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2024届重庆市康德卷普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测数学试题
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这是一份2024届重庆市康德卷普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测数学试题，文件包含2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测数学试卷docx、数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xx²−1=0集合B=a+1,a−1,3,若A⊆B，则a=
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.设复数z满足2z−iz=1,则z的虚部为
A.13 B.−13 C.3 D.−3
3.已知一种服装的销售量y(单位：百件)与第x周的一组相关数据统计如下表所示，若两变量x，y的经验回归方程为y=−1.3x+7.9，则a=
A.2 B.3 C.4 D.5
4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为
A.2π B.2π C.22π D.4π
5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人做样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为
A.C240040 B.C240024 C.C240012 ?.C240010
6.已知f(x)是定义域为R的奇函数且满足f(x)+f(2-x)=0，则f(20)=
A.-1 B.0 C.1 D.±1
7.当点P−10到直线l:3λ+1x+λ+1y−4λ+2=0的距离最大时，实数λ的值为
A.-1 B.1 C.-2 D.2
8.已知α∈0π3，且2sin2α=4csα−3cs³α，则cs2α=
A.29 ?.13 C.79 D.223
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9.命题“存在x>0，使得mx²+2x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是
A.m>-2 B.m>-1 C.m>0 D.m>1
10.已知双曲线C：x²−2y²=λλ≠0，则其离心率可能为
A.2 B.3 C.2 D.62
11.若函数fx=alnx−2x²+bx既有极小值又有极大值，则
A.ab<0 B.a<0 C.b²+16a>0 D.|a-b|<4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若BE=2CE，则AE⋅CE=_________
13.已知b>a>0，lg₄a+lg₂b=1，且|lga|=|lgb|，则a+b=_________
14.已知棱长为1的正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁内有一个动点M，满足MA=MD₁，且MB=1，则四棱锥M−ADD₁A₁体积的最小值为_________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知函数fx=exx+a.
(1)当a=1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间0+∞上单调递增，求实数a的取值范围.
16.(15分)
已知函数fx=3sin2ωx+π3 (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且fA=32，AB⋅AC=23，a=5，求该三角形的周长.
17.(15分)
我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于70%.某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声(单位：分贝)和热效率的频率分布直方图如下图所示：
假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率.
(1)求a，b的值；
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于90%的概率；
(3)当x∈90100，设供暖器的噪声不超过x−502(分贝)的概率为p₁，供暖器的热效率不低于x%的概率为p₂，求p₁+p₂的取值范围.
18.(17分)
设圆D：x²+y²+2x−88=0与抛物线C：y²=2px(p＞0)交于E，F两点，已知||EF|=16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：4x+3y−16=0与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，动点M(异于点A，B)在抛物线C上，连接MB，过点A作AN//MB交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
②△PAB面积的取值范围.
19.(17分)
已知n≥4且n∈N∗，设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上.dAB表示点A，B间的距离，记集合τS=dAB|∀AB∈SA≠B.
(1)若四面体ABCD满足：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1.
①求二面角C-AD-B的余弦值;
②若S=A,B,C,D，求τ(S).
(2)证明：4cardτS≥n−1.
参考公式：x12+x22+⋯+xn2≥1nx1+x2+⋯+xn2x
1
2
3
4
5
y
6
6
a
3
1
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xx²−1=0集合B=a+1,a−1,3,若A⊆B，则a=
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.设复数z满足2z−iz=1,则z的虚部为
A.13 B.−13 C.3 D.−3
3.已知一种服装的销售量y(单位：百件)与第x周的一组相关数据统计如下表所示，若两变量x，y的经验回归方程为y=−1.3x+7.9，则a=
A.2 B.3 C.4 D.5
4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为π4，则该圆锥的侧面积为
A.2π B.2π C.22π D.4π
5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人做样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为
A.C240040 B.C240024 C.C240012 ?.C240010
6.已知f(x)是定义域为R的奇函数且满足f(x)+f(2-x)=0，则f(20)=
A.-1 B.0 C.1 D.±1
7.当点P−10到直线l:3λ+1x+λ+1y−4λ+2=0的距离最大时，实数λ的值为
A.-1 B.1 C.-2 D.2
8.已知α∈0π3，且2sin2α=4csα−3cs³α，则cs2α=
A.29 ?.13 C.79 D.223
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9.命题“存在x>0，使得mx²+2x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是
A.m>-2 B.m>-1 C.m>0 D.m>1
10.已知双曲线C：x²−2y²=λλ≠0，则其离心率可能为
A.2 B.3 C.2 D.62
11.若函数fx=alnx−2x²+bx既有极小值又有极大值，则
A.ab<0 B.a<0 C.b²+16a>0 D.|a-b|<4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若BE=2CE，则AE⋅CE=_________
13.已知b>a>0，lg₄a+lg₂b=1，且|lga|=|lgb|，则a+b=_________
14.已知棱长为1的正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁内有一个动点M，满足MA=MD₁，且MB=1，则四棱锥M−ADD₁A₁体积的最小值为_________
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知函数fx=exx+a.
(1)当a=1时，求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间0+∞上单调递增，求实数a的取值范围.
16.(15分)
已知函数fx=3sin2ωx+π3 (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且fA=32，AB⋅AC=23，a=5，求该三角形的周长.
17.(15分)
我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于70%.某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声(单位：分贝)和热效率的频率分布直方图如下图所示：
假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率.
(1)求a，b的值；
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于90%的概率；
(3)当x∈90100，设供暖器的噪声不超过x−502(分贝)的概率为p₁，供暖器的热效率不低于x%的概率为p₂，求p₁+p₂的取值范围.
18.(17分)
设圆D：x²+y²+2x−88=0与抛物线C：y²=2px(p＞0)交于E，F两点，已知||EF|=16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：4x+3y−16=0与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，动点M(异于点A，B)在抛物线C上，连接MB，过点A作AN//MB交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
②△PAB面积的取值范围.
19.(17分)
已知n≥4且n∈N∗，设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上.dAB表示点A，B间的距离，记集合τS=dAB|∀AB∈SA≠B.
(1)若四面体ABCD满足：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1.
①求二面角C-AD-B的余弦值;
②若S=A,B,C,D，求τ(S).
(2)证明：4cardτS≥n−1.
参考公式：x12+x22+⋯+xn2≥1nx1+x2+⋯+xn2x
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4
5
y
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6
a
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