江西省吉安市第一中学2024届高三下学期一模数学试卷(含答案)

这是一份江西省吉安市第一中学2024届高三下学期一模数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
3．若互不相等的正数a，b，c满足，则，，成等比数列( )
A.，，成等差数列B.，，成等比数列
C.a，b，c成等比数列D.
4．双曲线的离心率e的可能取值为( )
A.B.C.D.2
5．已知函数，若的值域是，则c的值为( )
A.B.eC.D.
6．在中，“是正三角形”是“A，B，C成等差数列且，，成等比数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武功山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为( )
A.564B.484C.386D.640
8．如图，在棱长为的正方体中，点E，F在线段BD上，点H，G分别在线段AD，AB上，且，，，动点P在平面内.若PH，PG与平面所成的角相等，则BP的最小值是( )
A.B.C.5D.
二、多项选择题
9．已知复数满足，则( )
A.B.
C.D.
10．已知，，且，则( )
A.的最大值为2B.可能为3
C.的最大值为2D.的最小值为
11．已知O为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过C的焦点F的直线交C于A，B两点，则下列选项正确的是( )
A.过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条
B.当时
C.为钝角三角形
D.的最小值为
三、填空题
12．将函数图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为__________.
13．用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则__________.
14．已知向量，，满足，，，，则的最大值为__________.
四、解答题
15．如图，C，D分别是直径的半圆O上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）在弧上是否存在一点F，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点F到平面的距离；若不存在，说明理由.
16．某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析.运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示.
（1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率.
（2）当甲出场比赛时，求该运动队在四场比赛中（每场比赛相互独立）至少获胜2场的概率.
（3）如果你是教练员，将如何安排运动员甲比赛时的位置？并说明理由.
17．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值
18．已知T是上的动点（A点是圆心）.定点，线段TB的中垂线交直线TA于点P.
（1）求P点轨迹；
（2）已知直线l的方程，过点B的直线（不与x轴重合）与曲线相交于M，N两点，过点M作，垂足为D.
①求证：直线ND过定点E，并求出定点E的坐标；
②点O为坐标原点，求面积的最大值.
19．已知数列的前n项和为，满足；数列满足，其中.
（1）求数列，的通项公式；
（2）对于给定的正整数，在和之间插入i个数，，…，使，，，…，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数m，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：解不等式可得，
由指数函数的值域可得，
故选：D.
2．答案：A
解析：设为单位向量，，当，的夹角为时，
所以在上的投影向量为.
故选：A.
3．答案：D
解析：
4．答案：A
解析：由，得到或，
当时，，
当，双曲线，
，
所以，
故选：A.
5．答案：C
解析：
6．答案：C
解析：在中，由A，B，C成等差数列，得，而，则，
由，，成等比数列，得，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形；
若是正三角形，则，，
因此A，B，C成等差数列且，，成等比数列，
所以“是正三角形”是“A，B，C成等差数列且，，”成等比数列的充要条件.
故选：C.
7．答案：A
解析：8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.
第一种情况分成2人，2人，4人：女生B，C去同一处景点，当B，C成2人组时，
其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A不同组，有种方法；
当B，C在4人组时，有种方法.
第二种情况分成2人，3人，3人：当B，C成2人组时，有种方法；
当B，C在3人组时，有种方法.
故这8名同学游玩行程的方法数为.
故选：A.
8．答案：B
解析：，且，.
又，且，平面.
，平面.
PH，PG与平面所成角分别为，，则.
，，且，.
又，，
在平面中，以EF为x轴，其垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，.
设，
由，可得，整理得，
点P在圆心为，半径长为的圆上，
此时BP的最小值是.
故选：B.
9．答案：BC
解析：设，由得，
即，所以，
解得或，
所以或，故选项A错误；
由，所以，
由，所以，故选项B正确；
当时，所以，，所以，
当时，所以，，所以，故选项C正确；
因为，所以，所以，故选项D错误.
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：对于A，因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，故A不正确；
对于B，因为，，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故，又，故B正确；
对于C，因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，则，故C正确；
对于D，因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：因为抛物线上一点到其准线的距离为3，所以，解得，所以抛物线C的标准方程为.
对于A，因为，当时，，故点在抛物线C的外部，显然过点与抛物线C相切的直线有2条，当过点的直线与x轴平行时，与抛物线C也仅有一个公共点，所以过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故A正确；
对于B，由抛物线C的方程可知，焦点，当直线l的斜率不存在时，，又，所以，不符合题意，所以直线l的斜率存在且不为0，设，，，，联立消去x整理得，所以，，，又，所以，解得，则，，则，故B错误；
对于C，由选项B可知，，所以，所以是钝角三角形，故C正确；
对于D，由选项B可知，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.故选ACD.
12．答案：
解析：，
的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
由题意的图象关于直线对称，
所以，所以，
又，则当时，.
故答案为：.
13．答案：6
解析：因为线性回归方程为恒过，
因为所以，
即，
，
，
，
故答案为：6.
14．答案：/
解析：设，，，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），
因，，，则，，设，
由可得：，
即，整理得：，点C在以为圆心，1为半径的圆上，
则表示点A，C的距离，即圆上的点与的距离，圆心到点A的距离为，的最大值为.
故答案为：.
15、
（1）答案：证明见解析
解析：依题意，所以，
所以、是等边三角形，
所以，所以四边形是菱形，所以，
由于平面，平面，所以平面.
由于E是的中点，O是的中点，所以，
由于平面，平面，所以平面.
由于，，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）答案：存在，
解析：设的中点为G，连接，则，
由于四边形是菱形，所以，则，
由于平面平面且交线为，平面，
所以平面，又，平面，则，，
以O为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
因为，则，，，
则，，，，
故，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，故，
易知圆O的方程为，设，，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
则，则，所以，，
故在弧上存在一点F，使得直线与平面所成角的正弦值为，
此时点F到平面的距离为.
16．答案：（1）0.6
（2）（或0.8208）
（3）应多安排甲跑第四棒，理由见解析
解析：（1）记“甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，“甲跑第三棒”为事件，“甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件B，
则，
所以当甲出场比赛时，该运动队获胜的概率为0.6.
（2）运动队获胜场数，
.
（3），
，
，
，
所以.
所以应多安排甲跑第四棒，以增加运动队获胜的概率.
17．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）1
解析：（1）因为，
当时，在上恒成立，此时在上单调递增；
当时，，得舍去，，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为对任意，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则.
设，，则在上单调递减，
因为，，
所以，使得，即.
当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
因为，所以，
故整数m的最小值为1.
18．答案：（1）
（2）①证明见解析；②
解析：（1）由中垂线的性质得，所以，
所以动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆，
设该椭圆的方程为，
则，，所以P点轨迹为.
（2）由对称性，若直线ND过定点E，则该定点E必在x轴上，
①设直线MN的方程为，
由得.
设，，，
，且，
，
直线ND的方程为，
令，得，
将代入，则，
故直线ND过定点，即定点.
②在（1）中，，
.
又直线ND过定点，
.
令，则在上单调递减，
故当，时，.
19．答案：（1），
（2）（i）；（ii）存在，
解析：（1）由①，当时，②，
得，
当时，，，
是首项为1，公比为的等比数列，故，
由③.由
得，又④.
④-③得，
的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得，，.
综上可得，.
（2）（i）在和之间新插入n个数，，…，使，，，…，，成等差数列，
设公差为，则，
则，.
⑤
则⑥
⑤-⑥得：，
所以可得.
（ii）由（1），，又，
由已知，
假设是数列或中的一项，
不妨设，，
因为，，所以，而，
所以不可能是数列中的项.
假设是中的项，则.
当时，有，即，
令，，
当时，；
当时，，
由，知无解.
当时，有，即.
所以存在使得是数列中的第3项；
又对于任意正整数均有，所以时，方程均无解；
综上可知，存在正整数使得是数列中的第3项.
比赛位置
第一棒
第二棒
第三棒
第四棒
出场率
0.3
0.1
0.2
0.3
比赛胜率
0.6
0.7
0.7
0.7