2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区公益中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区公益中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，直线与∠1的一边相交得∠2，则∠1与∠2是( )
A. 对顶角
B. 同旁内角
C. 内错角
D. 同位角
2.下列运算正确的是( )
A. a4+a5=a9B. a3⋅a3⋅a3=3a3C. 2a4×3a5=6a9D. (−a3)4=a7
3.如图所示，在图形B到图形A的变化过程中，下列描述正确的是( )
A. 向上平移2个单位，向左平移4个单位
B. 向上平移1个单位，向左平移4个单位
C. 向上平移2个单位，向左平移5个单位
D. 向上平移1个单位，向左平移5个单位
4.用科学记数法表示0.0000907，得( )
A. 9.07×10−4B. 9.07×10−5C. 9.07×10−6D. 9.07×10−7
5.如果3xm+1+5yn−2=0是关于x、y的二元一次方程，那么( )
A. m=0n=1B. m=1n=1C. m=0n=3D. m=1n=3
6.多项式3a2b3c2+4a5b2+6a3bc2的各项公因式是( )
A. a2bcB. 12a5b3c2C. 12a2bcD. a2b
7.一个多项式加上3y2−2y−5得到多项式5y3−4y−6，则原来的多项式为( )
A. 5y3+3y2+2y−1B. 5y3−3y2−2y−6
C. 5y3+3y2−2y−1D. 5y3−3y2−2y−1
8.下列说法正确的是( )
A. 同位角相等
B. 一条直线有无数条平行线
C. 在同一平面内，两条不相交的线段是平行线
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
9.使(x2+px+8)(x2−3x+q)乘积中不含x2和x3项的p，q的值分别是( )
A. p=3，q=1B. p=−3，q=−9
C. p=0，q=0D. p=−3，q=1
10.某市在“五水共治”中新建成一个污水处理厂．已知该厂库池中存有待处理的污水a吨，另有从城区流入库池的待处理污水(新流入污水按每小时b吨的定流量增加).若污水处理厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组．需15小时处理完污水．现要求用5个小时将污水处理完毕，则需同时开动的机组数为( )
A. 4台B. 5台C. 6台D. 7台
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：12a2b÷(3a)= ______．
12.如果把方程x+3y=2写成用含x的代数式表示y的形式，那么y= ______．
13.若a2+2a−2=0，则(a+1)2= ______．
14.已知2m=a，16n=b，m，n均为正整数，则22m+4n= ______.(用含a，b的代数式表示)．
15.已知(x−1)x+1=1，则满足条件的所有x的值为______．
16.已知，如图，AB//DC，AF平分∠BAE，DF平分∠CDE，且∠AFD比∠AED的2倍多30°，则∠AED= ______度.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程组．
(1)y=2x−43x+y=1；
(2)x−13+y+22=1x−16=y+22．
18.(本小题6分)
分解因式：
(1)3x2−3；
(2)2(a−b)−3x(a−b)．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(y+3x)(y−3x)−3x(y−3x)，其中x=−1，y=2．
20.(本小题8分)
如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，C′E交AF于点G，H为BE上一点，连结GH，∠C′GH=∠D′FE．
(1)请说明GH//EF的理由；
(2)若∠D′FA=α，求∠HGE的度数.(用含α的代数式表示)
21.(本小题10分)
已知M=(a−2b)(−a+2b)−(−a−2b)(−a+2b)
(1)设b=ma，是否存在实数m，使得M能化简为2a2，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由；
(2)若N=8(a−b)，且M−N的值与b无关，求M−N的值．
22.(本小题10分)
如图，已知AB/​/CD，点E是直线AB、CD之间的任意一点．锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F.CD与FB交于点N．
(1)当∠ECD=60°和∠ABE=100°时，求∠F的度数；
(2)若BF/​/CE，∠F=α，求∠ABE的度数(用含α的代数式表示)．
23.(本小题12分)
【阅读理解】在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．

(1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：______，利用等式解决问题：若x+y=8，x2+y2=40，则xy的值为______；
(2)【拓展探究】若(4−x)(5−x)=8，求(4−x)2+(5−x)2的值；
(3)【实际运用】如图3，将正方形EFGH与正方形ABCD叠放，重叠部分LFKD是一个长方形，AL=8，CK=12.沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．
24.(本小题12分)
根据以下素材，完成任务．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵直线与∠1的一边相交得∠2，
∴∠1与∠2是同位角．
故选：D．
【分析】根据对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可．
此题主要考查了对顶角，同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是掌握对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义．
2.【答案】C
【解析】解：A.a4与a5不是同类项，不能加减，故选项A运算错误；
B.a3⋅a3⋅a3=a9≠3a3，故选项B运算错误；
C.2a4×3a5=6a9，故选项C运算正确；
D.(−a3)4=a12≠a7，故选项D运算错误．
故选：C．
利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、单项式乘单项式法则、幂的乘方法则逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握幂的运算法则是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：观察图形可得：将图形B向上平移1个单位，再向左平移4个单位得到图形A．
故选：B．
根据题意，结合图形，由平移的概念求解．
本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后物体的位置．
4.【答案】B
【解析】解：0.000 0907=9.07×10−5．
故选B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
5.【答案】C
【解析】解：∵3xm+1+5yn−2=0是关于x、y的二元一次方程，
∴m+1=1n−2=1，
解得m=0n=3，
故选：C．
【分析】根据二元一次方程的定义可得到关于m、n的方程，可求得答案．
本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的未知项的次数为1是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：多项式3a2b3c2+4a5b2+6a3bc2的各项公因式是a2b.
所以选D．
多项式的公因式的系数是指多项式中各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的最低次幂．
本题属于基础题型，注意一个多项式的各项都含有的公共因式是这个多项式的公因式．
7.【答案】D
【解析】解：(5y3−4y−6)−(3y2−2y−5)=5y3−3y2−2y−1．
故选D．
根据题意：已知和与其中一个加数，求另一个加数．列式表示另一个加数，再计算．
整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项．此题列式时注意括号的运用．
8.【答案】B
【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、一条直线有无数条平行线，原说法正确，故此选项符合题意；
C、在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据同位角的定义、平行线的性质，平行公理逐个判断即可．
本题考查了平行线的性质，平行公理，掌握平行线的性质和判定，平行公理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：原式=x4+(−3+p)x3+(q−3p+8)x2+(pq−24)x+8q，
∵(x2+px+8)(x2−3x+q)乘积中不含x2和x3项，
∴−3+p=0，q−3p+8=0，
∴p=3，q=1，
故选：A．
先根据多项式乘以多项式把(x2+px+8)(x2−3x+q)展开，再合并同类项，让含x2和x3项的系数为0即可．
本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：设1台机组每小时处理污水v吨，要在5小时内处理完污水，至少需开动x台机组，
则a+30b=2×30va+15b=3×15va+5b≤5xv．
解得a=30vb=v．
将其代入得x≥a+5b5v=30v+5v5v=7．
答：要在5小时内处理完污水，至少需同时开动7台机组．
故选：D．
设1台机组每小时处理污水v吨，要在5小时内处理完污水，至少需开动x台机组，根据题意列出方程组，将求得的值再代入不等式，求不等式的解集即可．
本题考查的是用一元一次不等式来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键．
11.【答案】4ab
【解析】解：12a2b÷3a=4ab，
故答案为：4ab．
利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案．
本题考查了整式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的法则是解决问题的关键．
12.【答案】2−x3
【解析】解：方程x+3y=2，
3y=2−x，
解得：y=2−x3．
故答案为：2−x3．
把x看作已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
13.【答案】3
【解析】解：因为a2+2a−2=0，
所以a2+2a=2，
所以a2+2a+1=3，
所以(a+1)2=3．
故答案为：3．
把a2+2a−2=0配方求出(a+1)2的值即可．
本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式并灵活运用公式是解题关键．
14.【答案】a2b
【解析】解：当2m=a，16n=b时，
22m+4n
=22m×24n
=(2m)2×16n
=a2b.
故答案为：a2b.
利用幂的乘方的法则与同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15.【答案】x=2或0或−1
【解析】解：若x−1=1时，
则x=2，
原式成立，
若x−1=−1时，
则x=0，
原式成立，
若x+1=0时，
则x=−1，
原式成立，
综上所述，x=2或0或−1．
故答案为：x=2或0或−1．
根据x−1=1、x−1=−1、x+1=0三种情况进行分类讨论即可得出答案．
本题主要考查零指数幂及有理数的乘法，分类讨论是解题的关键．
16.【答案】60
【解析】解：过E作EM/​/AB，过F作FN/​/AB，
∴EM/​/CD，FN/​/CD，
∴∠AEM+∠BAE=180°，∠MED+CDE=180°，∠AFN=∠BAF，∠DFN=∠CDF，
∴∠AEM+∠MED°，∠AFN+∠DFN=∠BAF+∠CDF，
∴∠AED+∠BAE+∠CDE=360°，∠AFD=∠BAF+∠CDF，
∵AF平分∠BAE，DF平分∠CDE，
∴∠BAE=2∠BAF，∠CDE=2∠CDF，
∴∠AED+2(∠BAF+∠CDF)=360°，
∴∠AED+2∠AFD=360°，
∵∠AFD比∠AED的2倍多30°，
∴∠AED+2(2∠AED+30°)=360°，
∴∠AED=60°．
故答案为：60．
过E作EM/​/AB，过F作FN/​/AB，得到EM/​/CD，FN/​/CD，推出∠AED+∠BAE+∠CDE=360°，∠AFD=∠BAF+∠CDF，由角平分线定义推出∠AED+2∠AFD=360°，于是得到∠AED+2(2∠AED+30°)=360°，即可求出∠AED的度数．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠AED+∠BAE+∠CDE=360°，∠AFD=∠BAF+∠CDF，由角平分线定义得到∠AED+2∠AFD=360°．
17.【答案】解：(1)y=2x−4①3x+y=1②，
把①代入②得：3x+2x−4=1，
解得：x=1，
把y=1代入①得：y=−2，
则方程组的解为x=1y=−2；
(2)原方程组整理，得2x+3y=2①x−3y=7②，
①+②得：3x=9，
解得：x=3，
把x=3代入①得：6+3y=2，
解得：y=−43，
则方程组的解为x=3y=−43．
【解析】(1)方程组利用代入消元法求出解即可；
(2)方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18.【答案】解：(1)3x2−3
=3(x2−1)
=3(x+1)(x−1)；
(2)2(a−b)−3x(a−b)=(a−b)(2−3x)．
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(2)利用提公因式法进行分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19.【答案】解：(y+3x)(y−3x)−3x(y−3x)
=y2−(3x)2−(3xy−9x2)
=y2−9x2−3xy+9x2
=y2−3xy，
当x=−1，y=2时，原式=22−3×(−1)×2=10．
【解析】先利用平方差公式、单项式乘多项式法则计算，再去括号，合并同类项即可将式子化简，最后把x，y的值代入即可求解．
本题主要考查整式的混合运算−化简求值、平方差公式，熟练掌握整式的混合运算法则和运算顺序是解题关键．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是长方形，
∴DF/​/CE，
∴D′F//C′E，
∴∠D′FA=∠C′GA，
∵∠C′GH=∠D′FE，
∴∠C′GH−∠C′GA=∠D′FE−∠D′FA，
∴∠AGH=∠AFE，
∴GH//FE；
(2)∵D′F//C′E，∠D′FA=α，
∴∠D′FA=∠FGE=α，
∵AF/​/BC，
∴∠AFE=∠FEC，
由折叠得：∠FEC=∠FEG，
∴∠AFE=∠FEG=12(180°−∠FGE)=180°−α2=90°−12α，
∵GH/​/EF，
∴∠HGE=∠FEG=90°−12α，
∴∠HGE的度数为90°−12α.
【解析】(1)根据长方形的性质可得DF/​/CE，从而可得D′F//C′E，然后利用平行线的性质可得∠D′FA=∠C′GA，从而利用等式的性质可得∠AGH=∠AFE，最后利用平行线的判定即可解答；
(2)先利用平行线的性质可得∠D′FA=∠FGE=α，∠AFE=∠FEC，再利用折叠的性质可得∠FEC=∠FEG，然后利用等量代换以及三角形内角和定理可得∠AFE=∠FEG=90°−12α，最后利用平行线的性质可得∠HGE=∠FEG=90°−12α，即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行线的判定与性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
21.【答案】解：(1)M=−a2+4ab−4b2−a2+4b2=−2a2+4ab，
把b=am代入得：M=−2a2+4ma2=2a2，即−2+4m=2，
解得：m=1，
则M能化简为2a2，此时m=1；
(2)∵N=8(a−b)，
∴M−N=−2a2+4ab−8a+8b=−2a2+(4a+8)b−8a，
由M−N的值与b无关，得到4a+8=0，即a=−2，
则原式=−8+16=8．
【解析】(1)M利用平方差公式及完全平方公式化简，根据题意判断即可；
(2)把M与N代入M−N中，去括号合并后，根据结果与b无关，确定出所求即可．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
22.【答案】解：如图，过点F作FH//CD，
∵锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F，∠ECD=60°，∠ABE=100°，
∴∠DCM=∠ECM=30°，∠ABN=∠EBN=50°，
∵AB/​/CD，FH//CD，
∴FH//AB，
∴∠HFB=∠ABN=50°，∠HFC=∠DCM=30°，
∴∠BFC=20°．
(2)如图，
∵BF/​/CE，
∴∠ECM=∠BFM=α，
∴∠DCE=∠DNB=2α，
∵AB/​/CD
∴∠ABN=∠DNB=2α，
∴∠ABE=4α．
【解析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
(1)过点F作FH//CD，由角平分线的定义可得∠DCM=∠ECM=30°，∠ABN=∠EBN=50°，由平行的传递可得，FH/​/AB，所以∠HFB=∠ABN=50°，∠HFC=∠DCM=30°，则∠BFC=20°．
(2)由BF/​/CE，可得∠ECM=∠BFM=α，所以∠DCE=∠DNB=2α，因为AB/​/CD所以∠ABN=∠BNC=2α，结合角平分线的定义可知，∠ABE=4α．
23.【答案】x2+y2=(x+y)2−2xy 12
【解析】解：(1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：x2+y2=(x+y)2−2xy，
∵x+y=8，x2+y2=40，x2+y2=(x+y)2−2xy，
∴40=82−2xy，
2xy=64−40，
2xy=24，
xy=12，
故答案为：x2+y2=(x+y)2−2xy，12；
(2)设4−x=a，5−x=b，
∴a−b=(4−x)−(5−x)=4−x−5+x=−1，
∵(4−x)(5−x)=8，
∴ab=8，
∴(4−x)2+(5−x)2=a2+b2
=(a−b)2+2ab
=(−1)2+2×8
=1+16
=17，
即(4−x)2+(5−x)2=17；
(3)设正方形ABCD的边长为x，
∵AL=8，CK=12，
∴LD=AD−AL=x−8，DK=CD−CK=x−12，
设x−8=a，x−12=b，
∴a−b=x−8−(x−12)=4，
∵四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，
∴LD2+DK2=400，
∴a2+b2=400，
∴2ab=(a2+b2)−(a−b)2
=400−42
=400−16
=384，
∴ab=192，
∴长方形NDMH的面积为192．
(1)利用面积法可得：x2+y2=(x+y)2−2xy，然后进行计算即可解答；
(2)设4−x=a，5−x=b，则a−b=−1，ab=8，然后利用完全平方公式进行计算即可解答；
(3)设正方形ABCD的边长为x，从而可得LD=x−8，DK=x−12，然后设x−8=a，x−12=b，则a−b=4，a2+b2=400，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式的几何背景，完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24.【答案】解：(任务1)设租用甲型挖掘机x台，乙型挖掘机y台，
根据题意得：x+y=8160x+240y=1760,
解得：x=2y=6．
答：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台；
(任务2)设租用甲型挖掘机m台，乙型挖掘机n台，
根据题意得：160m+240n=1760，
∴m=11−32n.
又∵m，n均为正整数，
∴m=8n=2或m=5n=4或m=2n=6,
∴共有3种租用方案，
方案1：租用8台甲型挖掘机，2台乙型挖据机；
方案2：租用5台甲型挖掘机，4台乙型挖据机；
方案3：租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖据机；
(任务3)(w−95)．
【解析】解：(任务1)见答案；
(任务2)见答案；
(任务3)当m=8，n=2时，所需租金为190×8+260×2=2040(元)；
当m=5，n=4时，所需租金为190×5+260×4=1990(元)；
当m=2，n=6时，所需租金为190×2+260×6=1940(元)．
∵1940<1990<2040，
∴租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖掘机时租金最少；
所需弹簧数量为2×(2+6)+1=17(根)，
所需钢球数量为1×(2+6)+1=9(颗)，
设弹簧的单价为a元，钢球的单价为b元，
根据题意得：w=20a+15b−25w=19a+13b+15,
∴20a+15b−25=19a+13b+15，
∴a+2b=40，
17a+9b=(19a+13b)−2a−4b=(w−15)−2(a+2b)=w−15−2×40=(w−95)(元)．
∴实际保养费用为(w−95)元．
故答案为：(w−95)．
(任务1)设租用甲型挖掘机x台，乙型挖掘机y台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(任务2)设租用甲型挖掘机m台，乙型挖掘机n台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租用方案；
(任务3)求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为a元，钢球的单价为b元，根据“购买20根弹簧和15颗钢球，保养费用w还缺25元；购买19根弹簧和13颗钢球，保养费用w还剩15元”，可得出关于a，b的二元一次方程组(此处将w看成常数)，解之可得出a+2b=40，将其代入17a+9b=(19a+13b)−2a−4b=(w−15)−2(a+2b)中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组(或二元一次方程)是解题的关键．解决挖掘机的租用和保养问题
素材1
“迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造.施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方1760m3，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表：
型号
挖掘土石方量(单位：m3/台·时)
租金(单位：元/台·时)
甲型
160
190
乙型
240
260
素材2
为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换.现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还缺25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元．
问题解决
任务1
制定租用计划
若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量.甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？
任务2
探究租用方案
若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？
任务3
确定保养费用
基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为______元(用含w的代数式表示)．