，由平面平面PCD得，平面ABCD，
故DA，DC，DG两两互相垂直，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
由（1）知：，，∴，
F是AB上靠近点B的三等分点，∴，∴，
故，，
设平面DEF的法向量，
故，取，故，
平面DEF的一个法向量，
同理：设平面ADP的法向量，
，取，故，，
平面ADP的一个法向量，
设平面DEF与平面DPA所成的锐二面角的平面角为，
则
故平面DEF与平面DPA所成的锐二面角的余弦值为
20．解：（1）由已知，，设，（），
∴，，
（2）由题意知直线：，与椭圆方程联立，
消元得，
同理可得，
所以，即．
由（1）知，所以，令点，，解得
∴存在或满足题意．
21．证明：（Ⅰ），，设切点
切线方程：
切线过原点，解得
∴切线方程：
（Ⅱ）∴
，当时，，则，
即在单调递增．
且，．
唯一使得∴①．
∴在上单调递减，上单调递增．
∴满足在区间内有唯一解只需满足即可．
，将①带入化简得：
即
得（舍），
则，此时①变形为
不妨设，
显然在上单调递增．，．
∴，则结论得证
22．（1）∵，∴曲线C的直角坐标方程为（），
直线l的普通方程为：．
（2）将直线l的参数方程（t为参数）
代入曲线C的直角坐标方程得：
恒成立．（）
设交点M，N对应的参数分别为，．则，
若、、成等比数列，则
即：
解得或（舍）所以满足条件的
23．（1）因为，
当时，，此时；
当时，，此时，即；
当时，，此时；
综上，的最小值为
（2）记，作出与的大致图象，要使恒成立，
则只需当函数的图象过点或时，为临界情况（如图），
由，得或（舍去），
由，得或（舍去），
所以，即实数a的取值范围为．
女性
男性
每周运动超过2小时
60
80
每周运动不超过2小时
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
D
A
B
A
C
C
B
B
D
X
0
1
2
3
P