福建省福州市八县一中2023-2024学年高二下学期4月期中数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州市八县一中2023-2024学年高二下学期4月期中数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知，则( )
A.90B.73C.45D.42
2．下列求导数运算中正确的是( )
A.B.
C.D.
3．数列,,,,的第8项是( )
A.B.C.D.
4．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是( )
A.函数在区间上单调递增
B.函数在区间上单调递减
C.函数在处取得极大值
D.函数在处取得极小值
5．现有4支救援队前往A，B，C，3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，且甲救援队只能去B受灾点，则不同的安排方法数是( )
A.10B.12C.8D.6
6．一批产品共有10件，其中2件为不合格品.从中不放回地随机抽取产品检验，如果抽检的第1件产品不合格，则整批产品不合格；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，若抽检的第2件产品合格，则整批产品合格，否则整批不合格.求这批产品不合格的概率为( )
A.B.C.D.
7．设集合,，那么集合B中满足的元素的个数为( )
A.232B.144C.184D.252
8．已知,,则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．，已知，则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
10．甲箱中有4个红球和3个白球，乙箱中有2个红球和3个白球(两箱中的球除颜色外，没有其他区别).先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A和B表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则( )
A.B.C.D.
11．已知函数，，下列结论正确的有( )
A.函数有极小值，且极小值点
B.
C.函数的最大值小于
D.若P、Q分别是曲线，上的动点，则的最小值为
三、填空题
12．已知随机变量X的分布列为,,则________.
13．若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围是________.
14．我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角数阵，记第一条斜线之和为，第二条斜线之和为，第三条斜线之和为，以此类推，组成数列.例如,,,,若，则________.
四、解答题
15．已知为等差数列，公差，且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和为.
16．第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气.某企业计划从信息基础设施领域的幅作品和文化领域的幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2幅作品，全是文化领域的概率为.
(1)求n的值；
(2)若选取3幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为X，求X的分布列和数学期望.
17．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若函数在处取得极值，求的单调区间.
18．已知数列的前n项和为，且.
(1)求，；
(2)求的通项公式；
(3)记，求.
19．一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成n个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作和式.如果无限接近于0(亦即)时，上述和式无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数在区间上的定积分，记为.当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线,与x轴所围成的曲边梯形的面积.如果是区间上的连续函数，并且，那么.
(1)求；
(2)设函数,.
①若恒成立，求实数m的取值范围；
②数列满足,，利用定积分几何意义，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：C
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：C
解析：
5．答案：B
解析：
6．答案：D
解析：
7．答案：A
解析：
8．答案：B
解析：
9．答案：ABD
解析：
10．答案：BC
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：4049
解析：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)依题意,
又，，成等比数列，所以，
即，解，
所以
的通项公式为.
(2)
所以
则
的前n项和.
16．答案：(1)
(2)分布列见解析，
解析：(1)共有幅作品，抽取2幅作品有种方法，其中全是文化领域的有种方法，
因此全是文化领域的概率为，从而解得，
(2)X的可能取值为0,1,2,3,
则随机变量X的分布列为
则的数学期望.
17．答案：(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为
解析：(1)法一：，且，
，
又,，
即.
法二：依题意，
，
，
又,，
即.
(2)依题意，
又，，
所以，，
列表如下：
则的单调递增区间为，，单调递减区间为.
18．答案：(1),
(2)
解析：(1)令：即，
令：，，
(2)法一：①当时，②
①-②得：,
,
,
符合上式的通项公式为.
法二：①当时，②
①-②得：,
,
,
为常数列，,
的通项公式为.
(3)法一：,,,
，,
,
设,
③
④
③-④得：,
,
,
综上,
法二：,
,
,
,
③-④得：,
,
,
，,
,
,
⑤
⑥
⑤-⑥得：,
,
,
,
.
19．答案：(1)
(2)①
②证明见解析
解析：(1)
(2)①恒成立，即.
令，则.
当时，，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，所以当时，；
时，对，有，所以在上单调递减，所以，即当时，存在，使，故不恒成立.
综上，.
②由，可得，所以，
即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，所以.
是由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图一中阴影所示各矩形的面积和，所以，不等式左边得证.
是图二中阴影所示各矩形的面积和，所以，不等式右边得证.
0
1
2
3
P
+
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增